(完整版)数列通项公式常见求法

1、 数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1、等差数列公式例 1、（2011 辽宁理）已知等差数

2、列a 满足 a =0，a +a =-10n268（i）求数列a 的通项公式；na + d =0,a 解：（i）设等差数列的公差为 d，由已知条件可得12a +12d = -10,n1a =1,解得 1d = -1.故数列a 的通项公式为a = 2 - n.nn2、等比数列公式例 2.（2011 重庆理）设， 。a 是公比为正数的等比数列，a = 2 a = a + 4n132（）求a 的通项公式na a = 2,a = a + 4得2q = 2q + 4，解：i）设 q 为等比数列的公比，则由2n132- q - 2 = 0 ，解得q = 2或q = -1（舍去），因此q = 2.即 q2所以

3、a a = 2 2 = 2 (n n ).的通项为n-1*nnn3、通用公式 若已知数列的前 项和 s 的表达式，求数列 a 的通项a 可用公式nnnns l l l l n =a = 1求解。一般先求出 a1=s1，若计算出的 an 中当 n=1 适合时可以ns - s l n 2nnn-1合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。a s = n -1n，求a 的通项公式。例 3、已知数列的前 n 项和2nn= s = 0n 2时解： a，当11 a = s - s = (n2 -1) -(n -1)2 -1 = 2n -1nnn-10(n = 1)=由于 不适合于此等式 。 a a12

4、 -1 ( 2)nnna的关系时我们可以根二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：a 和 n-n1据具体情况采用下列方法1、叠加法= a + f (n)f f n 的和比(1) + (2) +l + ( )一般地，对于型如a类的通项公式，且 fn+1n较好求，我们可以采用此方法来求a 。n= (a - a ) + (a - a ) +l + (a - a ) +a ( 2)即： an；nnn-1n-1n-2211 abb a=a n n- ( *)3例 4、（2011 四川理 8）数列的首项为 ，为等差数列且若nnn+1nnb = -2 b =12a =8则，则310a0b3c8d

5、11b = 2n -8,a - a = 2n -8,解：由已知知由叠加法nn+1n(a - a ) + (a - a ) +l + (a - a ) = -6 + -4 + -2 + 0 + 2 + 4 + 6 = 0 a = a = 32132878111 = ,a = a +a例 5、 已知数列 a 满足a，求数列的通项公式。n12n + 1nn n+n2111 1a - a = -解：（1）由题知：n + 1nn + n n(n +1) n n +12a = (a - a ) + (a - a ) +(a - a ) + annn - 1n - 1n - 22111 1- ) + (n

6、-1 n111 1 1) + ( - ) +1 2 2= (-n - 2 n -13 1= -2 n2、叠乘法a一般地对于形如“已知 a ，且=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠n+11ana ana乘法求数列的通项公式。即：a =l a ( 2)n ；2n-1aaa11nn-1n-2例 6、在数列a 中，=1, (n+1) a =na ，求a 的表达式。a1n+1nnnan=n+1解：由(n+1) a =na 得，nn +1n+1an 1 2 3 n -1 11a a a anaa =所以=n23a a a43 l=2 3 4annn na112n-13、构造法an- 的递推

7、关系较为复杂时，我们往往对原数列的递当数列前一项和后一项即a 和n1推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法aaaan =k n- +m(k、m 为常数）型，可化为的形式 n +=k( n- +).重、一般地对于11新构造出一个以 k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求，然后再求a 。n nba例 7、（2011 广东理）设 b0,数列 a 满足 a =b， a =(n 2)n-11a + 2n - 2n-1nn. （1）求数列 a 的通项公式；nn a + 2(n -1)1 2 n -1= + b

8、b aanba=解：，得，n-1n-1n a + 2(n -1)aban-1nn-1n-1n21= b= + ( 2)，设，则bbn-1nbabnnn11是以 为首项， 为公差的等差数列， = 2（）当b时，b22n11 1= + (n -1) = na = 2n即b，22 2n222l)l ( 1)，b 时，设2b + l =n(b +b = b +n-（）当，则bn-1bn-1b2令lb11121( -1) =，b += (b +) (n 2)，得l，b2 - b2 - b bnn-1 2 - b11121+是等比数列，b += (b +) ( )b =1知bn-1，又2 - b2 - b

9、2 - b bnb (2 - b)bnn11211 2 - bnnnb =( ) -=，a =n2 - b b2 - b 2 - b2 -bnbnnnn= pa + f (n)(其中p为常数)、对于an + 1i、当 f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为 a这种形式,一般我们讨论两种情况：n= aa + bn + c型，可化为n+1nlll ( 1) l a + n + = a a + n - +的形式来求通项。n+112n12 ，求 a 的通项公式。n=1,a = 3a + 2n +1例 8.设数列 a 中， an1n + 1n+ a(n +1)+ b = 3(a + an + b)解

10、：设 an + 1na = 3a + 2an + 2b - an + 1n2a = 2a =1b =1与原式比较系数得：2b - a =1+ (n +1)+1= 3(a + n +1)即an + 1n= a + n +1,则b =3b 且b =a +1+1=3令bnnn+1n11 b 是b =3为首项，公比q=3的等比数列n1b = 33 = 3n-1nn即:a = 3 - n -1nn= aa + b cii、当 f(n)为指数幂时，即数列递推关系为a（a、b、c 为常数，）nn+1n+ ca(a + c ）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求aln型，可化为aln+1=nn+1n= 3

11、 - 2an n），例 9.（2003 年全国高考题）设a 为常数，且an-1（*0nn-11= 3 + (-1) 2 + (-1) 2 a证明：对任意 n1，annnn5n0- t 3 = -2(a - t 3 )解：证明：设an-1nnn-115= 3 - 2a 代入可得t =用 an-1nn-13n3是公比为- 2 ，首项为a -的等比数列，a-51 5n3n53a -= (1- 2a - ) (-2)n n * ，（ ）n-15n03 + (-1) 2nn-1na =+ (-1) 2 a即：nn5n0= aa + b ca当然对于a时，当 a=c 时，我们往往也会采取nn这种形式递推关

12、系求n+1nn +1另一种方法，即左右两边同除以 c ,重新构造数列，来求a 。n = 2，a = a +ll(2 l)2 (+ -n n )，其*例 10、（2007 天津理）在数列 a 中， an+1n1n+1nn 0中l （）求数列 a 的通项公式；nll(2 l)2 (+ -n n )，l 0，= a +解：由 an+1n*n+1n22a n+1 a n-=-+1，可得n+1 n ll ll n+1n22a a = n -1，所以数列ann-所以 为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故 nnll ll nnn= (n -1) + 2的通项公式为a（2）、倒数法lnnna=、 a a=

13、-一般地形如 aaa 等形式的递推数列可以用倒数法将其nn-1ka + bnnn-1n-1n-1变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 a n - 1 ，求 a 的通项公式。n=1,a =例 11.已知数列 a 满足：an1n3a +1n - 11 3a +11=n - 1= 3+解：原式两边取倒数得：aan - 1ann - 11设b = ,则b -b =3,且b =1nnn-11an1 b 是b = 为首项，公差d=2的等差数列n13bn =1+ (n -1)3 = 3n - 21=即ann3 - 21例 12、（北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考）在数列=a 中，a1 3，并

14、且n1 n ,n 2a a = a - ab = (n n )对任意 n都有成立，令* *nn-1n-1nnan（）求数列b 的通项公式 ；n1= = 3 n 2解：（1）当 n=1 时，b,当时，1a111a a = a - a ，等式两边取倒数得： -= 1,b - b = 1所以由aan-1nn-1n-1nnnn-1所以数列b 是首项为 3，公差为 1 的等差数列，n b b = n + 2n所以数列的通项公式为n（3）、对数法aap ma qan- 的递推关系涉及到高次时，形如： nn-1当数列 n 和=（其中 m、p、q1为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，

15、再重新构造数列进行求解。例 13、（2006 山东）已知 a =2，点(a ,a )在函数 f(x)=x +2x 的图象上，其中=1，2，3，21nn+1（1） 证明数列lg(1+a )是等比数列；na = a + 2a，解：（1）由已知2nn+1na +1 = (a +1)2n+1nq a = 21a +1 1，两边取对数得nlg(1+ a ) = 2lg(1+ a )，n+1nlg(1+ a )= 2即n+1lg(1+ a )nlg(1+ a )是公比为 2 的等比数列.n例 14、若数列 中，a =3 且a = a 2（n 是正整数），则它的通项公式是 =（2002aan1n+1nn年上

16、海高考题）.lgaa解 由题意知 0，将a = an+1lg a = 2lg a= 2n+1 ，所2 两边取对数得，即lgannn+1nnlg a lga lg3lga = lga 2 = lg3为首项，公比为 2 的等比数列，以数列是以=n-12n-1，n1n1a = 3n即2n 1.-（4）、特征方程法aaa、一般地对于形如已知 a = m ,a = m , n+ =a n+ +b n (a、b 是常数）21112的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。2法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x -ax-b=0 为数列的特征方程2a = c p + c q（i）当方程有两个相异的

17、实根（或虚根）p、q 时，有：n ，其中 c 与 c2n1n12a = m ,a = m ,由已知确定。1122a = (c n + c ) pa = m ,a = m ,n ，其 中 c 与 c 由已知（ii）当方程有唯一的实根 p 时，有12n121122确定。法二：可构造成a- x a= x (a- x a )a - x a，则 为等比数列，进而n+21 n+12求通项公式，这种方法过程较为繁杂。n+11 nn+11 na= 2an+1 - an例 15、已知 a =2， a =3，求通项公式。n+212解法一：特征方程的根为 1，所以 a = (c n+c )1nn12 c + c =

18、2由： 12得 c = c = 1，所以 a = n + 1。2c + c = 312n12- x a= x (a- x a )，可得 x = x = 1，于是a a 是解法二：设an+2公比为 1 的等比数列，a a = 1，所以 a = n + 1。1 n+12n+11 n12n+1nn+1nn例 16已知数列a 满足 = 2, = 3,a n n= 3a - 2 ( ) ，求数列a 的通a1aa*n2n+2n+1nn项 a 。n解：其特征方程为 2 = 3 - 2 ，解得 x =1,x = 2 ，令 = 1 + 2 ，xxa ccnn12n12c =1a = c +2c = 21由，得，

19、a n-1 =1+ 2 1121a = c + 4c = 3c =n22122a+ aa1 a = 2,a ,n n* .n+1例 17、（2009 陕西卷文）已知数列 a 满足，n21 2n2n( )ib = a - a，证明：b 是等比数列；令nn+1nn()求 a 的通项公式。n= a - a =1,解：（1）证明：b121a + a11 2b = a - a =时，- a = - (a - a ) = - b当 nn-1n222nn+1nnnn-1n-1,12 -所以 b 是以 1 为首项，为公比的等比数列。n1= a - a = (- ) ,（2）解由（1）知bn-12nn+1n11

20、 2a = a + (a - a ) + (a - a ) +l + (a - a ) =1+1+ (- ) +l + (- )当 n时，n-222n12132nn-111- (- )n-1215 2 12=1+=1+ 1- (- ) = - (- ) ,n-2n-11323 3 21- (- )25 2 1当 n=1时， - (- ) =1= a。1-13 3 215 2 1= - (- ) (n n )所以 a。n-1*3 3 2n本题也可以用特征方程来证明,同学们不妨自己试试。aa + b=、一般地形如： a（a、b、c、d 为常数）nca + dn+1n ax + bcx + d=cx

21、 + (d - a)x - b = 0，通过该方程的根可得到相应的特征方程：x，再将其变为2的情况来重新构造数列。 - a pa- p+ (d - a)x - b = 0（i）如果方程cx有两个相异的实根，则有数列是以为21na - qna - q1a - cp首项，为公比的等比数列；a - cq 1 1+ (d - a)x - b = 0（ii）如果方程cx有两个相同的实根，则数列是以为首2a - pa - p1n2c项，为公差的等差数列。a + da a = a,a = b + = +，且对满足m n p q例 18、（2009 江西理 22）各项均为正数的数列，n12a + aam+ a

22、的正整数m,n, p,q=.都有pqn(1+ a )(1+ a ) (1+ a )(1+ a )mnpq14= , b = 时，求通项a ;（1）当a解：（1）由a + a25na + aam+ a=得pqn(1+ a )(1+ a ) (1+ a )(1+ a )mnpqa + a2145=. a = ,a =将代入化简得1nn-1(1+ a )(1+ a ) (1+ a )(1+ a )2121n2n-12a +1a =n.n-1a + 2n-1ax + bcx + d=构造方程 x(a=2,b=1,c=1,d=2)化简得：x2=1 解得 x=1 和-1.所以数列1- a为等比数列，nn1

23、+ a1- a 1 1- a= ,所以nn-1n-11+ a 3 1+ an1- a13 -1n= , a =.从而：即n1+ a 33 +1nnnn3 -1n=可验证，a满足题设条件.3 +1nn a + 2例 19 已知数列a 满足 = 2, = n-1( 2) ，求数列a 的通项 a a1an2a +1nnnnn-1x + 2解 ： 其 特 征 方 程 为 =， 化 简 得 2 - 2 = 0 ， 解 得 x =1,x = -1 ， 令2xx2x +112a -1a -1= cn+1na +1n+1a +1n41由 a = 2, 得 = ，可得 = - ，ac2 531 -1a1-1 1

24、1a数 列是 以= 为 首 项 ， 以 - 为 公 比 的 等 比 数 列 ，na+1a +1 331na -1113 - (-1) n-1nn= -，a = n+1 33 3 + (-1)annnn三 、当题中给出的是 s 和 a 的关系时，我们一般通过作差法结合 a = s s这个通用nnnnn 1a公式对原等式进行变形，消掉 s 得到 a 和 n+ 1 的递推关系，或消掉a 得到 s 和 snnnnn 1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。 例 20、（2007 湖北理 19）已知数列 a 的前n 项和为 s ，且满足：a = a (a 0)，a= rs1nnn + 1n(nr r,

25、r -1)n ，* （）求数列 a 的通项公式；n解：（i）由已知a= rs ,可得a = rs，两式相减可得n+1nn+2n+1a - a = r(s - s ) = ra ,n+2n+1n+1nn+1= (r +1)a ,即 an+2n+1= ra = ra,又 a所以 r=0 时，21数列a 为：a，0，0，；n当 ra（ ）， 0,r -1时，由已知a 0,所以 0 n n*nan+2a= (r +1)a ,= r +1(n n )* ，于是由a可得n+2n+1n+1a ,a ,l ,a +l成等比数列，23n当n 2时 a = r(r +1) a.，n-2n ann =1,a a =

26、n综上，数列的通项公式为r(r +1) a,n 2nn-2as 1，且例 21：（2007 重庆理）已知各项均为正数的数列 的前 n 项和满足nn6s = (a +1)(a + 2),n n*nnna（1）求 的通项公式；n1解 ：由 a = s = (a +1)(a + 2)，解 得 a 1 或 a 2，由假设 a s 1，因此 a 2。111111161111又由 a s - s (a +1)(a + 2) = (a +1)(a + 2) ，n+1n+1n6n+1n+16nn得 a - a -30 或 a -an+1nn+1n因 a 0，故 a -a 不成立，舍去。nn+1n因此 a -

27、a -30。从而a 是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故a 的通项为n+1nnna 3n-2。na s , a =1, s = 4a + 2已知例 22.（2009 全国卷理）设数列的前n 项和为nn1n+1nb = a - 2ab 是等比数列（i）设，证明数列nn+1nna （ii）求数列的通项公式。na =1, s = 4a + 2a + a = 4a + 2, a = 3a + 2 = 5,b = a - 2a = 3解：（i）由及，有1n+1n12121121s = 4a + 2则当n 2s = 4a + 2时，有 由， n+1nnn-1a = 4a - 4a ,a - 2a = 2(a - 2a )得n+1nn-1n+1nnn-1q b = a - 2a