(完整版)用割补法求面积

1、 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。例 1 求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中ab弧所形成的弓形，其面积等于扇形 oab 与三角形 oab 的面积之差。44-4442=4.56。（2）在题图虚线分割的两个正方形中，

2、右边正方形的阴影部分是半径为5 的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5 的四分之一个圆。如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为 55=25。 例 2 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。积和平行四边行面积同时除以 2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法将原图等分成 9 个小三角形（见右上图），阴影部分占3 个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍

3、然成立。例 3 如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长 5 厘米、下底长 9 厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长 9 厘米与边长 5 厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的 4 倍。所以所求梯形面积是（99-55）4=14（厘米 2）。例 4 在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直

4、角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为a 与 a，b 与 b面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是46=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是 24。例 5 下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20 厘米，甲正方形比乙正方形的面2分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的a，b，c 三部分之和就是 40 厘米 （见左下图）。2把 c 割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样a，b，c 三块就合并成一个长20 厘米的矩形，面积是 40 厘米 ，宽是 4020=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边2长之差，由此可求出乙正方形的边长为

5、（20-2）2=9（厘米），从而乙正方形的面积为 99=81练习 22 1.求下列各图中阴影部分的面积：（1）（2）2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4 厘米，求图中阴影部分的面积。3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形24.在右上图中，长方形 aefd 的面积是 18 厘米 ，be 长 3 厘米，求 cd 的长。25.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3 厘米，甲的面积比乙的面积大45 厘米 。求甲、乙的面积之和。26.求下图（单位：厘米）中四边形 abcd 的面积。 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减

6、数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例 1 两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分分析与解：阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形abc 与三角形 def 完全相同，都减去三角形 doc 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 oefc 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求

7、直角梯形 oefc 的面积。直角梯形 oefc 的上底为 10-3=7（厘2所以，阴影部分的面积是 17 厘米 。2 例 2 在右图中，平行四边形 abcd 的边 bc 长 10 厘米，直角三角形 ecb 的直角边 ec 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形efg 的面积大 10 厘米 ，求平行四边形2abcd 的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形 efg 的面积大 10 厘米 ，都加上梯形 fgcb2后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行abcd 比直角三角21082+10=50（厘米 ）。2例 3 在右图中，ab=8 厘米，cd=4 厘米，bc=6 厘米，三

8、角形 afb 比三角形 efd的面积大 18 厘米 。求 ed 的长。2分析与解：求 ed 的长，需求出 ec 的长；求 ec 的长，需求出直角三角形ecb 的面积。因为三角形 afb 比三角形 efd 的面积大 18 厘米 ，这两个三角形都加上四边形 fdcb 后，2其差不变，所以梯形 abcd 比三角形 ecb 的面积大 18 厘米 。也就是说，只要求出梯形2abcd 的面积，就能依次求出三角形 ecb 的面积和 ec 的长，从而求出 ed 的长。梯形 abcd 面积=（8+4）62=36（厘米 ），2 三角形 ecb 面积=36-18=18（厘米 2），ec=1862=6（厘米），例 4

9、 下页上图中，abcd 是 74 的长方形，defg 是 102 的长方形，求三角形bco 与三角形 efo 的面积之差。分析：直接求出三角形 bco 与三角形 efo 的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结 b，e（见左下图）。三角形 bco 与三角形 efo 都加上三角形 beo，则原来的问题转化为求三角形 bec 与三角形 bef 的面积之差。所求为 4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法二：连结 c，f（见右上图）。三角形 bco 与三角形 efo 都加上三角形 cf

10、o，则原来的问题转化为求三角形 bcf 与三角形 ecf 的面积之差。所求为 4（10-7）2-2（10-7）2=3。 解法三：延长 bc 交 gf 于 h（见下页左上图）。三角形 bco 与三角形 efo 都加上梯形 cofh，则原来的问题转化为求三角形 bhf 与矩形 cefh 的面积之差。所求为（4+2）（10-7）2-2（10-7）=3。解法四：延长 ab，fe 交于 h（见右上图）。三角形 bco 与三角形 efo 都加上梯形 bheo，则原来的问题转化为求矩形 bhec 与直角三角形 bhf 的面积之差。所求为 4（10-7）-（10-7）（4+2）2=3。例 5 左下图是由大、小

11、两个正方形组成的，小正方形的边长是4 厘米，求三角形 abc 的面积。分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结ad（见右上图），可以看出，三角形abd 与三角形 acd 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形afd 是三角形abd 与三角形 acd 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形abf 与三角形 fcd 面积仍然相等。根据等量代换，求三角形abc 的面积等于求三角形 bcd 的面积，等于 442=8（厘米 2）。 练习 211.左下图中，等腰直角三角形 abc 的腰为 10 厘米，以 c 为圆心、cf 为半径画弧线ef，组成扇形 cef。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。3.左下图中，扇形 abd 的半径是4 厘米，甲比乙的面积大3.44