2012届高考一轮复习学案：11.2单摆

1、第2课时单摆基础知识归纳1.单摆在一条不可伸长、不讣质量的细线下端系一质点所形成的装宜单摆是实际摆的理想化物 理模型.2单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力吨沿圆弧切线的分力F=wsin 0提供(不是摆球 所受的合外力)，&为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当&很小时，圆弧可以近似地看成直线， 分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F=-牛 =-kx.可见0很小时，单 摆的振动是简谐运动.3单摆的周期公式(1)单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的振幅无关,单摆的这种性质 叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的.单摆的周期公式，由此式可知WT与振幅及摆球质量无4 单

2、摆的应用(1)计时器：利用单摆的等时性制成汁时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调廿单摆摆长即可调右钟表快慢.测左重力加速度：由丁 = 2兀；-变形得&=也3，只要测岀单摆的摆长和振动周期,N gT就可以求出当地的重力加速度.5 单摆的能量摆长为/,摆球质量为m,最大偏角为选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总 机械能为E= 驱/(lcos ,在最低点的速度为尸 J2g/(lcos8)重点难点突破一、单摆做简谐运动的回复力如图所示，摆球受重力加g和绳子拉力F两个力的作用，将重力按切 线方向和径向方向正交分解，则绳子的拉力F与重力的径向分量的合力 提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切

3、向分力F提供了摆球 振动所需的回复力F=gsiii 0设单摆的摆长为/,在最大偏角&很小的条件下，摆球对0点的位移X的大小与0角所对应的弧长、&角所对应的弦长都近似相等，即x=OP=OP若偏角&用弧度表示，则由数学关系知sin y因为F的方向可认为与%方向相反，则F 1.-1=-k.v由此可见单摆的偏角很小条件下的振动为简谐运动.二、单摆的周期公式1.等效摆长/：摆长/是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一左为摆线的长， 如下图中，摆球可视为质点，各段绳长均为/，甲、乙摆球做垂直纸而的小角度摆动，丙图中球甲乙丙在纸而内做小角度摆动，0为垂直纸而的钉子，而0gg，求 各摆的周期.甲：等效摆

4、长r=/sina, J=2叫匕巴匕乙：等效摆长 /r=/sina+/, T,=2n/(sin a + 1)丙：摆线摆到竖直位登时，圆心就由O变为摆球振动时，半个周期摆长为人另半个 周期摆长为（/一扌），即为彳，贝惮摆丙的周期为厂丙二气总+外号2.等效重力加速度g, g不一定等于9.8 nVs2.g由单摆所在的空间位置决左，由g=G笛,g随所在地球表而的位置和高度的变化而变 化，而且纬度越低，高度越高，g的值就越小，在不同星球上g也不同.g还由单摆系统的运动状态决左，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为，则摆 球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g=g+“，若升降机加速

5、下 降，则g=g单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g=0,摆 球不摆动，周期无穷大.一般情况下，值等于摆球相对于加速系统静I匕在平衡位置时（平衡位置是指回复力为零 的位置，而不是合力为零的位置，也可以说成是让摆球不摆动时的位苣），摆线所受的张力与 摆球质戢的比值.三、用单摆测定重力加速度由公式T=2ti可知g= 兽，因此测岀摆长/和周期八 就可以求出当地的重力加速度.孑典例精析1.单摆周期公式的应用【例1】如图，两个单摆摆长相等，平衡时两摆球刚好接触现在将摆球A在两摆球所在 的平而内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两个摆球各自做简谐运动，以”从和”分别表示 两球质量，贝

6、9()A. 如果心愉下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B. 如果下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C. 无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位宜右侧D. 无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位巻左侧【解析】从单摆的周期公式可以知道,当摆长相等时，周期就相等两球碰后有两种可能： 是速度方向相反，这样两I求各自到达最蛊点再返回平衡位置都是半个周期的时间只能在平 衡位置相碰；二是碰后速度向同一方向摆动,也都是分别摆到各自的最大高度处再返回平衡 位置,时间还是半个周期，仍在平衡位置相碰.【答案】CD【思维提升】单摆的周期与摆球质臺无关.【拓展1】一只计时准确的摆钟从甲地拿到

7、了乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现 象的分析及调准方法的叙述正确的是(C )A.g屮乙，将摆长适当增长B.g中将摆长适当缩短C.g屮Vg乙，将摆长适当增长D.g中Vg乙，将摆长适当缩短【解析】钟摆摆动加快,周期变小，由于T二2彳?可知/ 一走时，g增大，则7变小, 所以g甲 g乙，要使丁不变，应适当增长摆长/.2利用T=2ji芒测重力加速度【例2】一位同学用单摆测左当地的重力加速度，他将单摆挂起后，做了如下工作：a. 测摆长/：用米尺昼出摆线的长度；b. 测周期7：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始汁时，同 时将此次通过最彳&点作为第1次，接着一直数到摆球第60次

8、通过最低点时，按下秒表停止计 时读出这段时间f,算岀单摆的周期T=：60c. 将所测得的/和7代入单摆的周期公式T=2tt |,算出g,将它作为实验的最后结果写 入报告中去.指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正(不要求进行误差计算).【解析】a.要测出摆球直径，摆长/等于摆线长加上乞；b周期T= ； c.应多测呈几 229.5次,然后取g的平均值作为实验的最后结果.【思维提升】正确理解摆长的测臺，正确记录周期，多次测臺，减小误差.3非平衡系统中单摆周期的计算【例3】在一加速系统中有一摆长为J的单摆.(1) 当加速系统以加速度竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直

9、向下加速 呢？(2) 当加速系统在水平方向以加速度“做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？【解析】当单摆随加速系统向上加速时,设在平衡位置相对静止的摆球的视重为F,如图甲所示，则F - mg = ma故 F 二 m(g + a),由 F 二加0得 二 g + 所以单摆周期Ti = 2兀= 2ti同理当力01系统竖直向下力寸,视重F二“心-a)则心故门二2咕刁(2)当系统在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重F二niTP + 故等效重力加速度g =,所以rC = 2n I ,- 1.广【思维提升】等效重力加速度的大小等于摆球相对系统静止于平衡位置时，绳的拉力F（即 视重）与质呈

10、加的比值.【拓展3】如图所示，在光滑水平而上的0点系一长为/的绝缘细线.线的另一端系一质 量为八带电荷量为q的小球，当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后, 小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度巾，使小球在水平面 上开始运动，若旳很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为【解析】球离开平衡位置后，由于V。很小，故做简谐运动，回复力为电场力在运动方向的分呈由周期公式T= 2叫才知,g可等效为，代入公式得丁二2兀,则第一次回到平衡隨的时间为P易错门诊4摆钟的计时【例4】某摆钟，当英摆长为时，在一段时间内快了 /：当英摆长为/2时，在同样一 段时间内慢了试求走时准确时摆钟的摆长.【错解】设准确的摆钟摆长为/周期为n,设这段时间为11则快了的摆钟周期为,慢了的摆钟周期为t2i周期长了就是时间显示快了，周期慢了就是时间显示短了 根据题意， 可彳导 T/To = (/ + ) ,T2/T0 二(f Ar)/而我们可以根据周期公式写出下面的关系式= (z + /)，所以有=(/ - /)上面两式消除何得“七也【错因】上述解法没有考虑到钟的快慢