04双曲线定点定值最值问题-S

1、双曲线最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题 一、双曲线的最值问题 例1已知点M ( 2,0) , N(2,0)，动点P满足条件| PM | PN | 2 2，记动点P的轨迹 为W . (1) 求W的方程； (2) 若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OA OB的最小值. 实战演练 2 2 x y22 1. P是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆(x 5) y 4和 916 (x 5)2 y2 1上的点，贝U PM PN的最大值为 . 2 2.已知双曲线C的方程为爲 a b2 1(a 0,b 0)，离心率e ，顶点到渐近线 图 8-2-1 的距离为二. 5 (1)求双曲线C的方程；

2、 如图8-2-1 , P是双曲线 C上一点，A , B两点在双曲线 C uuu uuu 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB , 1 -,2，求 AOB面积的取值范围. 3 2 2 3.已知双曲线 G：笃差 1(a 0)，抛物线C2的顶点在原点O，又C2的焦点是 a 2a G的左焦点F1 . (1)求证：G与C2总有两个不同的交点； 是否存在过 G的焦点F1的C2的弦AB ,使 AOB的面积有最大值或最小值？若有， 求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由. 、与双曲线有关的定点与定值问题 例题：已知双曲线X2 y2 交于A, B两点. uur umr uuur (1)若

3、动点M满足FM F1A F1B uun 在x轴上是否存在定点 C，使CA 在，请说明理由. Fp (其中0为坐标原点)，求点M的轨迹方程; uuu -CB为常数？若存在，求出点 C的坐标；若不存 2的左、右焦点分别为 Fi , F2，过点F2的动直线与双曲线相 实战演练 1.已知Fi 2,0 ,F2 2,0，点P满足PFi |PF2 2,记点P的轨迹为E, (1)求轨迹E的方程； 若直线I过点F2且法向量为n (a ,1)，直线与轨迹E交于P、Q两点. 过P、Q作y轴的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记| PQ | AB |，试确定 的取值范围； uuur uuuu 在x轴上是否存在定点 M

4、，无论直线l绕点F2怎样转动，使 MP MQ 0恒成立? 如果存在，求出定点 M ;如果不存在，请说明理由. 三、双曲线与直线 例题：已知以原点0为中心，F(._5,o)为右焦点的双曲线 C的实轴与 焦距之比为2 :.5 . (1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； 如图8-2-2，已知过点 M(xi,yi)的直线li : x/ 4%y 4与过 点N(X2,y2)(其中X2xi)的直线12:X2X4y?y4的交点E在双 曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于 G、H两点，求 uur umr OGgOH的值. 实战演练 2 2 1交于不同的两点 x y 1.设直线I : y kx m

5、(其中k,m为整数)与椭圆 一 16 12 2 x B，与双曲线 4 2 1交于不同的两点C 12 uuur D，问是否存在直线I ,使得AC uuu BD 成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由. 2 2 x y2 2.已知双曲线 21右支上任意一点 E作抛物线y 2px(p 0)的两切线, a b 两切点M , N所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G , H两点，试问: LULT uuur (1)是否存在正实数 p，使得OG OH为定值? UUJT 2为定值? |OH | (2)是否存在正实数 p，使得-uuL二 |OG | 2 x 2 3.已知双曲线C :y 1 .

6、 2 (1)已知点M的坐标为(0,1) 设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点， UULT UUUU 记 MP MQ 求的取值范围； 已知点D、E、M的坐标分别为(2 ,1)、(2 ,1)、(0,1), P为双曲线C上在 第一象限内的点记I为经过原点与点 P的直线，s为 DEM截直线I所得线段的长试 将s表示为直线I的斜率k的函数. 四、双曲线与圆 X2 例题：已知双曲线C: p a 2 y 1(a0)的实轴长与焦距的比为 1 : 3 . 求双曲线C的方程； 2 (2)设直线1是圆0 : X 2 y2上动点P(xo ,y0)(xoy。 0)处的切线，1与双曲线C交 于不同的两点A ,

7、B，证明 AOB的大小为定值. 实战演练 2 2 x y 1.从双曲线 916 2 1的左焦点F引圆x 2 y 9的切线，切点为T ,延长FT交 双曲线右支于点 P 若M为线段FP的中点.0为坐标原点，贝U | MO | MT | 2. 2 2 已知双曲线笃 爲 1的渐近线方程为yx，左焦点为F，过A(a , 0)， ab3 B(0， b)的直线为1，原点到直线l的距离是丄3 . 2 (1) 求双曲线的方程； (2) 已知直线y x m交双曲线于不同的两点C, D,问是否存在实数 m，使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F.若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由. 3.若动圆P恒过定点B(2,0)，且和定圆C : (x 2)2 y2