概率论基础无穷级数笔记

1、第七章 无穷级数 10常数项级数概念及性质 1、定义 P264an a1 a2an n1 an称为一般项或通项 Sn u1 u2un称为前 n 项部分和 13 33 例 1 、 0.3 310 10210n 1 2 3 n 1 1 1 1 ( 1)n1 n 2、定义 SnuK K1 an Sn 1 Sn 如 Sn 收敛，则 an 收敛 3、几个重要极限 等比级数（几何） n1 aqn ，当 q 1 收敛， q 1 发散； n0 1 P 级数P P 1 收敛， P 1 发散； n1 nP 1 当 P 1，又称调和级数。 n1n 4、级数性质 P266 性质 5 是级数收敛的必要条件 a n 收敛

2、 n1 li man 0 n-1 n1 2n 1 发散， lim a n lim n 1 n n 2n 1 12 0 3n n n 1n 3n 发散， 3n lim n 1 0 n n 3n n 1n 发散，但 lim 1 0 nn 20正项级数判别法 n 1unun 0 正项级数部分和数列 Sn 单调递增 正项级数 收敛 部分和数列有上界 1、比较判别法 设Vn un，如 Vn 收敛，则 n1 un 收敛 n1 如 u n 发散，则 n1 V n 发散 n1 例、判别下列级数敛散性 1）1 n 1 4n 2 n 2) n1 sin2n 11 1 又 1 发散，原级数发散 n 1n 发散，原级

3、数发散 n 1n sin2 2)由于2 3 n2 1 n2， 0 A 时un n1 Vn n1 ，同时收敛，同时发散 A=0 如 Vn n1 收敛， un 收敛 n1 A=+ 如 un n1 收敛， Vn 收敛 n1 1 而12 收敛，原级数收敛 n 1n2 比较判别法的极限形式 如 lim un A 则有 n Vn lim n n1 ln n 1 例、(1) n1 n2 1 n 2) (1 cos1) n 1 n 3) lnn n2n 判别下列级数敛散性 n1 例、 ln n 1 n 1 n 1 解： (1)由 limn2 n n lim n 1 n 1 nn2 n n 2) lim n 1

4、 1 cos n 1 2 n lim n 2n2 n2 n 1 2 收敛 原级数收敛 n 1 n2 lnn 1 1 3) lnn 1 (n 3) 1 发散， n n n 1n lnn lnn 发散 n 1 n 例、 P271 例 7.7 7.8 2、比判别法 设正项级数 un 的一般项满足 n1 lim un 1 nun 则当1时，级数收敛，1 时发散，1不定 3、根值法 设 un 为正项级数，如 lim n un n 1 n 则当 1时，级数收敛，1 时发散，1不定 正项级数判别其敛散性的步骤： 首先考察 lim u n 0 发散 0 需进一步判别 如 un中含 n!或n的乘积通常选用比值法

5、； 如 如 un是以 n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法； un 含形如 n (可以不是整数)因子，通常用比较法； 利用级数性质判别其敛散性； 据定义判别级数敛散性， 考察 lim Sn 是否存在，实际上考察 Sn 是否有上界。 例、判别下列级数的敛散性 2nn! 1)2 n! n1 2) n1 2n 1 3)设 a 0 n 11 1an 4) 6n n nn nn n 175 5) n1 6) n x 2 x 2n n 1 1 x 1 x21 x n x 0 为常数 7) lnn n 12 n n 解：(1) u n 1 2nn nlim n 1 n lim nu n 2n nco

6、s lim n 2 1 收敛 e 2）方法一： lim n u n lim n 级数收敛 0 收敛 收敛 n n 2n 1 2 方法二： nn1 2n 12n2 1n 1 收敛 原级数收敛 n12 un 1x n 1 1 x 1 x n 为公比 1 的等比级数 n 1aa 1 x n limn 1lim 2 n1 n nunn1 x 1 x21 x n1xn x1 x1 lnim1 xxn 1 lim un 1 n u n ln n 1 nlim 2n1 n 1 2 n n lnn ln n 1 n 1 lim n 2 l 3）当 a 1 lim u n n lim 1 1 n 2 2 0 发

7、散 0a1 lim u n n0 lnim1 1an 1 0 发散 a1 11 nn 1 a a 收敛 4) n lim 7 n 7n nlim 7n 5n n n176 收敛， 原级数收敛 5) 3n 5n n为奇数 n为偶数 un n 3n n 对 n 13n n 13 lim un 1 n un n1 nlim 3n 1 3n 1 1 n3 n n 13nn 收敛，又由比较判别法知原级数收敛 2n ncos nn 6)u n3 n ，由此值法知 n 收敛 4 4n n 1 4n 原级数收敛 3交错级数的敛散性的判别法 如 u n 0 ，则称1 n 1un u1 u2 u3 u4 为交错级

8、数 n1 莱伯尼兹判别法： 如交错级数1n1un 满足： n1 ( i ) un un 1( ii ) lim un 0 n 8 n 1 则1n1un 收敛，且和 s u1 n1 例、 1 判断下列级数的敛散性。 P274 例 7.13 n1 解： lim u n lim n 1 n lim n n n n 1 1 n0 unn 1 n n 1 n n 2 n 1 un 1 收敛 解： n 1n n1 n 1 1 n lnn lim un n lim n n ln n 1 1 1 lim nn 0 lnn 1 n 1 ln n 1 n ln n 1 ln 1 0 un u n 1 即 n ln

9、 n n 1 ln n 1 收敛 4绝对收敛与条件收敛 定义 P275un 为任意项级数 n1 如 un n1 如 un n1 收敛 称 un 绝对收敛 n1 定理，如 un n1 收敛 un 必收敛 n1 发散 un 收敛 称 un 条件收敛 n 1 n 1 例、 P276 例 7.17 7.18 例、判断级数的敛散性， 如收敛，是绝对收敛还是条件收敛 n n 1 ( 1 ) 1 2 n1 10 n 2n n nb ( 2 ) 1n b n1 b0 解：( 1 )lim un 1 n un 10 n 1 10 lim n 1 n 2n 1 2n 10 n 1 lim 1 2n 10 1 10 n 11 2 原级数收敛， 且绝对收敛。 un 1 解：( 2 ) lim n un n1 b lim n n 1 n bn b