2019-2020学年南通市启东市高一上期末数学试卷((含答案))

1、 -江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1（5 分）求值：sin1440=2（5 分）计算 10 +log 25=lg353（5 分）设向量 =（k，2）， =（1，1），且 ，则实数 k 的值为4（5 分）满足1 a 1，2，3，4的集合 a 的个数为5（5 分）设函数 f（x）=，则 f（f（2）=6（5 分）已知 （0，），sin+cos= ，则 tan=7（5 分）若函数 f（x）=3 +b 的图象不经过第二象限，则 b 的取值范围为x8（5 分）已知 sin= ，（0， ），则 sin（2 ）=9（5 分）平面向量 ，|

2、 |=2，则 =10（5 分）已知函数 y=f（x），xr，对于任意的 x，yr，f（x+y）=f（x）+f（y），若 f（1）= ，则 f（2016）=11（5 分）若 （ ，2），化简+=12（5 分）函数 f（x）=log （ax x2a）在区间（，1）上是单调减函数，则实数 a22的取值范围是13（5 分）若 ， 是单位向量，且 = ，若向量 满足 = =2，则| |=14（5 分）已知函数 f（x）=2sin（2x ）1 在区间a，b（a，br，且 ab）上至少含有 10 个零点，在所有满足条件的a，b中，ba 的最小值为二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15（14 分）设函

3、数 f（x）=（1）求定义域 a；+的定义域是 a，集合 b=x|mxm+2（2）若 ab=a，求 m 的取值范围16（14 分）如图，在平行四边形 abcd 中，p，q 分别是 bc 和 cd 的中点- -（1）若 ab=2，ad=1，bad=60，求 及 cosbac 的余弦值；（2）若 = +，求 + 的值17（14 分）已知函数 y=f（x）是 r 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）=log （1x）+x（1）求 f（1）的值；（2）求函数 y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若 f（lga）+20，求实数 a 的取值范围18（16 分）已知 ar，函数

4、f（x）=x 2ax+52（1）若 a1，且函数 f（x）的定义域和值域均为1，a，求实数 a 的值；（2）若不等式 x|f（x）x |1 对 x ， 恒成立，求实数 a 的取值范围219（16 分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为 1 百米的正方形地块 abcd 上划出一个三角形地块 apq 种植草坪，两个三角形地块 pab 与 qad 种植花卉，一个三角形地块 cpq 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点 p 在边 bc 上，点 q 在边 cd 上，记pab=a（1）当paq= 时，求花卉种植面积 s 关于 a 的函数表达式，并求 s 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规

5、划，要求 pb+dq=pq，请探究paq 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由20（16 分）已知函数 f（x）= sinxcosx+sin x 2（1）求 f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数 g（x）=f（+ ），其中常数 0，| （i）当 =4，= 时，函数 y=g（x）4f（x）在 ， 上的最大值为 ，求 的值；- -（ii）若函数 g（x）的一个单调减区间内有一个零点，且其图象过点 a（，1），记函数 g（x）的最小正周期为 t，试求 t 取最大值时函数 g（x）的解析式- -2019-2020 学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一

6、、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1（5 分）求值：sin1440= 0 【解答】解：sin1440=sin（4360）=sin0=0故答案为：02（5 分）计算 10 +log 25= 5 lg35【解答】解：原式=3+2=5故答案为：53（5 分）设向量 =（k，2）， =（1，1），且 ，则实数 k 的值为 2 【解答】解： ，k2=0，解得 k=2故答案为：24（5 分）满足1 a 1，2，3，4的集合 a 的个数为 7 【解答】解：若1 a 1，2，3，4，则 a=1，2或1，3或1，4或1，2，3或1，2，4或1，3，4或1，2，3，4显然这样的集合 a 有

7、 7 个，故答案为：75（5 分）设函数 f（x）=，则 f（f（2）= 3 【解答】解：函数 f（x）=，f（2）=2 +2=2，2- -f（f（2）=f（2）=（ ） 1=32故答案为：36（5分）已知 （0，），sin+cos= ，则 tan= 【解答】解：（0，），sin+cos= ，+cos=1， 为钝角，结合 sin22可得 sin= ，cos= ，则 tan= ，故答案为： 7（5分）若函数 f（x）=3 +b的图象不经过第二象限，则 b的取值范围为 （，1 x【解答】解：由函数 y=3 +b的图象不经过第二象限，x可得 1+b0，求得 b1，故答案为：（，18（5分）已知 si

8、n= ，（0， ），则 sin（2 ）=【解答】解：sin= ，（0， ），cos=，sin（2 ）= 故答案为： 9（5分）平面向量 ，| |=2，则 = 4 【解答】解： ，且| |=2，=0，- -则故答案为：410（5 分）已知函数 y=f（x），xr，对于任意的 x，yr，f（x+y）=f（x）+f（y），若 f（1）= ，则 f（2016）= 1008 【解答】解：函数 y=f（x），xr，对于任意的 x，yr，f（x+y）=f（x）+f（y），令 x=0，y=0 得 f（0）=f（0）+f（0）即 f（0）=0，令 y=x 代入得 f（0）=f（x）+f（x）=0 所以原函数是奇

9、函数，f（x+y）=f（x）+f（y），f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）=3f（1），f（n）=nf（1），f（1）= ，f（2016）=f（2016）=2016f（1）=2016 =1008故答案为：100811（5分）若 （【解答】解：（，2），化简+=，2）， （），+=故答案为：12（5分）函数 f（x）=log（axx2a）在区间（，1）上是单调减函数，则实数 a22的取值范围是 0，1） 【解答】解：令 g（x）=axx2a，2a=0时，g（x）=x，在（，1）递减，故 f（x）在（，1）递减，符合题意，a0时，则 a0，g（x）的对称轴 x= 0，- -故 g（

10、x）在（，1）递减，只需 g（1）=a+12a0 即 a1 即可，综上：0a1，故答案为：0，1）13（5 分）若 ， 是单位向量，且 = ，若向量 满足 = =2，则| |=【解答】解： ， 是单位向量，且 = ，不妨设 =（1，0）， =设 =（x，y） = =2，x=2，y=2，解得 y= =（2， ）则| |= 故答案为： 14（5 分）已知函数 f（x）=2sin（2x ）1 在区间a，b（a，br，且 ab）上至少含有 10 个零点，在所有满足条件的a，b中，ba 的最小值为【解答】解：函数 f（x）=2sin（2x ）1，令 f（x）=0，即 2sin（2x ）1，sin（2x

11、）= ，解得：x=故相邻的零点之间的间隔依次为 ，y=f（x）在a，b上至少含有 10 个零点，等价于 ba 的最小值为 4故答案为：或 x=，（kz）+5 =二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）- -15（14 分）设函数 f（x）=（1）求定义域 a；+的定义域是 a，集合 b=x|mxm+2（2）若 ab=a，求 m 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x）=+的定义域是 a，定义域 a=x|=x|1x4（2）a=x|1x4，b=x|mxm+2，ab=a，b a，当 b= 时，mm+2，无解；当 b 时，解得 1m2m 的取值范围是1，216（14 分）如图，在平行四边形 abc

12、d 中，p，q 分别是 bc 和 cd 的中点（1）若 ab=2，ad=1，bad=60，求 及 cosbac 的余弦值；（2）若 = +，求 + 的值【解答】解：（1）平行四边形 abcd 中，ab=2，ad=1，bad=60， = （ + ）= + =2 +21cos60=5，22| | = =（ + ） = +2 + =2 +221cos60+1=7，222222| |= ，cosbac=；（2）p，q 分别是 bc 和 cd 的中点 = + = +， = ， + =（ +）+（ ），- -，解得：+=17（14 分）已知函数 y=f（x）是 r 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）=l

13、og （1x）+x（1）求 f（1）的值；（2）求函数 y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若 f（lga）+20，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f（1）=f（1）=2；（2）令 x0，则x0，则 f（x）=（1+x）x=f（x），故 x0 时，f（x）=故 f（x）=（1+x）x，；故 f（x）在（，0递增，在（0，+）递减；（3）若 f（lga）+20，即 f（lga）2，lga0 时，f（lga）f（1），则 lga1，lga0 时，f（lga）f（1），则 lga1，故 lga1 或 lga1，解得：a10 或 0a - -18（16 分）已知 a

14、r，函数 f（x）=x 2ax+52（1）若 a1，且函数 f（x）的定义域和值域均为1，a，求实数 a 的值；（2）若不等式 x|f（x）x |1 对 x ， 恒成立，求实数 a 的取值范围2【解答】解：（1）f（x）的图象开口向上，对称轴为 x=a1，f（x）在1，a上单调递减，f（1）=a，即 62a=a，解得 a=2（2）不等式 x|f（x）x |1 对 x ， 恒成立，2即 x|2ax5|1 对 x ， 恒成立，故 a且 a在 x ， 恒成立，令 g（x）=，x ， ，则 g（x）=，令 g（x）0，解得： x ，令 g（x）0，解得： x ，故 g（x）在 ， ）递增，在（ ， 递

15、减，故 g（x） =g（ ）= ，max令 h（x）=，x ， ，h（x）=0，故 h（x）在 x ， 递减，h（x） =h（ ）=7，min综上： a719（16 分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为 1 百米的正方形地块 abcd 上划出一个三角形地块 apq 种植草坪，两个三角形地块 pab 与 qad 种植花卉，一个三角形地块 cpq 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点 p 在边 bc 上，点 q 在边 cd 上，记pab=a（1）当paq= 时，求花卉种植面积 s 关于 a 的函数表达式，并求 s 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求 pb+dq=pq，请

16、探究paq 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由- -【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）边长为 1 百米的正方形 abcd 中，pab=a，paq= ，pb=100tan，dq=100tan（ ）=100tan（ ），s=s +s =adq=100100tan+100tan（ ）花卉种植面积abp=，其中 0， ，当 sin（2+ ）=1 时，即 = 时，s 取得最小值为 5000（2 ）（8 分）（2）设pab=，qad=，cp=x，cq=y，则 bp=100x，dq=100y，在abp 中，tan=tan（+）=，在adq 中，tan=，=，pb+dq=pq，100x+

17、100y=，整理可得：x+y=100+，tan（+）=+= ，=1，paq 是定值，且paq= （12 分）20（16 分）已知函数 f（x）= sinxcosx+sin x 2（1）求 f（x）的最小正周期及其对称轴方程；- -（2）设函数 g（x）=f（+ ），其中常数 0，| （i）当 =4，= 时，函数 y=g（x）4f（x）在 ， 上的最大值为 ，求 的值；（ii）若函数 g（x）的一个单调减区间内有一个零点 ，且其图象过点 a（ ，1），记函数 g（x）的最小正周期为 t，试求 t 取最大值时函数 g（x）的解析式【解答】解：（1）函数 f（x）= sinxcosx+sin x 2

18、化简可得：f（x）= sin2x cos2x=sin（2x ）f（x）的最小正周期 t=由 2x = ，（kz），可得对称轴方程为：x=（2）由函数 g（x）=f（+ ）=sin（x+），（kz）（i）当 =4，= 时，函数 y=g（x）4f（x）=sin（4x+ ）4sin（2x ）=cos（4x ）4sin（2x ）=12sin （2x ）4sin（2x ）=2sin（2x2 ）+ +1+2 22x ， 上，则 2x 0， 故 sin（2x ）0，1当 1，0时，则有 1+2 = ，解得：= ；2当 （0，+）时，sin（2x ）=0 时，y 取得最大值，此时2sin（2x ）+ +1+2 =1，22与题意不符当 （