2020年初中数学竞赛讲义：第10讲-抛物线

1、 2020 年初中数学竞赛讲义第十讲 抛物线一般地说来，我们称函数( 、 、 为常数， )为y = ax2 + +bx ca 0abc的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：x1 、 、 的符号决定抛物线的大致位置；abc2抛物线关于x = - 对称，抛物线开口方向、开口大小仅与 相ba2a关，抛物线在顶点(， 4ac -b2 )处取得最值；b-2a4a3抛物线的解析式有下列三种形式：一般式：顶点式：交点式：；y = ax2 + +bx c；y = a(x - h)2 +k，这里 、 是方程的两个y = a(x - x )(x - x )xx2 + + = 0ax bx c121

2、2实根确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被 轴所截得的弦长获得对称x信息第 1 页 共 13 页 【例题求解】【例 1】 二次函数的图象如图所示，则函数值 时，对y = x2 + bx + cy 0应 的取值范围是x思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一 1，一 4)，可求出 ， 值，bc先

3、求出 时，对应 的值y = 0x【例 2】 已知抛物线( 0a + b 0+ 0a c-a + b + c 0其中正确的个数有()b2 - 2 5 2acaa1 个b2 个c3 个d4 个思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定 、 、 的abc符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系【例 3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，mn4 分米，抛物线顶点处到边 mn 的距离是 4 分米，要在铁皮上截下一矩形abcd，使矩形顶点 b、c 落在边 mn 上，a、d 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于 8 分米?第 2 页 共 13 页 思路点拨 恰

4、当建立直角坐标系，易得出 m、n 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设 a( ， )，建立含 的方程，矩形铁皮xyx的周长能否等于 8 分米，取决于求出 的值是否在已求得的抛物线解x析式中自变量的取值范围内注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解【例 4】 二次函数13的图象与 轴交于 a、两点(点 a2y = - x + x + m - 2x22在点 b 左边)，与 轴交于 c 点，且acb90y(1)求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与

5、 轴不重合，与a bc 两边相交的y直线，使截得的三角形与abc 相似，并且面积为boc 面积的 1 ，4写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)思路点拨 (1)a、b、c 三点坐标可用 m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含 m 的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键第 3 页 共 13 页 【例5】 已知函数，其中自变量 为正整数， 也y = (a + 2)x2 - 2( 2 -1) +1axxa是正整数，

6、求 何值时，函数值最小x思 路 点 拨 将 函 数 解 析 式 通 过 变 形 得 配 方 式 ， 其 对 称 轴 为a2 -1a + 2，因0 3，故函数的最小值只a2 -13x = (a - 2) +1a- 2 0，其中正确结论的序号是ac + b +1 = 0abc 0a -b + c 0(把你认为正确的都填上)5已知a -1，点( ， )，( ， )，( ， )都在函数的图象a -1yya +1y= x2ya123上，则(a)bcdy y yy y yy y yy y y1231323212136把抛物线的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单y = x2 + bx + c位，

7、所得图象的解析式为，则有()y = x2 -3 + 5xa ，b，c ，c3db = -9，b = 3c = 7= -9c= -15b= 3c= 21b7二次函数坐标系是(的图象如图所示，则点( ， )所在的直角y = ax2 + +bx c+a bac)a第一象限象限b第二象限c第三象限d第四8周长是 4m 的矩形，它的面积 s(m )与一边长 (m)的函数图象大致2x是()第 5 页 共 13 页 9阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数的图象经过点 a(0， )，b(1，2y = ax + bx + ca-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x = 2题目中的横线部分是一段

8、被墨水污染了无法辨认的文字(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整10如图，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高 1. 8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?第 6 页 共 13 页 11如图，抛物线和直线(

9、 )与 轴、y 轴都相交于 a、by = kx - 4kk1)与 轴交于点 dyx(1)求 a、b、c 三点的坐标；(2)在直线 xm (m1)上有一点 p (点 p 在第一象限)，使得以 p、d、b 为顶点的三角形与以 b、c、o 为顶点的三角形相似，求 p 点坐标(用含 m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点 q，y = 2x2 - 2使得四边形 abpq 为平行四边形?如果存在这样的点 q，请求出 m 的值；如果不存在，请简要说明理由20已知二次函数及实数，求y = x2 - - 2xa -2(1)函数在一 2xa 的最小值；(2)函数在 axa+2

10、的最小值第 9 页 共 13 页 21如图，在直角坐标： o 中，二次函数图象的顶点坐标为 c(4，xy)，且在 轴上截得的线段 ab 的长为 63x(1)求二次函数的解析式；(2)在 轴上求作一点 p (不写作法)使 pa+pc最小，并求 p 点坐标；y(3)在 轴的上方的抛物线上，是否存在点 q，使得以 q、a、b 三x点为顶点的三角形与abc 相似?如果存在，求出 q 点的坐标；如果不存在，请说明理由第 10 页 共 13 页 22某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论一是发现抛物线 y=ax +2x+3(a0，) 当实2数 a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数 a 变化时，1若把抛物线 y=ax +2x+3 的顶点的横坐标减少 ，纵坐标增加，得到 a2a11点的坐标；若把顶点的横坐标增加 ，纵坐标增加 ，得到 b 点的坐aa标，则 a、b 两点一定仍在抛物线 y=ax +2x+3 上2(1)请你协助探求出当实数 a 变化时，抛物线 y=ax +2x+3 的顶点所2在直