正弦电流电路

1、 交流电路中，电流的大小和方向，电压的 大小和极性都随时间的变化而变动，在任瞬 时，时变的电流或电压的数值，称为它的瞬时 值，并用小写字母表示，例如瞬时电流记作i(t)， 瞬时电压记作u(t)，也可简写为i和u，这同样表 示时间的函数。由于在不同的瞬时，瞬时值不 仅大小不同，正负也不同。因此我们仍规定， 电流的实际方向与参考方向或电压的实际极性 与参考极性致时取正，否则取负。 当时变的电流(或电压)经过相等的时间 间隔，瞬时值以同样的次序重复出现，这种 时变电流(或电压)称为周期电流(或电压)， 如图3.l所示。其解析表达式为 式中k为任意正整数，t为周期。它表示电流 (或电压)的波形重复出现

2、时，所经过的最短 时间间隔。在si中，主单位为秒(s)。 )()(kttftfi t ti t0d 1 如图3.2(a)所示电路表示段正弦电路，当 正弦电流在指定参考方向下通过该电路时， 其解析表达式为 im tiisin 该式称为正弦电流的瞬时值表达式。式中 三个量im、 称为正弦量的三要素。 i im称为正弦电流的振幅。它表示正弦电流 变化过程中所能达到的最大值，如 时， i=im。通常用下标“m”标注。 1sin i t 称为正弦电流的角频率。它表示正弦量的 对应的角度随时间变化的速度，或者说，表示 单位时间增加的角度，即 。它反映了 正弦量变化的快慢。在si中，主单位是弧度每 秒(即r

3、ads)。正弦量变化的快慢还可以用周期 (t)和频率(f)表示。 i t t d d f t 1 因为正弦量在个周期内对应的角度变化为2 弧度，所以角频率和周期t及频率f的关系为 f t 2 2 称为正弦电流的初相位或初相角，简 称初相。它是正弦量在计时起点(t=0)时刻的相 角，即 ，它又反映正弦量的初始 值，即t=0时刻的值，如 ，即 反映正弦量在t=0时的状态。而 这个电角 是确定正弦量每瞬间状态的，决定了正弦 量变化的进程，称之为相位角，简称相位。 i i t i t 0 im t iisin 0 i i t 相位角和初相角均为电角，故有相同单位 弧度(rad)，工程中还习惯以度为单位

4、，在计算时， t与 应为相同的单位。画正弦量的波形时， 可以用时间t为横坐标，也可以用t为横坐标(见 图3.2)。 i 正弦电流电路中，电流与电压都是同频 率的正弦量，但是它们的相位并不定都相 同，并且经常遇到频率相同的正弦量要比较 相位差。设两个同频率正弦量分别为 111 sintii m 222 sintii m 它们之间的相位之差 ，称为相位差，用字 母表示，即 2121 tt 两个同频率正弦量的相位差等于它们的 初相位之差，它是个与时间无关的常数， 且与计时起点无关。应当注意，对于两个不 同频率的正弦量，相位差是个随时间变化 的数，讨论已无意义。 当时 ，称i1在相位上比i2超前角 ，

5、 即在时间上，i1比i2先由负值至正值经过零点， 或先到达正的最大值。反过来也可以说i2在 相位上比i1滞后角 。如图3.4(a)所示。 0 图3.4 同频率正弦量的相位差 当时 ，称i1与i2同相位（可简称同 相），这时i1与i2同时达到正的最大值，或 同时通过零点，如图3.4(b)所示。 0 当时 ，称i1与i2反相，如图3.4(c)所示。 2 当时 ，称i1与i2正交，如图3.4(d)所示。 相位差 的单位仍是弧度，习惯上也用度表 示，其取值范围规定为 22 0 ,d t ii qki rt qkrit （式中k为系数）如果在周期t内，直流电流i 和正弦电流i所产生的热量相等，即qi=q

6、i，则 规定直流电流i的量值即为正弦电流i的有效值。 即有 t ti t i 0 2d 1 周期量的有效值是瞬时值的平方在个 周期内的平均值再开方。所以有效值又称方 均根值。 将正弦电流 代入可得正弦 电流的有效值为 im tiisin 222 00 111 dsind0.707 2 tt mimm iitittii tt 同样对正弦电压、正弦电动势的有效值为 mm uuu707. 0 2 1 mm eee707. 0 2 1 即正弦量的有效值等于其最大值的 倍。 2 1 工程上凡是谈到周期电流、电压或电动 势的量值时，若无特殊说明，都是指有效值 而言。在交流测量仪表上指示的电流或电压 也都是

7、有效值。但在分析各种电子器件的击 穿电压或电气设备的绝缘耐压时，要按最大 值考虑。 当采用有效值时，正弦电流、电压的瞬 时值表达式可表示成 u i tuu tii sin2 sin2 在交流电路中，除要考虑电阻外，还要 考虑电感和电容的作用。由于电路中的电压 和电流随时间变动，使得电路周围的电场和 磁场也随时间变动。变动的磁场将在电感中 产生感应电动势，变动的电场将在电容中产 生位移电流，影响整个电路中电压与电流的 分布。因此研究交流电路时必须引入电感元 件和电容元件来建立电路模型。 cuq 式中，c定义为电容元件的电容。即 u q c c取决于电容器极板的尺寸及其间介质的介 电常数。 图3.

8、6 电容元件库伏特性 电容元件也简称为电容，所以电容这术 语及其代表符号c，既表示电容元件，又表示 电容元件的参数电容量。 当作用于电容器的电压变动时，电容器极板 上的电荷也随之变动，联接电容的导线中就会 有电流通过，若电压与电流取关联参考方向时 ，则 t u ci d d 为电容元件上电压与电流的伏安关系式 电容元件上的电压与电流的另种关系式为 ttt ti c uti c ti c ti c u 00 0 d 1 )0(d 1 d 1 d 1 式中 体现了起始时刻t=0之前电流对 电容电压的全部贡献，称为电容元件的初始 电压或初始状态。而 体现了从t=0到时间 t电流的贡献。若 ，则 0

9、d 1 )0(ti c u t ti c 0 d 1 0)0(u t ti c u 0 d 1 电容电流是指与电容极板相联接的导线 中的传导电流，它是不能通过电容器极间的 绝缘介质的，但这并不违背电流的连续性。 因为根据电磁场理论，当电场变动时，在介 质中要产生位移电流。可以证明：这个位移 电流恰好等于联接导线中的传导电流，从而 保证了电流的连续性。 由于我们只分析理想电容元件，不考虑 电容器内部的漏电损耗和极化损耗，所以充 电过程中电源所做的功全部储存在电容器的 电场之中。当电容器的电压与电流取关联参 考方向，则电容c在某瞬间吸收的功率为 uip 从t0到t电容吸收的能量为 0 22 0 1

10、 ( )d( )( ) 2 t t w tp tc utut 如果u(t0)=0，即电容从零电压开始充电到u(t)， 则在时刻t所储存的能量为 )( 2 1 )( 2 tcutw 上式说明，电容元件是种储能元件，某时刻 t的储能只取决于电容c及这时刻的电容电压， 并与其上电压的平方成正比。当电压的绝对值增 加时，电容从外界吸收能量，储存于电场中；电 压的绝对值减小时，电容向外界释放储存于其电 场的能量，可见电容元件并不消耗能量。同时， 电容元件在任何时刻不可能释放出多于它吸收的 能量，因此，它是种无源元件。 使用实际的电容器，当电容量不够时，可 将几个电容器并联使用。图3.8(a)所示是两个电

11、 容器并联。 21 221121 cc u ucuc u qq u q c c cc cc 两个并联的电容看成是个等效电容c，如图 3.8(b)所示。 当n个电容并联，则等效电容为 n k k cc 1 （a） （b） 图3.8 电容的并联 若单个电容耐压不够，可以将几个电容串 联使用。图3.9(a)是两个电容器的串联，根据 电荷守恒原理和kvl 有 q cc uuu ccc 21 21 11 把两个串联的电容看成个等效电容c，如图 3.9(b)所示 12 111 ccc 当n个电容串联，则等效电容为 n kk cc 1 11 （a） （b） 图3.9 电容的串联 n 21 图3.10 实际电

12、感器及电感元件的符号 式中 分别为与对应线匝相交链的 磁通。如果线圈绕制得很紧密，穿过线圈各 匝的磁通近似为相等的，即 n 21、 n 21 则磁链为 n 电感线圈是种储存磁场能量的电路器 件，如果线圈的电阻和匝间电容都很小，消 耗的能量和电场储存的能量可以忽略不计， 这时实际的电感线圈可用种理想电路元 件电感元件作为它的电路模型，其电路 图形符号如图3.10（b）所示。电感元件表征 实际电感线圈的磁场特性。 如果规定电流i的参考方向和磁链 的参考方 向之间符合右手螺旋定则，即i、 的参考方向 相关联(图3.10(a)，则电感元件的磁链 与元 件中的电流i有以下关系 li 式中l定义为电感元件

13、的电感，亦称自感，即 i l l取决于线圈的几何形状、尺寸、匝数以及附 近的介质的导磁性能。 在国际(si)单位制中，电感的主单位是 亨利，记作亨(h)。常用的单位有毫亨和微亨， 其换算关系为 1毫亨(m h)=103亨(h) 1微亨(h)=106亨(h) 当线圈附近没有铁磁材料时，电感l为 常量，这种电感称做线性电感。如果在线 圈中放入铁磁材料，则磁链 与电流i的比值 不等于常量，这种电感称做非线性电感。 i 在直角坐标系中，以电感元件的自感磁链 为 纵坐标（或横坐标），电流i为横坐标（或纵坐 标），对于系列的自感磁链和电流值可得到 条代表自感磁链与电流之间的函数关系曲线， 称做电感的韦安特

14、性曲线，简称为韦安特性。 线性电感的韦安特性是条通过坐标原点的直 线，如图3.11(a)所示。非线性电感的韦安特性是 通过坐标原点的条曲线，如图3.11(b)所示。 电感元件也简称为电感，所以电感这术语及 其代表符号l，既表示电感元件，也表示电感 元件的参数电感量。 在电感元件中电流i随时间变化时，磁通 、磁 链 也随时间变化，在元件中产生感应电动势 （亦称自感电动势）。这种现象称为电磁感应。 感应电动势e的大小与磁链的变化率 成正比， 感应电动势的方向由楞次定律判定（即感应电 动势总是试图产生感应电流和磁通来阻碍（即 反对）原磁通的变化）。 td d 如果选定感应电动势e的参考方向与磁链 的

15、参考方向符合右手螺旋定则，即e与 的参 考方向相关联，如图3.10(a)所示，则根据法 拉第电磁感应定律得 t i l t e d d d d 由感应电动势而使电感元件两端具有的 电压称为感应电压(亦称自感电压)，用u表示。 如果选取电压的参考方向与磁链的参考方向 符合右手螺旋定则，这时u、e和i参考方向相 同，如图3.10(a)、(b)所示。如1、2节所述，u为 电位降，e为电位升，u与e的参考方向相同时， u=-e t i l t u d d d d 所以 为电感元件上电压与电流的伏安关系式。它 表明，电感元件任时刻的电压不是决定于 此时刻的电流值，而是决定于这时刻电流 的变化率，故称电感

16、元件为动态元件。电流 变化越快，电感电压越大；电流变化越慢， 电感电压越小；当电流不随时间变化时，电 感电压等于零，这时电感元件相当于短路。 ttt tu l itu l tu l tu l i 00 0 d 1 )0(d 1 d 1 d 1 将上式两边积分，便可得出电感元件上的电 压与电流的另种关系式，即 式中 体现了起始时刻t=0之前电压对 电感电流的全部贡献，称为电感元件的初始 电流或初始状态。而 体现了从t=0到时间 t电压的贡献。若 ，则 0 d 1 )0(tu l i t tu l 0 d 1 0)0(i t tu l i 0 d 1 当电感中的电流与两端电压取关联参考方向 时，则

17、电感在某瞬间吸收的功率为 uip 从t0到t电感吸收的能量为 0 22 0 1 ( )d( )( ) 2 t t w tp tl itit 如果i(t0)=0，即电感从电流为零值开始充磁到 i(t)，则在时刻t所储存的能量为 )( 2 1 )( 2 tlitw 上式说明，电感元件也是种储能元件，某 时刻t的储能只取决于电感l及这时刻的 电感的电流值，并与其中电流的平方成正比。 当电流的绝对值增加时，电感从外界吸收能 量，储存于磁场中；电流的绝对值减小时， 电感向外界释放储存于其磁场的能量。可见， 电感元件并不消耗能量。同时，电感元件在 任何时刻不可能释放出多于它吸收的能量， 因此，它也是种无源

18、元件。 式中a为复数。a、b为实数，a称为a的实部，b称 为a的虚部，j= 称为虚数单位，数学上用i表 示，电工中为了与电流i相区别而改用j来表示。 复数的代数形式便于对复数进行加、减运算。 1 sin cos tanarg 22 ab aa a b baa 图3.14 复数的矢量表示法 复数a又可用三角形式表示，即 sinjcossinjcosaaaa 根据欧拉公式，复数又可表示为指数形式， 即 j sinjcoseaaa 在电工中常把复数写成极坐标形式，即 aa 复数的指数形式或极坐标形式便于对复数进 行乘、除运算。 应用以上各式可以对复数的代数形式和极 坐标形式进行相互转换。要注意的是，

19、在计算 辐角时，必须根据复数的实部和虚部的正负符 号，判断 角所在象限，并统取绝对值小于 的辐角。 两个复数相等时，其实部和实部，虚部和 虚部应分别相等，或者说模和模、辐角和辐角 分别相等。如果两个复数的实部相等而虚部等 值异号，则这两个复数互为共轭复数。两个共 轭复数的模相等，辐角互为相反数。 设 a1=a1+jb1 a2=a2+jb2 则 a1a2=(a1a2)+j(b1b2) 复数的加减运算也可用几何作图法平行 四边形法和三角形法。图3.15(a)、(c)分别表示 求a1+a2和a1-a2的平行四边形法，图3.15(b)、(d) 分别表示求a1+a2和a1-a2的三角形法 图3.15 复

20、数的加减运算 （a） （b） （c） （d） 111 aa 222 aa 设 2121221121 aaaaaa则 111 1 12 2222 aaa - aaa 用代数形式也可进行复数的乘除运算，例如 a1a2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2b1b2)+j(a1b2+a2b1)，这里 利用了j2= 1的关系。有时我们还需用到j3= j 、 j4=1等关系。但在般情况下用指数形式较简便， 因此在复数四则运算中，常需进行复数形式的 转换。 复数 对应于具有单位长度的矢量，其模 为1，辐角为 。个复数乘以 ，就相当于把 表示这个复数的矢量逆时针方向旋转 角，因 此复数 称为旋转因子。

21、例如当 =90， ，即j为90的旋转因子，如图3.16所 示。 1 j e j e j e j 90j e 图3.16 j旋转因子 由于在正弦电流电路中，所有响应都是 与激励同频率的正弦量，所以在分析正弦电 流电路时，只要计算电路各处响应的有效值 （或振幅）和初相位就可以了。个复数可 以同时表达个正弦量的有效值（或振幅） 和初相位，相量表示法就是用复数表示正弦 量的方法。 im titisin)( 它由角频率、振幅（有效值）和初相位三个要 素决定，因此只要能表达它的三个要素，那么 这个正弦量就被确定地表示出来了。 为了便于说明相量法，这里构造个复指数函 数 。根据欧拉公式，它可以写作 )( j

22、 i t me i 。 )sin(j)cos( )( j imim t m titiei i 比较上两式可知，正弦电流i(t)恰好是复指 数函数 的虚部，可记为 )( j i t me i )( j im)sin()( i t mim eititi 式中是im取虚部的符号。上式表明，复指数 函数 与正弦电流具有对应的关 系，可用以表示正弦电流。图3.17可以清楚 地看出该式的几何意义。 )( j i t me i 图3.17 旋转矢量与正弦波有对应关系 由于正弦电流电路中各正弦量都具有相 同的角频率 ，所以在每个表示正弦量的 旋转矢量中均含有相同的旋转因子 。因 此，在 中可以略去 ，即可以只

23、 用 表示正弦电流(或者说，用t=0时的旋 转矢量来表示正弦电流i)。 是个能反 映正弦量的振幅和初相位的复数，称为正弦 电流的振幅相量，并用下列极坐标形式表示 t e j )( j i t me i t e j i ei m j i ei m j immm ieii i j 类似地，正弦电流的有效值相量为 2 jm i i iiei i 表示正弦量的相量用上面带小圆点的大写字 母表示，如 、 等是为了与普通的复数相 区别，这种记法的目的是强调它是正弦量的 代表，但在运算过程中与普通的复数并无区 别。 m i i 则在电阻元件两端产生的电压降为u。当取电 流i、电压u参考方向为关联参考方向，如

24、图 3.20(a)所示，则在任瞬间由欧姆定律得 im tiisin 图3.20电阻元件的交流电路、相量模型、电压 与电流波形图、相量图及瞬时功率波形图 sin() sin() mu mu uririt ut 其中 iu m mm ri u uriu 2 或 电压u是与电流i同频率的正弦量，其最大值为 rim，而且，其相位也与电流相位相同，即电 压、电流同时达到最大值或零值，如图3.20(c) 所示。 若用相量表示，则 iu riu iru 电阻中电压、电流的相量关系仍服从欧姆 定律。其相量图如图3.20(d)。 瞬时功率的单位仍是瓦特。 1-cos(22) u puiuit 瞬时功率由两部分组

25、成。前部分是常 量ui，它与时间无关；后部分是正弦量 uicos(2t+2 )，它的频率是正弦电流（或电压） 频率的2倍，如图3.20(e)所示。由于电压和电 流同相位，所以电压、电流同时为零，及同 时达到最大值。电压、电流为零时，瞬时功 率也为零；电压、电流达最大值时，瞬时功 率也达最大值。而且，在电压、电流均为负 值时，瞬时功率也是正，由于任何瞬间，恒 有p0，所以，电阻是耗能元件。 u 瞬时功率在周期内的平均值，称平均功率， 用大写字母p表示，即 00 0 00 22 11 dd 1 cos(22) d 11 dcos 22d tt t u tt u pp tui t tt uiuitt

26、 t ui tuitt tt uii ru g 图3.21电感元件的交流电路图、相量模型、电 压与电流波形图、相量图及瞬时功率波形图 在时域中，当通过电感元件的正弦电流为 时，则在电感元件两端感应出 的电压为u。若设电流i、电压u的参考方向为 关联参考方向，如图3.21(a)所示，则由电感 元件的电压与电流关系得 sin() mi iit = sin(+ ) 2 sin( ) mi mu di ullit dt ut 其中 2 iu mm liuliu或 由上式知，电感电压u是与电流i同频率的 正弦量，其最大值为umlim，其相位则超 前于电流 或90，也就是说，电压u到达 最大值和通过零值都

27、比电流i早 周期。这是 因为决定电感电压u的不是电流i，而是电流i 对时间t的导数，即 ，所以电压与电流之 间才有相位差存在。其波形如图3.21(c)所示。 2 4 1 t i d d 式中xl称为电感元件的感抗，具有阻止电流 通过的性质。当l的单位为亨利，f的单位为 赫兹时，xl的单位为欧姆。当l定时，xl随 频率f增大而增大，所以在高频电流作用时， 电感线圈有扼流作用。当f时，感抗相当 于开路；当f=0（即直流）时感抗相当于短路。 因此，可以得出电感元件具有“阻交流、通 直流”或“阻高频、通低频”的特性。 电压与电流的最大值或有效值之比为 =2 m m uu lxlfl ii 感抗的倒数称

28、为感纳，用bl表示，即 111 = 2 l l b xlfl 单位为西门子（s）。 值得指出，感抗只能代表电压与电流最 大值或有效值之比，不代表它们的瞬时值之 比。而且感抗只对正弦交流电才有意义。 电感中电流与电压的关系表达成相量形式有 u l i liuilu iu 1 j 2 j或 其相量图如图3.21(d)所示。 电感l吸收的瞬时功率为 p sin(22) i uiuit 电感储存磁场能量为 22 11 = 1-cos(22) 22 li wlilit 由上式知，瞬时功率是个正弦波，其最 大值为ui，频率为电流或电压频率的两倍。而 且在第个1/4周期内电流由零开始上升到最 大值，由于此期

29、间电流、电压的实际方向相同， 瞬时功率p为正值，表示电感在吸收能量，并 把吸收的能量转化为磁场能量。所以磁场能量 wl由零上升到最大值。当电流达到最大值时， 由于电压为零，瞬时功率为零。 在第二个1/4周期内，电流由最大值逐渐减小 到零，由于电流、电压的实际方向相反，瞬 时功率p为负值，表示电感在发出功率，原先 储存在磁场中的能量逐渐释放直到全部放完。 以后过程与前相似，如图3.21(e)所示。 电感元件是储能元件，它并不消耗功率，即 它的平均功率为零。 00 11 dsin 22d0 tt i pp tuitt tt 但它的瞬时功率却不为零。工程上常把它的 瞬时功率的最大值称为无功功率。即

30、2 2 ll l u quii x x 表示外部能量转换为磁场能量的最大速率。 图3.23电容元件的交流电路图、相量模型、电压与电流波 形图、相量图及瞬时功率波形图 在时域中，当作用于电容元件两端的正弦 电压为sin( ) mu uut时，则在电容中通过的 电流为i。若设电流i、电压u的参考方向为关 联参考方向，如图3.23(a)所示，则由电容元件 的电压与电流关系得 sin(+)sin() 2 mumi du iccutit dt 其中 2 ui mm cuicui或 2 由上式可知，通过电容的电流i是与电压u同频率 的正弦量，其最大值为imcum。其相位超前于 电压或90(或电压滞后于电流

31、 2 因为，决定电容电流i的不是电压u， u对时间t的导数，即 t u d d ，所以电流与电压之间 )。这是 而是电压 才有相位差存在。其波形如图3.23(c)所示。 电压与电流的最大值或有效值之比为 11 2 m c m uu x iicfc 式中xc称为电容元件的容抗，具有阻止电流 通过的性质。当c的单位为法拉，f的单位为 赫兹，xc的单位是欧姆。当c定时，xc随频 率f的增大而减小。当f时，容抗相当于短 路；当f=0（即直流）时，容抗相当于开路。 因此，可以得出电容元件具有“通交流、阻 直流”或“通高频、阻低频”的特性。 容抗的倒数称为容纳，用bc表示，即 1 2 c c bcfc x

32、 单位是西门子（s）。 值得指出，容抗只能代表电压与电流最大值 或有效值之比，不能代表瞬时值之比。而且， 容抗只对正弦交流电才有意义。 电容中电流与电压的关系表达成相量形式有 i c u cuiuci ui 1 j 2 j或 其相量图如图3.23(d)所示。 电容c吸收的瞬时功率为 sin(22) u puiuit 电容储存的电场能量为 22 11 1-cos(22) 22 cu wcucut 由上式知，瞬时功率是个正弦波，其最 大值为ui，频率为电压或电流频率的两倍，而 且在第个1/4周期内，电压由零开始上升到最 大值，由于此期间电压、电流的实际方向相同， 瞬时功率p为正值，表示电容在吸收能

33、量，并 把吸收的能量转化成电场能量。所以电场能量 wc由零上升到最大值。当电压达到最大值时， 由于电流为零，瞬时功率为零。 在第二个1/4周期内，电压由最大值逐渐减小 到零，由于电压、电流的实际方向相反，瞬 时功率为负值，表示电容在发出功率，原先 储存在电场中的能量逐渐释放直到全部放完。 以后过程与前面类似，如图3.23(e)所示。 电容元件是储能元件，它并不消耗功率，即 它的平均功率为零。 00 11 dsin 22d0 tt u pp tuitt tt 电容瞬时功率的最大值 2 2 = cc c u quii x x 称为无功功率，它代表外部能量转化为电场 能量的最大速率。在si制中其主单

34、位为无功 伏安，记作乏(var)。 应用kcl时，般对参考方向 流出节点的电流相量取正号，反之取负号。 0 1 n k k i 基尔霍夫电流定律(kcl)的相量表达式 0 1 n k k u 基尔霍夫电压定律(kvl)的相量形式为 图3.28 rlc串联 交流电路 假设通过它的电流为 i tiisin2 各电压、电流取关联参考方向，由kvl和vcr得 1 jj 1 jjjjj rlc lc uuuurilii c rlirxxirx i c 设z= r+jx，则izu 称为欧姆定律的相量形式，式中复数z称为复 阻抗，它等于电压相量除以对应端点的电流相 量。 复阻抗的实部就是电路的电阻r；复阻抗

35、的 虚部 cl xxx 是电路中感抗与容抗之差，称电抗。感抗和容 抗总是正的，而电抗为代数量，可正可负。 电路可用阻抗z来等效，如图3.28(c)所示。 复阻抗也可以表达成指数形式、极坐标形 式和三角形式，如 sinjcos j zzzezz 式中 22 2 2 1 xr c lrz 是复阻抗的模，称为 r c l r x 1 arctanarctan 阻抗的辐角，称为阻抗角，可正可负，视x 的正负而定。显然z和r、x的单位相同，都是 。由上两式知，复阻抗的模z与其实部r 和虚部x构成个直角三角形，称为阻抗 阻抗模，总是正值。是复 三角形，如图3.29所示。 图3.29 rlc串联电路的阻抗三

36、角形 由于电抗 c lxxx cl 1 与频率有关，因此，在不同的频率下，rlc串 联电路有不同的性质，下面分别进行说明。 1. 当 时，x0， ，电压 超前电流 ， 电路中电感的作用大于电容的作用，这时电路 呈现电感性。电路阻抗可以等效成电阻与电感 串联的电路。 c l 1 0 u i 2.当 时，x=0， ，电压 与电流 同 相，电路中电感的作用与电容的作用相互抵 消，这时电路呈现电阻性。电路阻抗等效成 电阻r。 3.当 时，xxc，uluc时，电压 等于三个电压相 量之和，画出相量图，如图3.30(a)所示。由图 可知，电压 超前电流 ，超前的角度即 。 2. 当xl=xc，ul=uc时

37、，电压 的模等于电阻上 电压 的模，即u=ur，而且 与电流 同相。 相量图如图3.30(b)所示。这种情况称为rlc串联 电路发生串联谐振，亦称为电压谐振。 3. 当xlxc，ul0， ，电流 超前电压 ， 电路中电容的作用大于电感的作用，这时电 路呈现电容性。电路导纳可以等效成电阻与 电容并联的电路。 l c 1 0 i u 2. 当 时，b=0， ，电流 与电压 同相，电路中电感的作用与电容的作用相互 抵消，这时电路呈现电阻性。电路导纳可等 效成电导g。 3. 当 时，bbc时，icil ，电流 等于三个电流相 量之和，画出相量图，如图3.35(a)所示。由图 可知，电流 超前电压 ，超

38、前的角度即 。 2. 当bl=bc时，ic=il ，电流 的模等于电导上 电流 的模，即i=ig，而且与电压 同相。相 量图如图3.35(b)所示。这种情况称为rlc并联电 路发生并联谐振，亦称为电流谐振。 i i g i u u i 3. 当 时， ，电流 等于三个 电流相量之和，画出相量图，如图3.35(c) 所示。由图可见，此时电流 滞后电压 ， 滞后的角度即 。 lc bb lc ii i u 在相量图中不难看出，电流相量 、 、 可 以组成个直角三角形，称为电流三角形， 如图3.35(d)所示。 i g i b i i 这说明并联电路端电流的有效值并不等于各并 联元件上电流有效值直接

39、相加。各电流有效值 之间存在的关系为 g b bg i i iii arctan 22 比较图3.34与图3.35(d)，可以看出，同电路的 导纳三角形与电流三角形是相似的，因为将导 纳三角形的每边乘以u，即得电流三角形。 由于这两种等效电路有相同的伏安关系 (vcr)，即 和 ，显然有zy=1， 利用这关系可进行两种等效电路参数 的互换。 i u z u i y bg xr x xr r xrz yjj j 11 2222 若已知负载的等效阻抗z=r+jx,则它的等 导纳为 22 22 xr x b xr r g即 同理，若已知负载的等效导纳y=g+jb，则它 的等效阻抗为 xr bg b

40、bg g bgy zjj j 11 2222 22 22 bg b x bg g r即 上两式就是负载串联电路与并联电路等效互 换的条件 从以上两式看出：等效电导g，并不 等于电阻r的倒数，并且还与电抗及频率有 关；等效电纳b，也不是电抗x的倒数，并 且也与电阻r及频率有关。这就是说，按某 频率由上两式算出的等效参数，只有在 该频率电源作用下才是正确的。还应注意b 与x的符号总是相反的。 图3.39 实际电阻器的电路模型 图3.40 实际电感器的电路模型 图3.41 实际电容器的电路模型及其相量图 图3.42 两阻抗串 联及等效 电路 根据基尔霍夫电压定律可以写出它的相量 表示式 izzizi

41、zuuu 212121 两个串联阻抗可用个等效阻抗z来代替， 在同样电压的作用下，电路中电流的有效值 和相位保持不变。即 izu 式中z=z1+z2，称为串联电路的等效阻抗。等 效电路如图3.42(b)所示。 同理可得，对于n个阻抗串联而成的电 路，其等效阻抗为 12n zzzz 阻抗的串联存在分压关系。当两个阻抗z1和 z2串联时，两个阻抗的电压分配为 u zz z u u zz z u 21 2 2 21 1 1 式中u 是总电压， 1 u 、 2 u 分别为z1和z2上的电压。 图3.45 两阻抗 并联及 等效电 路 根据基尔霍夫电流定律可以写出它的相量表 示式 2121 21 11 z

42、z u z u z u iii 两个并联阻抗可用个等效阻抗z来代替，在 同样电压的作用下，电路中电流的有效值和 相位保持不变。即 z u i 式中 21 111 zzz ，即 21 21 zz zz z ， z称为并联电路 的等效阻抗。等效电路如图3.45(b)所示。 同理可得，对于n个阻抗并联而成的电路， 其等效阻抗为 12n yyyy 或 12n 1111 zzzz 阻抗的并联存在分流关系。当两个阻抗z1和 z2并联时，两个阻抗的电流分配为 i zz z i i zz z i 21 1 2 21 2 1 式中i 是总电流， 1 i 、 2 i 分别为z1和z2上的电流。 例3.25 图3.

43、48(a)示测量电感线圈的参数r和l的 电路。若已知三个电压表的读数分别为u=149v， u1=50v，u2=121v，且r1=5 ，f1=50hz。求线圈的 参数。 （a） （b） 图3.48 例3.25电路及相量图 解：由相量图应用余弦定理计算 418. 0 121502 14912150 2 cos 222 21 22 2 2 1 uu uuu 线圈的阻抗角 3 .657 .114180 7 .114 电路中电流 10 5 50 1 1 r u i a 2 cos 5.06 u r i 电阻 2 sin 35mh 22 l xu l fif 电感 （1）选择个参考相量。对于串联电路， 选

44、电流为参考相量；对于并联电路，选电压 为参考相量；对于混联电路，可根据已知条 件选定电路内部某并联部分电压或某串联部 分电流为参考相量；对较复杂的混联电路， 常选末端电压或电流为参考相量。 用相量图求解正弦电流电路的方法大体归纳 如下： （3）根据题给的条件，把所给的电气条件转 化成相量图中的几何关系，准确地得出电路 的相量图，最后根据相量图中的相量关系， 利用三角函数定律及几何知识进行求解。 （2）以参考相量为基准，根据电路的具体结 构及参数，利用r、l、c元件vcr和kcl、kvl 的相量形式定性地画出电路的电压、电流相 量图。要注意kcl和kvl的相量形式反映在 相量图上应为闭合的三角形

45、或多边形。 设二端网络的端电压和端口电流的参考方 向如图3.50(a)所示。为简便起见，设电流为 参考正弦量，即 ，电压超前于电流的 相角为 ，即该无源二端网络 的等效阻抗的阻抗角，则 0 i uiu tiisin2 u tuusin2 该网络吸收的瞬时功率为 2sinsincoscos 2 coscos 2 u puiuittuit uiuit 式中 为恒定分量，它与时间无关为 常量； 为正弦分量，它的频率 是电流或电压频率的两倍，其波形图如图 3.50(b)所示。 cosui tui2cos 图3.50 无源二端网络及p、 i、 u波形图 为了便于说明二端网络的有功功率和无 功功率，由前式可得 tuituip2sinsin