极坐标第一课时

1、极坐标 第一课时第一课时 平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点p与坐标与坐标(a ,b)是是 _对应的对应的. p(a,b) . x y o a b 平面直角坐标系是最简单平面直角坐标系是最简单 最常用的一种坐标系，但不是最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系唯一的一种坐标系. 有时用别有时用别 的坐标系比较方便的坐标系比较方便. 我们先看下面的问题我们先看下面的问题. . 还有什么坐标系呢？还有什么坐标系呢？ 与角与角终边相同的角：终边相同的角： = =+2+2k, ,kzz 一一一一 以南泉路为以南泉路为x轴轴 以潍坊路为以潍坊路为y轴轴. 请问：去源深请问：去源深 体育场怎么走

2、？体育场怎么走？ 从这向东从这向东 走走2000米。米。 请问：去源深请问：去源深 体育场怎么走？体育场怎么走？ 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 东 走从 这 向 东 走 2 0 0 0 米 ！米 ！ 出发点出发点 方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置一点的位置 这种用这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 它直观、方便它直观、方便 请大家回忆直角坐标系的建立过请大家回忆直角坐标系的建立

3、过 程，试着建立一个用距离与角度程，试着建立一个用距离与角度 确定平面上一点位置的坐标系。确定平面上一点位置的坐标系。 试一试？试一试？ 一、极坐标系的概念：一、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点在平面内取一个定点o，叫做，叫做极点极点。 引一条射线引一条射线ox，叫做，叫做极轴极轴。 再选定一个长度单位再选定一个长度单位 和和角度单位角度单位及及它的正它的正 方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针 方向）。方向）。 这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。 x o 二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定 x o m 对于平面上任意一点对于平面上任意一点m，

4、 用用 表示线段表示线段om的长度，的长度， 用用 表示从表示从ox到到om 的的 角度，角度， 叫做点叫做点m的的极径极径， 叫做点叫做点m的的极角极角，有序，有序 数对数对（ ， ）就叫做就叫做m的的 极坐标。极坐标。 特别强调：特别强调： 表示线段表示线段om的长度，即点的长度，即点m到到 极点极点o的距离；的距离； 表示从表示从ox到到om的角度，即的角度，即 以以ox（极轴）为始边，（极轴）为始边，om 为终边的角。为终边的角。 题组一题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标 a b c d e f g o x 4 6 5 3 5 3 4 2 在同一极坐标系中在同一极坐

5、标系中, ,有如下极坐标：有如下极坐标： 4, 4,2, 4,4, 4,2 6666 1：这些极坐标之间有何异同？：这些极坐标之间有何异同？ 2：这些极角有何关系？：这些极角有何关系？ 3：这些极坐标所表示的点有什么关系：这些极坐标所表示的点有什么关系? 极径相同极径相同，极角不同。，极角不同。 极角的始边相同，终边也相同，极角的始边相同，终边也相同， 即即:它们是它们是终边相同的角终边相同的角。 它们表示同一个点。它们表示同一个点。 探讨：探讨： 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？坐

6、标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 想一想？想一想？ 三、点的极坐标的统一表达式三、点的极坐标的统一表达式: x o m 特别地：特别地：极点极点o的坐标为的坐标为0,r 一般地：一般地：极坐标极坐标 与与 表示同一个点表示同一个点 , ,2k kz (3,0)(6,2 )(3,) 2 45 (5,)(3,)(4, ) 36 5 (6,) 3 abc def g 题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点 6 5 3 5 3 4 2 ab c d e f g o x 四、四、1、负极径的定义、负极径的定义 说明

7、：一般情况下，极径都是正值；说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取在某些必要情况下，极径也可以取 负值。负值。 对于点对于点m（ ， ）负极径时的规定：负极径时的规定： 1作射线作射线op，使，使 xop= 2在在op的反向延长的反向延长 线上取一点线上取一点m，使，使 om = o x p m o x p = /4 m 四、四、2、负极径的实例、负极径的实例 在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点 m（3， /4）的位置的位置 1作射线作射线op，使，使 xop= /4 2在在op的反向延长的反向延长 线上取一点线上取一点m，使，使 om = 3 说出下图中当极径取负

8、值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标： a a b b c c d de e o o x x 2 6 12 11 12 23 2 3 4 5 四、四、3、关于负极径的思考、关于负极径的思考 “负极径负极径”真是真是“负负”的？的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正根据极径定义，极径是距离，当然是正 的。现在所说的的。现在所说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底到底 是什么意思？是什么意思？ 把负极径时点的确定过程，与正极径时把负极径时点的确定过程，与正极径时 点的确定过程相比较，看看有什么相同，有点的确定过程相比较，看看有什么相同，有 什么不同？什么不同？ ？ 四、四、4

9、、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较 o x p o x p 1作射线作射线op，使，使 xop= /4 2在在op的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点 m，使，使 om = 3 1作射线作射线op，使，使 xop= /4 2在在op的上取一点的上取一点m，使，使 om = 3 m 画出点画出点 （3， /4） 和（和（3， /4） 给定给定,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角 找到找到极径所在的射线极径所在的射线，后，后按极径的正负和数值按极径的正负和数值 在这条射线或其反向延长线上描点。在这条射线或其反向延长线上描点。 m 四、

10、四、5、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射 线线op“反向延长反向延长”。 o x p m o x p m 而反向延长也可以看成而反向延长也可以看成 是旋转是旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负负 极径极径”实质是实质是管方向管方向的。这的。这 与数学中通常的习惯一致，与数学中通常的习惯一致， 用用“负负”表示表示“反向反向 ”。 负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。 练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6， ） 6 答：（答：（6， +） 6 或（或（6， +

11、） 6 11 特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。 五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标 o x p m 探索点探索点m（3， /4）的）的 所有极坐标所有极坐标 1极径是正的时候：极径是正的时候： 4 23 k， 2极径是负的时候：极径是负的时候： ) 4 23 k，（ 六、极坐标系下点与它的极坐标的六、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况对应情况 1给定（给定（ , ）,就可以在就可以在 极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的 一点一点m。 2给定平面

12、上一点给定平面上一点m，但，但 却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对 应。应。 原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。 o x p m (,) 一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则 (,+2k)、,+(2k+1)都可以都可以 作为它的极坐标作为它的极坐标. 如果如果限定限定0,02或或 , 那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就 可以可以一一对应一一对应了了. 2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称 的点是的点是( ) a.(,) b.(,) c.(,) d.(,) c d 题组三题组三 1. 在极坐

13、标系中，与点在极坐标系中，与点(3, )重合重合 的点是的点是( ) 6 a.(3, ) b. (3, ) c. (3, ) d. (3, ) 6 6 6 5 6 5 3.在极坐标系中在极坐标系中,与点与点(8, )关关 于极点对称的点于极点对称的点 的一个坐标是的一个坐标是 ( ) 6 a.(8, ) b. (8, ) c. (8, ) d.(8, ) 6 5 6 6 6 5 a 六、极坐标与直角坐标的区别六、极坐标与直角坐标的区别: : 直角坐标直角坐标 极极 坐坐 标标 表示形式表示形式 与平面内点与平面内点 的对应关系的对应关系 , 0,rxyr、 , x y xyr、 一一对应一一对

14、应一一对应一一对应 )2 , 0, 0 延展练习延展练习:在极坐标系中在极坐标系中,点点a的极坐标是的极坐标是 (规定规定: )则则 (1)点点a关于极轴对称的点关于极轴对称的点的极坐标是的极坐标是_ (2)点点a关于极点对称的点关于极点对称的点的极坐标是的极坐标是_ (3)点点a关于过极点且与极轴垂直的直线关于过极点且与极轴垂直的直线对称对称 的点的极坐标是的点的极坐标是_ 11 3, 6 7 3, 6 5 3, 6 3, 6 )2 , 0, 0 33一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？ 小结小结 11建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极

15、轴；长度单位；角度单位和它极点；极轴；长度单位；角度单位和它 的正方向。的正方向。 22极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极径有正有负；极角有无数个。无数，极径有正有负；极角有无数个。 有。（有。（，2 2k+） 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 第二课时第二课时 思考？思考？ 平面内一点平面内一点m的直角坐标是的直角坐标是 ， 其极坐标如何表示其极坐标如何表示? 点点q的极坐标为的极坐标为 ，其直角坐，其直角坐 标如何表示？标如何表示？ )3, 1 ( ) 3 2 ,5( 在直角坐标系中在直角坐标系中, 以原点以原点 作为极点作为

16、极点,x轴的正半轴作轴的正半轴作 为极轴为极轴, 并且两种坐标系并且两种坐标系 中取相同的长度单位。中取相同的长度单位。 点点m的直角坐标为的直角坐标为(1, 3) ox y (1, 3)m 设点设点m的极坐标为的极坐标为(,) 3 1 3 tan 231 22 ）（ ) 3 , 2( m 平面内一点平面内一点m的直角坐标是的直角坐标是 ， 其极坐标如何表示其极坐标如何表示? 点点q的极坐标为的极坐标为 ，其直角坐，其直角坐 标如何表示？标如何表示？ )3, 1 ( ) 3 2 ,5( ) 2 35 , 2 5 (q答案：答案：) 3 , 2( m 设点设点m的直角坐标是的直角坐标是 (x,

17、y) 极坐标是极坐标是 (,) 极坐标与直角坐标的互化公式：极坐标与直角坐标的互化公式： )0(tan, 222 x x y yx 直直化化极极： sin,cos yx极化直：极化直： 1、极点与直角坐标系的原点重合、极点与直角坐标系的原点重合; 2、极轴与直角坐标系的、极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合轴的正半轴重合; 3、两种坐标系的单位长度相同、两种坐标系的单位长度相同,直角坐标化直角坐标化 极坐标时，先确定极坐标时，先确定 的值，再确定的值，再确定 所所 在的象限，求出符合条件的极角。在的象限，求出符合条件的极角。 tan 互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件： 例例1：互化

18、下列直角坐标与极坐标：互化下列直角坐标与极坐标 直角坐直角坐 标标 极坐标极坐标 )3, 3( ) 1, 3( )0 ,5( 直角坐标直角坐标 极坐标极坐标 ) 6 , 4( ) 2 , 1 ( ), 3( )2 ,32()1, 0( ) 0 , 3( ) 6 5 , 32( ) 6 7 , 2( )0 , 5( 练习练习1：已知下列点的极坐标，求它们：已知下列点的极坐标，求它们 的直角坐标。的直角坐标。 ) 6 , 3( a) 2 , 2( b) 2 , 1( c ) 4 , 2 3 ( d) 4 3 , 2( e 练习练习2: 已知点的直角坐标已知点的直角坐标, 求它们求它们 的极坐标。的

19、极坐标。 )3, 3( a)3, 1(b )0 , 5(c )2, 0( d )3, 3( e ox a b 解：解： 用余弦定理求用余弦定理求 ab的长即可。的长即可。 例例2：已知两点：已知两点 ， 求两点间的距离。求两点间的距离。 ) 3 , 2( a ) 2 , 3( b 6 aob 已知极坐标系中两点已知极坐标系中两点 ， 如何求线段如何求线段|pq|的长？的长？ ) 6 ,3( p ) 2 , 2( q 推广：极坐标系内两点推广：极坐标系内两点 的距离公式：的距离公式： ),(),( 2211 qp )cos(2|pq| 2121 2 2 2 1 19| pq 探索？探索？ 化成极

20、坐标方程。：把直角坐标方程例03 yx . 4 0sincos0 0sincos 0sincos r ， 或 解：解： 化成直角坐标方程。：把极坐标方程例2sin4 22 a 2sin2sin 0 22422 aa ，所确定的极点在曲线上 xyayx a 2 2 22 2 2 2 2 cossin2 解：解： 化成直角坐标方程。：把极坐标方程例cos45 为半径的圆。为圆心，表示的曲线是以 即 程，所确定的极点在满足方 202cos4 42 4cos4 0 2 2 222 yx xyx 解：解： 的圆的极坐标方程。半径是的极坐标是：求圆心例aac,0 ,6 ,m x o a 0 , a 22

21、2 ayax sin cos y x cos20 sincos 222 2 a aa 或 根据 中包含在曲线cos20a cos2 a为所求曲线的极坐标方程 解法一：普通方程：解法一：普通方程： ,m x o a 0 , a 解法二：解法二： cos2 cos20 ,2 2 , 0 ,cos22,90 a aaao aaoaamo 为所求曲线的极坐标方程 也满足和点极点 3、极坐标与直角坐标的互化公式、极坐标与直角坐标的互化公式 小小 结结 1、极坐标系的四要素、极坐标系的四要素 2、点与其极坐标一一对应的条件、点与其极坐标一一对应的条件 极点；极轴；长度单位；角度单位极点；极轴；长度单位；角

22、度单位 及它的正方向。及它的正方向。 ) 0(tan, 222 x x y yx sin,cos yx )2 , 0, 0 圆的极坐标方程圆的极坐标方程 第三课时第三课时 曲线的方程的本质曲线的方程的本质 02, 1, 0432 222 yxyxyx 如如椭椭圆圆，双双曲曲线线，抛抛物物线线 ，直直线线，圆圆，曲曲线线它它们们所所对对应应的的方方程程 曾曾学学习习过过这这些些在在直直角角坐坐标标系系下下，我我们们 方程。这个等式就叫做曲线的 满足的等式，把意点的坐标 曲线上任曲线方程的本质其实是 ),( yx 所所满满足足的的等等式式任任意意点点的的坐坐标标 是是求求曲曲线线上上因因此此，求求

23、曲曲线线的的方方程程就就 ),(yx 以此类推以此类推曲线的极坐标方程是什么？曲线的极坐标方程是什么？ 如何来求极坐标方程？如何来求极坐标方程？ 所满足的等式意点的极坐标 曲线上任曲线的极坐标方程的是 ),( 怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？ 下结论下结论 建立建立极坐标极坐标系系 设点设点（ , ） 找找 , 的的关系关系 化简化简 f( , )=0 1 22 yx cos ,sinxy 1.1例例 已已知知圆圆的的圆圆心心在在原原点点，半半径径为为 ，求求它它的的 极极坐坐标标方方程程 ( , ) ( , )x y 2 1y 2 2 解解：在在直直角角坐坐标标系系下下，满满

24、足足条条件件 的的圆圆的的方方程程为为x x ( , ) 又又极极坐坐标标方方程程是是曲曲线线上上 任任意意点点满满足足的的关关系系式式 根根据据前前面面直直角角坐坐标标与与 极极坐坐标标的的转转化化公公式式 1 此此圆圆的的极极坐坐标标方方程程为为 2 1(1) 刚才的求圆的极坐标方程的解题刚才的求圆的极坐标方程的解题 思想是什么？它是如何实施的？思想是什么？它是如何实施的？ 思考思考 cos ,sinxy ( ,0)(0).ac aa 半半径径为为 的的圆圆的的圆圆心心坐坐标标为为 求求它它的的极极坐坐标标方方程程。 222 222 () cos ,sin (cos)(sin ) 2 co

25、s xaya xy aa a 解解：直直角角坐坐标标系系下下 化化简简得得 此此圆圆的的极极坐坐标标方方程程为为 牛牛 刀刀 小小 试试 练习：求下列圆的极坐标方程练习：求下列圆的极坐标方程 ()中心在极点，半径为中心在极点，半径为r； ()中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a； ()中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； ()中心在中心在(a, )，半径为 ，半径为a r 2acos 2asin 0 cos()a a o ),(ac x sin (4) 练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （） cos( -) 4 (2) cos(- ) 3 (3) 3 2 6 2)5(），半径

26、为，圆心在（ 22 3. (1)(2)(1)2 (2)10cos (3)2sin (4)2sin() 4 xy 例例 指指出出下下列列圆圆的的圆圆心心以以及及半半径径 转化为直角坐标系转化为直角坐标系 下的圆方程下的圆方程 22 22 230 20 xyxy xy xy x （）直角坐标方程的极坐标 方程为 （）直角坐标方程 的极坐标 方程为 （）直角坐标方程的极坐标 方程为 （）直角坐标方程的极坐标 方程为 例： cos3 sin0 cossin10 3 cos3 5), 2 5 , 2 35 ( 25) 2 5 () 2 35 ( 535 sin5cos35 sin5cos35 22 22

27、 2 半径是所以圆心为 化为标准方程是 即化为直角坐标为 得两边同乘以解： yx yxyx 5 3co 3 s5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐标 例 ： 和半径。 (1)曲线的极坐标方程概念曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程圆的极坐标方程 所满足的等式意点的极坐标 曲线上任曲线的极坐标方程的是 ),( (1) (2)利用极坐标与直角坐标的利用极坐标与直角坐标的互化互化或直接利用图或直接利用图 形写方程。形写方程。 小结：小结： (3)中心在（中心在（ 0， ），半径为 ），半径为的圆的极的圆的极 坐标方程坐标方程： 2+ 0 2

28、-2 0 cos( - )= r2 关键：找准关键：找准，与已知条件的关系与已知条件的关系 直线的极坐标方程直线的极坐标方程 第四课时第四课时 负极径的定义负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取在某些必要情况下，极径也可以取 负值。（？）负值。（？） 对于点对于点m（ ， ）负极径时的规定：负极径时的规定： 1作射线作射线op，使，使 xop= 2在在op的反向延长的反向延长 线上取一点线上取一点m，使，使 om = o x p m 负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。 特别强调：一般情况下（

29、若不作特别特别强调：一般情况下（若不作特别 说明时），认为说明时），认为 0 。因为负极径只。因为负极径只 在极少数情况用。在极少数情况用。 例题例题1：求过极点，倾斜角为：求过极点，倾斜角为 的射线的极坐的射线的极坐 标方程。标方程。 4 o m x 4 其极径可以取任意的非负数。其极径可以取任意的非负数。 故所求射线的极坐标方程为故所求射线的极坐标方程为 (0) 4 新课讲授新课讲授 分析：分析： 如图，所求的射线上任一如图，所求的射线上任一 / 4 点的极角都是点的极角都是 1、求过极点，倾斜角为、求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。 5 4 易得易得 5 (0)

30、 4 思考：思考： 2、求过极点，倾斜角为、求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。的直线的极坐标方程。 4 (0) 4 5 (0) 4 和和 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 0 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径为了弥补这个不足，可以考虑允许极径 可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方 程可以表示为程可以表示为 () 4 r 或或 5 () 4 r 新课引

31、入：新课引入： 思考：在平面直角坐标系中思考：在平面直角坐标系中 1、过点、过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程轴垂直的直线方程 为为 ;过点过点(3,3)且与且与x轴垂直的直轴垂直的直 线方程为线方程为 x=3 x=3 2、过点（、过点（a,b）且垂直于）且垂直于x轴的直线方程轴的直线方程 为为_ x=a 特点：所有点的横坐标都是一样，特点：所有点的横坐标都是一样， 纵坐标可以取任意值。纵坐标可以取任意值。 例题例题2:求过点求过点a(a,0)(a0)，且垂直于极轴的，且垂直于极轴的 直线直线l的极坐标方程。的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系，设点解：如图，建立极坐标系，设点( ,

32、)m o x a m 在在 中有中有 rt moa cosommoaoa 即即cosa 可以验证，点可以验证，点a的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。 为直线为直线l上除点上除点a外的任意一点，外的任意一点， 连接连接om 求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤: 1、由题意建立极坐标系画出草图；、由题意建立极坐标系画出草图； 2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )m 3、连接、连接mo； 4、建立关于、建立关于 的方程，并化简；的方程，并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。 课堂练习课堂练习1:求过点求过点a (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于 极轴的直线极轴的直线l的极坐标方程。的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系，解：如图，建立极坐标系， 设点设点 为