2020年高中数学“极值法”求数列的最大项精编版

1、9nnn1精选文档“极值法”求数列的最大项数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但是如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例若数列 a的通项公式 a =( n +1) ( ) n ，求 a的最大项.10解：设 a 是数列 a中的最大项， n n则a a ,n n -1a an n +1( n 2) ，即 9 9( n +1) ( ) n n ( ) n -1 , 10 109 9( n +1) ( ) n ( n +2) ( ) n +1 . 10 10解，得 8 n 9 ， 又

2、n n ， n =8 或 9， a =a =+ 8 99 99当 n =1 时， a = ，5 10 899108. a的最大项为 a =a =n 8 999108.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示， 加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问 1：为什么要单独讨论 n =1 的情况？分析：由于a a ,n n -1a an n +1( n 2) 这个不等式中出现了下标 n -1，而数列中的项应该从 1 开始，因此 n -1 1 ，即 n 2 。故应考虑 n =1 的情况.疑问 2：用a a ,n n -1a an n +1( n 2) 这个不等式组求出的

3、a 一定是最大项吗？n精选文档n n -1精选文档分析：用a a ,n n -1a an n +1( n 2) 求出的 a 不一定是最大项，而只是比前后两项都n不小的项，也就是数列这个特殊函数的极大值.疑问 3：用a a ,n n -1a an n +1( n 2) 这个不等式组求出的项唯一吗？分析：正如一个函数可能有多个极大值一样，一个数列中很有可能存在很多 个比前后两项都不小的项，因此这样求出的项不唯一.a a ,疑问 4：如果用 ( n 2) 这个不等式组求出的 n 有多个，那么如何a an n +1处理？分析：将求出的这些 n 对应的项比较大小，取最大者，然后与 a 比较.1疑问 5：

4、为什么要与 a 比较？1分析：由于这个不等式组求得的是 n 2 时的最大项，因此还需要与 a 比较，1二者最大的即为 a的最大项 . 正如我们在求函数最大值时，采取比较端点值和 n极大值的方法，原理是一样的.疑问 6：若不等式组a a ,n n -1a an n +1( n 2) 无解，又该如何处理？分析：若此不等式组无解，那么此数列无极大项，因此最大项只可能在首项或末项取得.这与当函数无极大值时，最大值必在端点处取得的原理一致 .精选文档n n -1精选文档疑问 7：若 n 求得两个相邻的正整数，也要比较这两项的大小吗？分析：像本道例题中， n =8 或 9，而我们发现 a =a =8 99

5、9108，同为该数列的最大项 . 对于一般数列 a，若用这种方法求出两个相邻的正整数 nm , m +1 ，则a a ,m m +1a am +1 m a =a .因此，它们对应的项大小相等，不必另行比较. m m +1疑问 8：若数列对应的函数具有单调性，也能用这种方法求其最大项吗？a a ,分析：若函数具有单调性，则不等式组 ( n 2) 无解，问题又回归a an n +1到疑问 6，最大项即为首项或末项（若该数列是有穷数列，只需比较首、末两项，择其大者，即为最大项；若该数列是无穷数列，则最大项要么为首项，要么不存 在，视该数列的单调性而定）.通过对上述疑问的一一分析，对其进一步探究，我们发现：“极值法”求数列最大项的原理与“极值法”求函数的最大值一致 . 因此，我们可以得出结论：“极值 法”求数列最大项是求数列最大项的通法.可见，只要我们对问题深入分析研究，找出