概率论答案讲解

1、习题二答案 1随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区 别？ 答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是 连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都 可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离 散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机 变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X 的分布律，可 通过求概率（ x取任意的值）求得 X的分布函数; 仅之亦然。 当知道了连续型随机变量的密度函数 , 可通过 积分 , 求得分布函数 , 可 通 过 对 求 导 ， 即 （ 对 一 切 求得密度函数 2. 同时掷两枚骰子 , 求两枚骰子的点数之和 X 的概率分布

2、 , 并计算 PX 3 和PX13. 解：由题意 X 的正概率点为 2，3，12 , k=2,3, 12 3. 某产品共 17件,其中有次品 3件,现从中任取 5件,求抽得 次品数 X 的概率分布 , 并计算 P1 X2 解： , 4. 一汽车沿一街道行驶 , 需要通过三个均设有红绿信号灯 的路口 , 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独 立, 且红绿两种信号显示的时间相等 , 以X 表示该汽车首次 遇到红灯前已通过的路口的个数 , 求X 的概率分布 解：X 的可能取值为 0,1,2,3(i=1,2,3) 表示事件“汽 车在第 i 个路口首次遇到红灯” ； 相互独立，且 = ， i=1

3、,2,3 对于 m =0,1,2,3 ，有 5设随机变量 X 的概率密度为： 若 k 使得 , 求 k 的取值范围。 解： 当时， 当时， 当时， 故要使得，k 的取值范围是 6设某射手每次射击命中目标的概率为0.5 ， 现连续射击 10 次，求命中目标的次数 X 的概率分布， 又设至少命中 3 次 才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。 解 ： , k=0,1,2 ,10 设 ，有 7设 X 服从泊松分布，且已知 , 求 解：由 得到 =2 8某仪器装有 3只独立工作的同型号电子元件 , 其寿命 （ 单位 : 小时 ） 都服从同一指数分布 , 概率密度为 求 : 在仪器使用的最

4、初 200小时内 , 至少有一只电子元件损坏 的概率 。 解： k=1,2,3 9. 令 X 表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标 求F(x). 解： 当 时， 当 时， 当 时 10从 1个白球 n-1 个黑球中任取 k 个, 令X 表示取出的白球 个数 .(1) 求X 的分布律 ;(2) 证 解： (1)X 的可能取值为 0,1 ，且 解 故 故分布律： (2) 由分布律性质， 即 11已知X 的概率密度为, 计算P 12已知 X 的概率密度为 f(x)=C, 确定常数 C. 13. 设 XN(108,9),(1) 求 P101.1x117.6;(2) 求常数 a, 使PXP2 X

5、1 1 p2 P Y 5 P Y 解： p1 P X 4 P 1 1 P 5 X 1 X 1 1 1即P1 P2故( A)成立。 2. 设随机变量 XN(, 2 ) ，则随着 的增大，概率 P X () (A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 解： XN(, 2 ) X N(0,1) PX P X 1 1 1 2 1 1 故( C)成立。 3. 设F1(x) 与F2(x) 分别为随机变量 X1与X2的分布函数 ,为 使 F(x)=aF1(x)-bF2(x) 是某随机变量的分布函数 , 在下列给 定的各组数值中应取 () (A)a=35,b=-25 (B) a=2

6、3,b=23 (C) a=-12,b=32 (D) a=12,b=-32 解： F1 x ,F2 x 都是分布函数， F11,F21 为使 F x aF1 x bF2 x 是某一随机变量的分布 函数，必满足条件： F 1 即： a b 1故( A)成立 (C) 计算题 1. 设测量误差 XN(0, 102), 试求在 100 次独立重复测量中 至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 , 并用泊松 分布求出 的近似值 ( 要求小数点后取两位有效数字 ). 1 2 3 4 5 6 7 e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 解：设 100

7、次独立重复测量中有 Y 次测量误差的绝对值大于 19.6 ，则 YB( 100，p) ,p=P X 19.6 1X0 N(0,1) p P X 19.6 P X 1.96 1 P X 10 10 1.96 21 1.96 2(1 0.975) 0.05 2 P Y 3 1 P Y i 1 (C1000 0.050 0.95100 C1100 0.051 0.9599 C1200 0.052 0.9598 ) i0 50e5 0! 51 e 5 e 1! 5 5 5 e 5 1 18.5e 5 1 18.5 0.007 0.87 2! 2. 一实习生用同一台机器接连独立地加工 3个同种零件 ,第

8、i 个零是不合格品的概率 Pi 1 ,(i=1,2,3,), 此 X 表示 3 个 1i 零件中合格品的个数 , 求 PX=2. 解：令Ai “加工的第 i个零件是合格品”( i 1,2,3) 1i 由题意A1, A2, A3相互独立 ,且P(Ai) 1 (i 1,2,3) 1 i 1 i “X 2” A1A2 A3 A1A2A3 A1A2 A3 11 121113123 P X 2 P(A1A2 A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)12 F(x)在( 1,1)内是连续的， P X 0 F(0 0) F(0) 7 3411213416 21233424 3. 设随机变量 X的绝对值不大于

9、 1,PX=-1= 1 ,PX=1= 1. 在 84 事件 -1X1 出现的条件下 ,X 在(-1,1) 内的任一子区间上 取值的条件概 率与该子区间的长度成正比 , 求: (1)X 的分布函数 F(x) =PXx;(2)X 取负值的概率 解 :P X 1 0,P X 1 1,P X 1 1 P X 1 1 1 1 对任意的 (c,d) ( 1,1)有P X (c,d) 特别地，取( c,d) ( 1,1)得 1 P X ( 1,1) x 1 k1 1 2k (1)当x 1时， F(x) 0,当x 1时， F(x) 1.故可设定 1 x 1，由全概率公式 P X x P X x, P X x, X 5 8 4 8 X 1 k(d c),其中k为比例系数， k 12 X 1 P X x, X 1 P X 1 P X x,X 1 P X x, X 1 P() X x 1 P X x, X X 1 P X 1