双曲线知识点总结及练习题

1、 一、双曲线的定义 R 第一定义：到两个定点右与忌的距离之差的绝对值等于定长（v丨行忌| ）的点的轨迹 （|Pf；|-|P/s| = 21）时，这个动 c 点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线/叫做双曲线的准线。 二.双曲线的标准方程（b2 =c2 焦点在x轴上：令-* = 1（。0, b0） 焦点在y轴上：*-右=1（。0, 0） （1）如果项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果b项的系数是正数，则焦点在y轴上。o不一定大于 bo判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数 的符号，焦点在系数正的那条轴上 与双曲线PF】共焦点的双曲线系方程是

2、*r总r】 双曲线方程也可设为：= l(/nn0) m n 三、双曲线的性质 双曲线 标准方程(焦点在X轴) 2 2 = 1( 0 0) 焦距：応传| = 2c 顶点坐标 (-a ,0)(,0) (0, -a,(0, a) 离心率 e = -(el),c2=a2+b2 9 e越大则双曲线开口的开阔度越大 a 准线方程 C c 准线垂直于实轴旦在两顶点的侧；两准线间的距离： 顶点到准线的距离 顶点人(AJ到准线厶(/2)的距离为“一乞 顶点人(AJ到准线人(/,)的距离为“ 焦点到准线的距离 焦点片(FJ到准线厶(/2)的距离为一以=匕 CC 焦点片(耳)到准线心(/|)的距离为丄+ C 渐近线

3、方程 +h (虚)少少 y = x ( J, 一 c, “实 1“丿和1 a丿 将右边的常数设为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解 共渐近线的双曲线系 方程 2 .2 g) 直线和双曲线的位重 双曲纟 利用 ? 对厂_ 1 cr lr转化为一元二次方程用判别式确定。 y = kx + b 亍程二次项系数为零直线与渐近线平行。 玄 AB 的弦长 |A创=Jl + k+ x2)2 - 4xrv2 7h2 |-|2_3?i|- a 与椭圆一样 过双曲线上一点的切 线 芳书“或利用导数 芳-等“或利用导数 (x = a- sec 0 椭圆为 兀=6/ COS 3o两渐近线互相垂直，分别为y二土x

4、; 4o等轴双曲线的方程x2-y2 =X, 20; 八、共馳双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共辘双曲线，通常称它们 互为共觇双曲线。 二与二-二互为共轮双曲线，它们具有共同的渐近线：4-4=- 九、点与双曲线的位关系，直线与双曲线的位关系 1、点与双曲线 22 22 点p(心儿)在双曲线冷斗=“0上0)的部o算一冀1代值验证，如%2-r = i cr lrcr Zr 2 2 2 2 点P(x0，儿)在双曲线g 一 * = 1(“ 0 0)的夕卜部O 乎一誥V1 X2 V2X2 V2 点卩(心儿)在双曲线= a lrcr b 2、直线与双曲线 代数法： X2 V

5、2 设直线/: y = kx + m ,双曲线r 一 = = 1( 0 0)联立解得 cr b- (b2 -a2k2)x2 -Icrmkx-crm2 -crb1 =0 (1) m = 0时，匕直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)； a a k-9 k0时，+庆一/疋0,直线与双曲线相交于两点; vO时，直线与双曲线相离，没有交点； = 0时+b2-a2k2 =0, k2=竺二工直线与双曲线有一个交点；相切 a k不存在，-加 asSjn 00）二渐近线方程：2-L = 0o y = -x cr bcT b-a *?97 2、若双曲线方程为=一=1 （a0, b0）=渐近线方程：-v =

6、 0y = x cr lrcr Irb 2 2 3、若渐近线方程为y = -x- = 0=双曲线可设为二一=九，2工0。 a a bcr lr 22 22 4、若双曲线与二-= 1有公共渐近线，贝IJ双曲线的方程可设为二一刍=入 仏0,焦点在x轴上, 6/ba1 b 入0 0）上一点P（%儿）处的切线方程是辱一罟 =1。 （ 少CT1 厂 2 2 2、过双曲线亠-存=1（“00）夕卜一点P（心儿）所引两条切线的切点弦方程是譽一罟 =1。 （厂少lr v2 v2 3、双曲线一 -v = 1（“ 0上 0）与直线Ar + By + C = 0相切的条件是A2a2 - B2b2 = c2。 cr b

7、- 椭圆与双曲线共同点归纳 十二、顶点连线斜率 双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-lP55o 1、As B两点在X轴上时 (1) 当斤0时轨迹是双曲线，除去A, B两点，与双曲线 的标准方程”比较知y,所以哼； (2) 当=-1时轨迹是圆，除去饥B两点; (3) 当时，轨迹是焦点落在淇轴上的椭圆，除去A, ? b2 B两点，其中* 一一二； 当时，轨迹是焦点落在y轴上的椭圆，除去A, B 两点，其中k = b2 2、A、B两点在丫轴上时 结论3设点A, B的坐标分别为0,-血(0用)，直线側， BM相交于点M,且它们的斜率之积是

8、春 所求点M的 轨迹方程是分討心)。 结论4设点A, B的坐标分别为(0,-口),(0切，直线AM, BM相交于点M,且它们的斜率之积是氐务 所求点M的 轨迹方程是= 十三、面积公式 双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形, 厂 a = h cot y 面积公式推导： 解：在APFf?中，设Zf；Pd=a，|件| =斤，|P坨| = b，由余弦定理得 cos a = |P对+|PF比尸2_屮+厅一（2。）2 2|P用肌|2斤5 (，i _1) +2/y; -4c1 2 _ (2a)2 +2rr2 -4c2 22 口 rr2 -2(c2 a2) rxr2 -2b2 图

9、3 . ir2 cos a = ir2 -2b2 即帖=严 1 .12b.sincra =/:z; sin a = - xxsinc? =lr= b cot 2 2 l-cosa1 - cos a2 椭圆上一点与椭圆的两个焦点匚耳构成的三角形PF|双曲线方程为L+2 = l 4015169 22 12. (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为- + = i(ab0)f其半焦距c = 60 cr lr 2a =1 PF + PF2= Vl l2+22 +Vl2+22 =65 ,.“ = 3巧， 2 2 b2 =2-c2 =45-36 = 9,故所求椭圆的标准方程为 1 ； 459 (2)点P (5, 2)、F (-6, 0)、F2 (6, 0)关于宜线y = x的对称点分别为： P(2,5)、斤(0,6)、F/ (0, 6) 2 2 设所求双曲线的标准方程为上;丄二=1 (绚 0,% 0),由题意知半焦距5 = 6 , 2 =|l Pl-IP/s，l|= V1P