名校金牌学案--直线与平面所构成的角与二面角

1、网罗名校优质资源，造福天下莘莘学子学科：数学教学内容：直线和平面所成的角与二面角【高考导航】立体几何中的角大致可分为三种，即线线角，线面角，平面与平面所成的二面角.立体几何计算问题几乎都与三种空间角的计算有关，是高考立体几何检测的热点内容，题型上一般以解答题进行考查，难度适中，如1993全国理5分；1995全国文5分；1996全国4分；2002北京4分；1996上海12分；2002全国理12分；2002新课程12分；2002上海春12分；2003北京春5分；2004北京14分；2004广东12分等.【学法点拨】本节内容有斜线在平面上的射影，斜线与平面所成的角，公式cos=cos1cos2，最小

2、角定理，二面角的概念，二面角的平面角，两个平面垂直的判定定理及性质定理，对于本节知识的学习要了解线面角、半平面与半平面所成二面角以及异面直线所成角，在求法上一般都是转化为平面的角，具体地，通常应用“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平面角，利用向量抓法向量”而达到化归的目的.要注意对平面角的拼求和各种角的定义及取值范围.空间角的计算步骤是“一作，二证，三计算”.“作”即在图形中若无所求空间角的平面角，应先作出来；“证”指明自己所找或所作的角即为所求角；“计算”在平面几何图形内把角求出.在三种角的计算中要特别注意二面角的作法及求法，注意cos=cos1cos2在线面角求值中的应用，注意利用射影

3、面积公式s=scos求二面角，对于平面与平面垂直的判定与性质的学习，可以与直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定与性质联系起来，应用时注意三种垂直之间的相互转化.同时在学习中培养空间的想象能力、解决问题的能力以及逻辑推理能力和运算能力.【基础知识必备】一、必记知识精选平面的斜线和平面所成的角.(1)直线与平面所成角范围：090当=0时，直线在平面内或直线平行于平面； 当=90时，直线垂直于平面；当090时，直线与平面斜交.最小角定理：直线与平面斜交，过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中射影与斜线所成角最小.cos=cos1cos2.作法：作出直线和平面所成角，关键是作垂线，找射影.(2)二

4、面角定义：由一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角.二面角的平面角：定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.对概念的理解要注意：平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；平面角的二边都和二面角的棱垂直.二面角平面角的求法：直接法：所谓直接法即先作出二面角的平面角，经过证明后再进行计算，常用的直接法有三：(a)利用平面角的定义；(b)利用三垂线定理；(c)过一点作棱的垂面.间接法：所谓间接法，就是不作出二面角的平面角，而利用公式cos=.此方法也叫射影法.也可利用两半平面法向量的夹角求二面角.注意当直接作出二面角的平面角有

5、一定难度时，一般才采用间接法求二面角大小.二面角的范围是0180，可从两个半平面“重合”、“相交”和“共面”各种情况考虑，重合时=0；相交时，0180；共面时，=180.（3）两个平面垂直的判定定义：如果两相交平面所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直，它和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.即.简言之，“线面垂直面面垂直”.(4)两个平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角.性质定理：如

6、果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.即a.简言之，“面面垂直线面垂直”.如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点和另一个平面垂直的直线，必在此平面内.如果一个平面和二个相交平面都垂直，那么它就和它们的交线垂直.(5)从两个平面垂直的判定定理和性质定理中可看出，平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题，即从线面垂直可推出面面垂直，反过来，由面面垂直又可推出线面垂直，这说明线面垂直与面面垂直之间有密切关系，可以互相转化.二、重点难点突破本节的重点是斜线在平面上射影的概念，斜线与平面所成角的概念，二面角的概念，两个平而垂直的判定定理.对于斜线在平面上的射影可

7、通过具体作图具体体验，要注意o点选取的任意性及斜线在平面上的射影是直线不是线段，斜线与平面所成角要紧扣概念，了解范围.本节的难点是cos=cos1cos2的灵活应用，二面角的平面角.对于二面角的平面角和平面中角的概念作类比，注意化归思想的应用，二面角的考查在1993至2004高考十一年间有十年都有涉及，是考试热点，应重视.三、易错点和易忽略点导析在求二面角时，忽略二面角的范围，用反三角函数表示角出现错误或确定平面角出现错误.【例】 已知aob=90，过o点引aob所在平面的斜线oc，与oa、ob分别成45、60角测以oc为棱的二面角a-oc-b大小为_.错解：如图9-7-1所示，在oc上取一点

8、c，使oc=1.过c分别作caoc交oa于a，cboc交ob于b.则ac=1，oa=，bc=，ob=2.在rtaob中，ab2=oa2+ob2=6.在abc中，由余弦定理，得cosacb=-.acb=arccos，即二面角a-oc-b为arccos.正确解法：如图9-7-1所示，在oc上取一点c，使oc=1，过c分别作caoc交oa于a，cboc交ob于b，则ac=1，oa=，bc=，ob=2.在rtaob中，ab2=oa2+ob2=6，得cosacb=-.acb=-arccos.即二面角a-oc-b为-arccos.错解分析：混淆了二面角的范围0，与异面直线所成角的范围(0，且对于反三角函数

9、的表示不熟悉.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】 已知d、e分别是正三棱柱abc一a1b1c1的侧棱aa1和bb1上的点，且a1d=2b1e=b1c1.求过d、e、c1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.思维入门指导：在图9-7-2上，过d、e、c1的面与棱柱底面只给出一个公共点c1，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小.解：在平面m1b1b内延长de和a1b1交于f，则f是面def与面a1b1c1的公共点，c1也是这两个面的公共点，连结c1f，c1f为这两个面的交线，所求的二面角就是d-c1f-a1.a1db1e

10、，且a1d=2b1e，e、b1分别为df和a1f的中点.a1b1=b1f=b1c1，fc1a1c1.又面aa1c1c面a1b1c1，fc1在面a1b1c1内，fc1面aa1c1c.而dc1在面aa1c1c内，fc1dc1.dc1a1是二面角d-fc1-a1的平面角.由已知a1d=b1c=a1c1，dc1a1=.故所求二面角的大小为.点拨：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小.需要注意的是，若利用cos=求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.【例2】 设abc和dbc所在的两个平面互相垂

11、直，且ab=bc=bd，abc=dbc=120.求：(1)直线ad与平面bcd所成角的大小；(2)异面直线ad与bc所成的角的大小；(3)二面角a-bd-c的大小.思维入门指导：本题主要考查对空间三种角的“作一证一求”.在解题时要合理利用题中条件.解：(1)如图9-7-3所示，在平面abc内，过a作ahbc，垂足为h，则ah平面dbc，连结dh，故adh为直线ad与平面bcd所成的角.由题设知，ahbdhb，则dhbh，ah=dh.adh=45为所求.(2)bcdh，且dh为ad在平面bcd上的射影，bcad，故ad与bc所成的角为90.(3)过h作hrbd，垂足为r，连结ar，则由三垂线定理

12、知arbd，故arh为二面角a-bd-c的平面角的补角.设bc=a，则由题设得ah=dh=a，bh=a，bd=bc=a.在hdb中，求得hr=a.tanarh=2.故二面角a-bd-c的大小为arctan2.点拨：本题是一道中档难度的立体几何综合题.这种试题命题的目的是考查立体几何重点知识，并且使之能覆盖较多的知识点.二、应用思维点拨【例3】 如图9-7-4所示，边长ac=3，bc=4，ab=5的三角形简易遮阳棚，其a，b是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30角.试问：遮阳棚abc与地面成多大角度时，才能保证遮影面abd面积最大？思维入门指导：太阳影子实质可理解为射影面积

13、，从而本题可转化为二面角的有关问题进行探讨，那么首先应作出纯数学图形，结合图形进行分析求解.解：易知abc为直角三角形，由c点引ab的垂线，垂足为q，连结dq，则应有dq为cq在地面上的斜射影，且ab垂直于平面cqd，如图9-7-5.太阳光与地面成30角，cdq=30.在abc中，可算得cq=，在cqd中，由正弦定理，有=.即qd=sinqcd.为了使平面abd的面积最大，需qd最大，这只有当qcd=90时才可达到.从而cqd=60.故当遮阳棚abc与地面成60角时，才能保证遮影面abd面积最大.点拨：从研究中可看出只有当遮阳棚所在平面与太阳光线垂直时，才能挡住最多的光线，被遮阳的地面面积才能

14、获得最大值.利用这个结论，也很容易得出所求值为60，参看图9-7-6.三、创新思维点拨【例4】 如图9-7-7，在四面体abcd中，ab=ad=，bc=cd=3，ac=，bd=2.(1)平面abd与平面bcd是否垂直，证明你的结论；(2)求二面角a-cd-b的正切值；(3)求异面直线bc与ad所成角的余弦值.思维入门指导：(1)判断垂直需要寻找符合面面垂直判定定理的条件.(2)(3)求空间的角要先转化为平面相交直线所成角，然后进行求解.解：(1)平面abd平面bcd.证明如下：设bd的中点为e，连ae、ce.ab=ad，aebd.同理cebd.ae=，ce=2.又ac=，ac2=af2+ce2

15、.aec=90.aeec.又aebd，ae平面bcd.又ae平面abd，平面abd上平面bcd.(2)作efcd于f，连af.ae平面bcd，由三垂线定理得，afcd，afe就是二面角a-cd-b的平面角，ef=edsinedf=ed=1=.tanafe=.即二面角a-cd-b的正切值为.(3)解法一：取ab的中点m，ac的中点n，连mn、me、ne.则mead，mnbc.nme是异面直线bc与ad所成角或其补角.mn=bc=，me=ad=，ne=ac=，由余弦定理，cosnme=0.nme为锐角.nme就是异面直线bc与ad所成角，其余弦值为.解法二：在平面bcd内作bcgd(如图9-7-8

16、)，连结ag，则dgbc，adg是直线bc与ad所成角或者其补角.bdcg，ecbd，eccg.又ae平面bcd，accg，cg=bd=2，dg=bc=3.在rtacg中，ag=，cosadg=.直线bc与ad所成角的余弦值为.点拨：本题的(1)设问新颖，属开放式，增加了问题的灵活度，对空间想象能力、推理、判断能力要求更高，近年高考中像这样开放式设问题的试题较多，是高考命题的一个热点.本题的(3)求异面直线所成角，要化归为相交线所成角，解法一利用中位线性质将两异面直线所成角转化为相交直线所成角，解法二过一直线上一点作另一直线的平行线.应注意异面直线所成角一定是锐角或直角.四、高考思维点拨【例5

17、】 (2002，河南、江苏)四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形pb面abcd.(1)若面pad与面abcd所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；(2)证明：无论四棱锥的高怎样变化，面pad与面pcd所成的二面角恒大于90.思维入门指导：解答第(1)问，基本思路是寻找面pad与底面abcd所成的二面角的平面角，进而求棱锥的高和体积；也可以通过侧面pda在底面的射影面积与二面角的关系求解；还可以补形为正四棱柱求解，但此法较繁琐.解答第(2)问，首先要找出面pad与面pcd所成的二面角的平面角，也即找出一个垂直于pd的平面，转化为在平面上研究该平面角的大小.(1)解法一：pb面abcd，ba

18、是pa在面abcd上的射影.又daab，pada.pab是面pad与面abcd所成的二面角的平面角.pab=60.而pb是四棱锥pabcd的高，pb=abtan60=a，v锥=aa2=a3.解法二：如图9-7-9，pb面abcd，连结bd，则abd是apd在面abcd上的射影，=cos60.又sabd=a2，sapd=a2.由pbad，adab，得ad面pab.adap.pa=2a.在rtpab中，pb=a，pb是四棱推pabcd的高，v锥aa2a3.(2)证法一：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面pad与pcd恒为全等三角形.作aedp，垂足为e，连结ec，如图9-7-10，则adecde，ae

19、=ce，ced=90.故cea是面pad与面pcd所成的二面角的平面角.设ac与db相交于点o，连结eo，则eoac，a=oaaead=a，且ad=oa.在aec中，cosaec=0.所以，面pad与pcd所成的二面角恒大于90.证法二：如图9-7-10，同证法一，得cea是面pad与面pcd所成的二面角的平面角.设pb=h，则pa2=h2+a2，pd2h2+2a2.在rtpad中，ae=.在aec中，ae=ec，cosaec=1-=1-=-0.aec是钝角.即面pad与面pcd所成的二面角恒大于90.点拨：本题以立体几何课本的一道复习题为基础，通过题中某个元素的变动，导出某个“恒定”的结论，

20、创设出一个新的问题，与课本的习题一气呵成，构成一个完美的题组，给人以完整、清新、自然的感觉，是一道颇具创意的试题.本题的第(1)题，出自于课本复习参考题九b组第6组，它只改变问题的表述，并不改变问题的本质，考查线面、线线垂直关系的逻辑推理和解直角三角形、求棱锥体积的运算，是对考生的基本要求.五、经典类型题思维点拨【例6】 如图9-7-11，三棱柱oabo1a1b1，平面obb1o1平面oab，o1ob=60，aob=90，且ob=oo1=2， oa=.求：二面角o1-ab-o的大小；思维入门指导：根据题意利用二面角的定义，找出二面角的平面角，运用解三角形的知识求出.解：取ob的中点d，连结o1

21、d，则o1dob.平面obb1o1平面oab，o1d平面oab.过点d作ab的垂线，垂足为e，连结o1e，则o1eab.deo1为二面角o1-ab-o的平面角.由题设得o1d=，sinoba=.de=dbsinoba=.在rto1de中，tandeo1=.deo1=arctan.即二面角o1-ab-o的大小为arctan.六、探究性学习点拨【例7】 在直角梯形abcd中，d=bad=90，ad=dc=ab=a(如图9-7-12(1)，将adc沿ac折起，使d到d，记面acd为，面abc为，面bcd为.(1)若二面角-ac-为直二面角(如图9-7-12(2)，求二面角-bc-的大小；(2)若二面

22、角-ac-为60(如图9-7-12(3)，求三棱锥d一abc的体积.思维入门指导：本题是一道由平面图形折叠形成的立体几何问题.主要考查空间想象力和图形对应关系，也考查了立体几何的常规计算二面角计算和体积计算.解：(1)在直角梯形abcd中，由已知dac为等腰直角三角形，ac=a，cab=45.由ab=2a，可推得bc=ac=a，acbc.取ac的中点e，连结de，如图9-7-13，则deac.二面角-ac-为直二面角，de.又bc平面，bcde.bc.而dc，bcdc.dca为二面角-bc-的平面角.由于dca=45，二面角-bc-为45.(2)如图9-7-14，取ac的中点e，连结de，再过

23、d作do，垂足为o，连结o e.acde，acoe.deo为二面角-ac-的平面角.deo=60.在rtdoe中，de=ac=a，do=desin60=a=a.vd-abc=sabcdo=acbcdo=aaa=a3.点拨：本题立意简明，考查了空间图形的基本推理和运算，对于折叠问题，空间图形中大多数数据靠平面图形计算去赋值，这是解决这类问题的通常思考方法，题目难度中档，有一定的区分度.【强化练习题】a卷：教材跟踪练习题（60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.在正三棱柱abca1b1c1中，若ab=bb1；则ab1与c1b所成角的大小为（）a.60b.90c.105d.752.直

24、线l与平面斜交成n角，则l与内任意直线所成角中，最小与最大的角分别是( )a.n与90b.180-n与nc.n与180-nd.以上都不是3.pa、pb、pc是从p点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线pc与平面pab所成角的余弦值是（）a. b.c.d.4.二面角-ab-的平面角是锐角，c是面内的一点（它不在棱ab上），点d是点c在面上的射影，点e是棱ab上满足ceb为锐角的任意一点，那么（）a.ceb=debb.cebdebc.cebdeb d.ceb与deb的大小关系不能确定5.在空间四边形abcd中，m、n分别为ab、cd的中点，且ad=4，bc=6，mn=，则ad与bc所

25、成角的余弦值和所成角分别为（）a.-，b.-， c.，d.，6.已知a、b是异面直线，a，b，a1，b1b，aa1，aa1b，bb1b，且ab=2，a1b1=1，则与b所成的角等于（）a.30b.45 c.60d.75二、填空题（每小题4分，共16分）7.在正方体abcda1b1c1d1中，bd1与平面a1b1c1d1所成角的正切值为_.8.ab平面，ac于c，bd是的斜线，d是斜足，若ac=9，bd=6，则bd与所成的角为_.9.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有_.10.一条长为a的线段夹在互相垂直的两平面之间，它和这两个平面所成角分别为45和30，由这线段的两个端点向两个平面引垂线，

26、那么垂足间的距离是_.三、解答题（每小题7分，共14分）11.如图9-7-15，a是bcd所在平面外一点，ab=ad，abc=adc=90.e是bd的中点.求证：平面aec平面abd，平面aec平面bdc.12.设e为正方体abcda1b1c1d1的棱cc1的中点，求平面ab1e和底面a1b1c1d1所成角的余弦值.b卷：综合应用创新练习题（90分 90分钟）一、学科内综合题（10分）1.如图9-7-16，以正四棱锥vabcd底面中心o为坐标原点建立空间直角坐标系o一xyz，其中oxbc，oyab，e为vc中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.(1)求cos；(2)记面bcv为，面dcv为，若

27、bed是二面角-vc-的平面角，求bed.二、应用题（10分）2.一个气象探测气球以14mmin的垂直分速度由地面上升，经过10min后，由观察点d测得气球在d的正东，仰角为45；又过10min后，测得气球在d的北偏东60，仰角为60.若气球是直线运动，求风向与风速.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（p46习题9.7第4题变型）山坡与水平面成30角，坡面上有一条与山底水平线成30角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为_.（二）一题多解（15分）4.如图9-7-17，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为aa1、ab之中点，求ef

28、和平面acc1a1所成角的大小.（三）一题多变(15分)5.如图9-7-18，过正方形abcd的顶点a作pa平面abcd，设pa=ab=a.求二面角b-pc-d的大小；求平面pab和平面pcd所成二面角的大小.（1）一变：四边形abcd是菱形，且abc=60，其他条件不变，求二面角b-pc-d的大小.（四）新解法题(1o分)6.abc的边bc在平面内，a在平面上的射影为a，当bac=60，ab、ac与平面所成角分别为30和45时，求cosbac的值.（五）新情境题(10分)7.如图9-7-19，在底面是直角梯形的四棱锥sabcd中，abc=90，sa面abcd，sa=ab=bc=1，ad=.(

29、1)求四棱锥sabcd的体积；(2)求面scd与面sba所成的二面角的正切值.四、高考题(10分)8.(2001，京、蒙、皖春)已知vc是abc所在平面外的一条斜线，点n是v在平面abc上的射影，如图9-7-20，且在abc的高cd上，ab=a，vc与ab之间的距离为h，点mvc.(1)求证：mdc是二面角m-ab-c的平面角；(2)当mde=cvn时，求证：vc平面amb；(3)若mdc=cvn=(0)，求四面体mabc的体积.加试题：竞赛趣味题(10分)已知正方体abcdabcd的棱长为1，在ac上取一点p，过p、a，b三点作的平面与底面所成二面角为，过p、b、c三点作的平面与底面所成的二

30、面角为，求+的最小值.【课外阅读】巧用向量法求空间角众所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中：两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题.一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，应该说不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理，更有利于新课改、新理念、新教材的教学实验.本文主要是谈利用向量法求解空间角的问题.角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可以

31、进一步转化为向量的夹角求解.1.求两条异面直线所成的角异面直线所成的角利用与它们平行的向量，转化为向量的夹角问题，但0，(0，所以cos=|cos|=.【例1】 (2002，上海春季)如图9-7-21，三校柱oabo1a1bi，平面ob1平面oab，o1ob=60，aob=90，且ob=oo1=2，oa=，求异面直线a1b与ao1所成角的大小.思维入门指导：用平移a1b或ao1的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解.充分利用aob=90，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化为代数问题计算.解：建立如图9-7-21所示的空间直角坐标系，则o(0，0，0)，o

32、1(0，1，)，a(，0，0)，a1(，1)，b（0，2，0）.=-=(-，1，-)，=-=(，-1，).设异面直线所成的角为，则cos=.故异面直线a1b与ao1所成的角的大小为arccos.点拨：(1)以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，空间向量的数量积计算公式，异面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便；(2)也可以直接用自由向量=a，=b，=c表示与，然后再来解.2.求直线与平面所成的角在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图9-7-22，一种是按定义得poh=；另一种方法是利用法向量知识，如图9-7-22，平面的法向量为n，先求与n的夹角，注意po与所成角与的关系，

33、于是就有sin=|cos|.【例2】 (2002，天津、山西、江西)如图9-7-23，正三棱柱abca1b1c1的底面边长为a，侧棱长为a，求直线ac1与侧面ab1所成的角的大小.思维入门指导：利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，求角时有两种思路，一是由定义找出线面角，取a1b1中点m，连结c1m，证明c1am是ac1与面a1b所成的角；另一种是利用平面ab1的法向量n=（，x，y），求解.解法一：建立如图9-7-23所示的空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b(0，a，0)，a1(0，0，a)，c1(-a，a)，取a1b1中点m，则m(0，a)，连结am，mc1，

34、有=(-a，0，0)，=(0，a，0)，=(0，0，a).由于=0，=0，mc1面ab1.c1am是ac1与侧面ab1所成的角.=(-a，a)，=(0，a)，=0+2a2=.而|=a，|=a，cos=.=30，即ac1与侧面ab1所成的角为30.解法二(法向量法)：(接法一)=（0，0，a）.设侧面a1b的法向量n=(，x，y).所以n=0，且n=0，ax=0，且ay=0.x=y=0，故n=(，0，0).=(-a，a)，cos=-.sin=|cos|=.=30.点拨：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系.再用向量有关知识求解线面角.解法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再

35、进行换算.3.求二面角利用向量法求二面角的平面角有两种途径，一是根据二面角的平面角的定义，如图9-7-24，abl，cdl，ab，cd，则二面角- l-的大小为.另一种方法是利用两平面的法向量的夹角求解，但应注意法向量n1、n2的夹角与二面角的大小是相等或互补的.【例3】 (2001，全国)如图9-7-25，在底面是一直角梯形的四棱锥s一abcd中，adbc，abc=90，sa平面ac，sa=ab=bc=1，ad=，求面scd与面sba所成的角.思维入门指导：本题是“无棱”的二面角，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住ad、ab、as两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面sa

36、b、面scd的法向量，再求其夹角.解：如图9-7-25，建立空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b(0，1，0)，c(1，1，0)，d(，0，0)，s(0，1，0)，得=(，1，0)，=(，0，-1)，=(1，1，-1).设平面sdc的法向量为n1=(x1，y1，z1).n1面sdc，n1，n1，n1.设平面sab的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则（0，0，-1），（0，-1，1）.x2=y2=0.n2=(x2，0，0).cos=.面sab与面scd所成角的二面角为锐角，cos=|cos|=.=arccos.故面scd与面sba所成的角大小为arccos.点拨：本题考查了空间向量的坐标表

37、示，空间向量的数量积，空间向量垂直的充要条件，空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定，考查了学生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力.参考答案a卷一、1.b点拨：如答图9-7-1建立空间直角坐标系o一xyz.设高为h，则ab=h，可得a(0，-h，h)，b(0，h，h)，b1(0，h，0)，c1(h，0，0).则=(0，h，-h)，=(h，-h，-h).=oh+h(-h)+h2=0，.2.a点拨：直线与平面斜交时，斜线和面所成角是斜线与面内所有直线所成角中最小的，且最大角为直角.3.c点拨：构造正方体如答图9-7-2所示，过点c作co平面pab，垂足为o，则o是正abp的中心，于是cp

38、o为pc与平面pab所成的角.设pc=a，则po=pd=a.故coscpo=.4.b点拨：结合图形，可先比较tanceb与tandeb的大小，即可得到答案.5.c点拨：取bd的中点p，连pm、pn，则pm=2，pn=3，然后用余弦定理可求得.6.c二、7.点拨：如答图9-7-3，连结b1d1，则b1d1b为bd1与面a1b1c1d1所成角，tanb1db=.8.点拨：过b作be，垂足为e，如答图9-7-4，连结de，则bde为直线bd与所成角.在rtbed中易知bde=60.9.无数个点拨：由直线和平面垂直的判定定理可知满足条件有无数个.10.三、11.证明：ab=ad，abc=adc=90，

39、ac=ac，rtabcrtadc.bc=cd.又e为bd的中点，cebd.又ab=ad，且e为bd的中点，aebd，则bd平面ace.又bd平面abd，bd平面bcd，平面abd平面aec，平面bdc平面aec.点拨：本题关键证明bd面ace.12.解：如答图9-7-5，设正方体的棱长为a，在ab1e中，ab1=a，b1e=a，ae=a.cosab1e=.sinab1e=.s=ab1b1esinab1e=aa=a2.又s=aa=a2，cos=.即平面ab1e与底面a1b1c1d1所成角的余弦值为.b卷一、1.解：(1)依题意，b(a，a，0)，c(-a，a，0)，d(-a，-a，0)，e(-，

40、)，=(-，-，)，=(，).=(-)+(-)+=-+，|=，|=.由向量的数量积公式，有cos=.(2)bed是二面角-vc-的平面角，即有=0.又由c（-a，a，0），v（0，0，h），得=(a，-a，h)，且=(-，-，)，=-+=0.即h=，此时有cos=-，bed=arccos(-)=-arccos.点拨：应用空间向量注意坐标系的建立及点的坐标的确定.二、2.解：以水平放置的平面的地面，根据题意画出空间图形如答图9-7-6所示.10min后气球位置为a，又10min后气球位置为b，a、b在平面的射影分别为a1、b1，且aa11410140(m)，bb1=1420=280(m)，a1d

41、b1=30，a1da=45，b1db=60，于是，得a1d=a1a=140m，b1d=b1bcot60=(m).在a1db1中，a1b=1402+()2-2140=(m).因此，风速为=(m/min).b1d2=a1d2+a1b，da1b1=90.故风向为正北.点拨：要使问题得以解决，其关键在于能否建立起一个能表示观察点d与该气球的相对位置之间关系的几何模型，因为有了几何模型我们就能根据其立体图形进行相关的计算，求出风向和风速.在利用立体图形进行计算之前，必须在图中找到对应的已知量.三、(一)3.400米点拨：山坡与水平面成30角，就是指立体几何中的“二面角的平面角及其大小”，这里只须将文字语

42、言“翻译”成图形语言，再进行推理运算.如答图9-7-7所示，bco=bac=30，bc=2bo=200（米）ab=2bc=400（米）.（二）4.解法一：e平面acc1a1，只要找到f在面acc1a1内的射影即可.由正方体性质有平面acc1a1平面abcd且交线为ac，过f作fgac于g，则有fg平面acc1a1.连eg，则feg为ef与平面acc1a1所成的角.如答图9-7-8.又f是ab的中点，ag=ac.又e、f是aa1、ab的中点，ef=a1b=ac.rtagf中，由gaf=，有gf=ag=ac.所以在rtfge中，sinefg=.feg=.解法二：有现成的垂直关系，直线与平面所成的角

43、最终是由直线与直线所成的角表示其大小的，故可建立空间直角坐标系利用向量数量积解决.建立如答图9-7-8的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则由e、f是aa1、ab的中点.有e（2，0，1），f（2，1，0）.过f作fgac于g，则由正方体性质有fg平面acc1a1.连eg，则与的夹角为所求，又由f是ab的中点，有ag=ac.g(，0)，=(-，-1)，(0，1，-1).cos=.又(0，)，=，ef与平面acc1a1所成的角为.（三）5.解：pa平面abcd，连结ac、bd，bdac，bdpc(三垂线定理).在平面pbc内，作bepc，e为垂足，连结de，得pc平面bed，从而depc，即be

44、d是二面角b-pc-d的平面角.在rtpab中，由pa=ab=a，得pb=a.pa平面abcd，bcab，bcpb（三垂线定理）.pc=a.在rtpbc中，be=a.同理de=a.在bde中，根据余弦定理，得cosbed=-.bed=120，此即为二面角b-pc-d的大小.过p作pqab，则pq平面pab.abcd，pqcd，pq平面pcd.pa=ab，pa=pq.pa平面abcd，cdad，cdpd.pdpq.pa=ab=ad，apd=45.即平面pab和平面pcd所成的二面角是45.(1)前面的解题过程同，即bed是二面角b-pc-d的平面角.四边形abcd是菱形且abc=60，ab=bc

45、=ac=a，pb=pc=a，cospcb=，sinpcb=.be=bcsinpcb=a.同理de=be=a.又bd=2ab=a.在bed中，cosbed=-.bed=-arccos.即二面角b-pc-d的大小为-arccos.点拨：考查知识的综合应用.(四)6.老解法：如答图9-7-9，令aa=a，则ab=2a，ab=a，ac=a，ac=a.在abc中，bc2=ab2+ac2-2abaccos60=4a2+2a2-22aa=6a2-2a2，在abc中，bc2=ab2+ac2-2abaccosbac=3a2+a2-22aaacosbac=4a2-2a2cosbac，6a2-2=4a2-2a2co

46、sbac.cosbac=.新解法：可以利用cos1=cos2，先求abc的余弦.再由正弦定理求bac的正弦值，然后根据同角三角函数基本关系式求bac的余弦值.(五)7.解：(1)直角梯形abcd的面积是s底面=(bc+ad)ab=1=，四棱锥s一abcd的体积是v=sas底面=1=.(2)如答图9-7-10，延长ba、cd相交于点e，连结se，则se是所求二面角的棱.adbc，bc=2ad，ea=ab=sa.sesb.sa面abcd，得面seb面ebc，eb是交线.又bceb，bc面seb.故sb是sc在面seb上的射影.csse.所以bsc是所求二面角的平面角.sb=，bc=1，bcsb，t

47、anbsc=.即所求二面角的正切值为.点拨：本题立意简明，目的明确，是一道常规的立体几何问题，对于第二问作出二面角的棱是解题的关键，对线面垂直的考查有一定的力度，是一道中档题.四、8.(1)证明：由已知，cdab，vn平面abc，ncd，ab平面abc，vnab.ab平面vnc.又v、m、n、d都在vnc所在平面内，dm与vn必相交，且abdm，abcd.mdc为二面角m-ab-c的平面角.(2)证明：由已知，mdc=cvn，在vnc与dmc中，ncv=mcd，又vnc=90，dmc=vnc=90.故有dmvc.又abvc，vc平面amb.(3)解：由(1)(2)，有mdab，mdvc，且da

48、b，mvc，md=h.又mdc=，在rtmdc中，cm=htan.v四面体mabc=v三棱锥c-abm=cmsabm=htanah=ah2tan.点拨：本题是一道非常少见的春季高考试题，它重点考查线线垂直和线面垂直、体积计算和体积转换，对考生的数学素质和逻辑思维能力提出了较高的要求.加试题：解：作ppac于p，易知pp面abcd，作pnab，则pnab.同理可作pm=bc，则pmbc.将ppn绕pp旋转使之落到平面pap中，将ppm绕pp旋转到平面pap上，从而得到以、为两底角的新三角形pnm.设ap=a，则np=np=，pm=pm=，所以nm=np+pm=1.由知，当pmn底边长、高一定时，

49、其余两边相等时顶角最大，故只有当p在ac中点时，npm最大，+=-npm为最小，此时np=，tan=2.又p在ac中点，=，则tan（+）=tan2=-，故(+)min=-arctan.点拨：本题利用旋转，将空间问题转化为平面问题，使问题得到简化.学科：数学教学内容：直线和平面平行与平面和平面平行【高考导航】本考点是历年来高考考查的热点之一，单独考查这部分知识的试题多为选择题，分值5分.如2000上海，14题；2001上海，15题等.【学法点拨】本小节有两个知识点：直线和平面平行；平面和平面平行.直线与平面、平面与平面平行的性质也可看作平行公理和平行线传递性质的推广，直线与平面、平面与平面平行

50、判定的依据都是直线和直线平行.这些平行关系有着本质上的联系.在学习时要总结并掌握这一性质，注意体会化归转化的数学思想在本节的应用.【基础知识必备】一、必记知识精选1.直线和平面的位置关系.直线和平面位置关系有三种：线在面内，直线与平面平行，直线与平面相交.相交与平行又称为线在面外.2.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线也和这个平面平行.可简记为：线线平行，线面平行.3.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.可简记为：线面平行，线线平行.4.平面平行的定义.5.平面平行的

51、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.简言之：线面平行，面面平行.6.平面平行的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，那么这两个平面平行.简言之：线线平行，面面平行.7.平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.简言之：面面平行，线线平行.8.平面平行的传递性：如果，那么.二、重点难点突破(一)重点平行线的传递性,直线与平面平行的判定与性质定理，平面与平面平行的判定与性质定理.对于这部分知识的学习要注意记清条件与结论.如直线与平面平行的判定定理要求直线是平面外的直线.(二)难点直线与平面,平面与平面平行的判定定理及性质定理的应用是本节的难点.在解题时要注意与平面几何知识多联系.如在证明线面平行时，一般与公理4以及三角形的中位线、平行四边形的对边多有联系.三、易错点和易忽略点导析1.忽略定理的条件而解题错误.【例1】 判断：如果一个平面内两条直线与另一平面平行，则这两个平面平行（ ）错解:正确答案：错解分析：利用平面与平面平行的判定定理判断时，忽略了平面内两条直线相交的位置关系.2.对空间中特殊的位置关系考虑不全面.【例2】 已知m是两条异面直线a、b外一点，则过m且与a、b都平行的平面有几个？错解：设平面过点m，且与a、b都平行，则直线a及其外一点m确定的平面与的