空间几何体的表面积和体积球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用

1、空间几何体的表面积和体积球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用二. 课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。三. 命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或 元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体 求积问题转化为基本几何体的求积问题，会用体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测2008年高考有以下特色：（1）用

2、选择、填空题考查本章的基本性质和求 积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算 问题；教学过 程（一）基本知识要点回顾1. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（s侧）全面积（s全）体 积（v）棱柱棱柱直截面周长ls侧+2s底s底h=s直截面h直棱柱chs底h棱锥棱锥各侧面面积之和s侧+s底s底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和s侧+s上底+s下底h（s上底+s下底+）正棱台（c+c）h表中s表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，l表示侧棱长。2. 旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球s侧2rlrl（r1+

3、r2）ls全2r（l+r）r（l+r）（r1+r2）l+（r21+r22）4r2vr2h（即r2l）r2hh（r21+r1r2+r22）r3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，r表示半径。【典型例题】例1. 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4（cm）。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱

4、为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考查。我们平常的 学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2. 如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，已知ab=5，ad=4，aa1=3，abad，a1ab=a1ad=。（1）求证：顶点a1在底面abcd上的射影o在bad的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。解：（1）如图，连结a1o，则a1o底面abcd。作omab交ab于m，作onad交ad于n，连结a1m，a1n。由线面垂直得a1mab，a1nad。a1am=a1an，rta1narta1ma，a1m=a1n，从而om=on。点o在bad的平

5、分线上。（2）am=aa1cos=3=ao=。又在rtaoa1中，a1o2=aa12 ao2=9=，a1o=，平行六 面体的体积为。点评：垂直问题的证明和柱体的体积公式的应用。例3. （2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长 方体对角线的长是（ ）a. 2 b. 3 c. 6 d. 解：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，则对角 线l的 长为l=；答案d。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、 体积的几何要素棱长。例4. 如图，三棱柱abca1b1c1中，若e、f分别为ab、ac 的中点，平面eb1c1将三棱柱分成体积为v1、v2的两部分，那么v1

6、v2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为s，体积为v，则v=v1+v2sh。e、f分别为ab、ac的中点，saef=s，v1=h（s+s+）=shv2=sh-v1=sh，v1v2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建 立比值得到结论即可。例5. （2002京皖春文，19）在三棱锥sabc中，sab=sac=acb=90，且ac=bc=5，sb=5。（如图 所示）（）证明：scbc；（）求三棱锥的体积vsabc。解析：（）证明：sab=sac=90，saab，saac。又abac=a，sa平面abc，sabc。由于a

7、cb=90，即bcac，bc平面asc，得bcsc。（）解：在rtsac中，sa=，sabc=acbc=55=，vsabc=sacbsa=。点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑 推理。例6. abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ab、ad的中点，gb垂直于正方形abcd所在的平面，且gc2，求点b到平面efc的距离？解：如图，取ef的中点o，连接gb、go、cd、fb构造三棱锥befg。设点b到平面efg的距离为h，bd，ef，co。 。而gc平面abcd，且gc2。由，得gc点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为

8、体积问题来求解。构造以点b为顶点，efg为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同 一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。（等体积法）例7. （2006江西理，12）如图，在四面体abcd中，截面aef经过四面体的内切球（与四个面都相切 的球）球心o，且 与bc，dc分别截于e、f，如果截面将四面体分成体积相等的两部分， 设四棱锥abefd与三棱锥aefc的表面积分别是s1，s2，则必有（ ）a. s1s2 c. s1=s2 d. s1，s2的大小关系不能 确定解：连oa、ob、oc、od，则vabefdvoabdvoabevobefd+vo-adfvaefcvoafcvo

9、aecvoefc又vabefdvaefc，而每个锥体的高都是原四面体的内切球的半径， 故sabdsabesbefd+sadfsafcsaecsefc又面aef公共，故选c点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图 形与空间几何体之间元素间的对应关系。例8. （1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是s、s，中截面的面积是s0，那么（ ）a. b. c. 2s0ss d. s022ss（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）a. 32 b. 28 c. 24 d. 20解：（1）

10、设该棱台为正棱台来解即可，答案为a；（2）正六棱台上下底面面积分别为：s上6226，s下64224，v台，答案b。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍， 如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。例9. （2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）a. b. c. d. 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2r.s全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.s侧=h2=42r2，。答案为a。点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。例10. （2003京春理

11、13，文14）如图，一个底面半径为r的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。解：水面高度升高r，则圆柱体积增加r2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=r2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。例11. （1）（2002京皖春，7）在abc中，ab=2，bc=1.5，abc=120（如图所示），若将abc绕直线bc旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）a. b. c. d. （2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积 为，则这个 圆锥的全面积是（ ）a. 3 b.

12、3 c. 6 d. 9解：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥cade与圆锥bade体积之差，又求得ab=1。，答案d。（2）sabsin，a2sin60，a24，a2，a=2r，r1，s全2rr223，答案a。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志， 是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例12. 已知过球面上三点的截 面和球心的距离为球半径的一半，且，求球 的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半 径为，则，在中，。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例13. 如图所示，球面上有四个点p、a、b、c，

13、如果pa，pb，pc两两互相垂直，且pa=pb=pc=a，求这 个球的表面积。解：如图，设过a、b、c三点的球的截面圆半径为r，圆心为o，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥pabc中，pa，pb，pc两两互相垂直，且pa=pb=pc=a，ab=bc=ca=a，且p在abc内的射影即abc的中心o。由正弦定理，得 =2r，r=a。又根据球的截面的性质，有oo平面abc，而po平面abc，p、o、o共线，球的半径r=。又po=a，oo=r a=d=，（ra）2=r2 （a）2，解得r=a，s球=4r2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将pabc补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的

14、直径就是正方体的对角线，易得球半径r=a，下略。例14. （1）（2006四川文，10）如图，正四棱锥底面的四 个顶点在球的同一个 大圆上，点在球面 上，如果，则球的表面积 是（ ）a. b. c. d. （2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面 在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的 表面积和体积。解：（1）如图，正四棱锥底面的四 个顶点在球的同一个 大圆上，点在球面 上，po底面abcd，po=r，所以，r=2，球的表面积 是，选d。（2）作轴截面如图所示，设球半径为，则 ，。点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。例15. 表

15、面积为的球，其 内接正四棱柱的高是，求这个 正四棱柱的表面积。解：设球半径为，正四棱 柱底面边长为，则作轴截面如图，又，点评：作轴截面把立体几何中的问题转化为平面几何的问题。例16. （1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）（2）在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离。解：（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，设是北纬的纬线长，答：北纬纬线长约等于. （2）设经过三点的截面为，设球心为，连结，则平面，所以，球心到截面距离为. 点评：了解经纬的数学意义，抓住球中的直角三角形求 解。例17. 在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径）

16、，求两点间的球面距离。解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，中，所以，两点的球面距离等于. 点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距 离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。思维总结1. 正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的（1）全面积：s全=a2；（2）体积：v=a3；（3）对棱中点连线段的长：d=a；（4）内切球半径：r=a； （5）外接球半径：r=a；（6）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为 定值（等于正四面体的高）。2. 直角四 面体的性质 有 一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。直角四面体有下列性质：如图，在直角四面体a

17、ocb中，aob=boc=coa=90，oa=a，ob=b，oc=c。则：不含直角的底面abc是锐角三角形；直角顶点o在底面上的射影h是abc的垂心；体积 v=abc；底面sabc=；外切球半径 r=；内切球半径 r=3. 球的截 面用一个平面去截一个球，截面是圆面.（1）过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经 过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；（2）球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；（3）球心和截面距离d，球半径r，截面半径r有如下关系：r=.4. 经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的 半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面 截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是 经过这点的经线与地轴确定的

18、半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。5. 两点的球面距离：球面上两点之间的最短距 离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式：（其中r为球半径，为a，b所对应的球心角的弧度数）【模拟试题】一、选择题1、下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）a、 b、 c、 d、3、在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后 ，剩下 的几何体的体积是（ ）a、 b、 c、