2011考研基础班高等数学讲义

1、2010考研基础班高等数学讲义第一章函数、极限、连续1.1函数（甲）内容要点一、函数的概念1.函数的定义设d是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f，对每一个，都能对应惟一的一个实数y，则这个对应规划f称为定义在d上的一个函数，记以y=f(x)，称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，d称为函数的定义域，并把实数集称为函数的值域。2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如是一个分段函数，它有两个分段点，x1和x1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y=f(x)在分段点处的极限、连续、导数等问题时

2、，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。3.隐函数形如y=f(x)有函数称为显函数，由方程f（x，y）=0确定的yy(x)称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。4.反函数如果y=f(x)可以解出是一个函数（单值），则称它为f(x)的反函数，记以。有时也用表示。二、基本初等函数1.常值函数yc（常数）2.幂函数 （常数）3.指数函数 （a0，a1常数）（e2.7182，无理数）4.对数函数 （a0，a1常数）常用对数 自然对数 5.三角函数 6.反三角函

3、数 基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用；等等，就需要对，的图像很清晰。三、复合函数与初等函数1.复合函数设定义域u定义域x，值域u*如果，则是定义在x上的一个复合函数，其中u称为中间变量。2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。四、函数的几种性质1.有界性：设函数y=f(x)在x内有定义，若存在正数m，使都有，则称f(x)在x上是有界的。2.奇偶性：设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数；若对，都有，则称在上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。3.单调性：设在上有定义，若

4、对任意都有，则称在上是单调增加的；若对任意都有，则称在上是单调不减。（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）4.周期性：设在上有定义，如果存在常数，使得任意，都有，则称是周期函数，称为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。（乙）典型例题一、求函数的定义域【例1】 求函数的定义域。解 要有定义，要有定义，因此，的定义域为【例2】 求的定义域。解 要有定义，和要有定义，因此，定义域为【例3】 设的定义域为，求的定义域。解 要求，则， 当时，则 当时， 也即或【例4】 设 求的定义域，并求.解 的定义域为，要求，则；要求，

5、则，于是的定义域为。又二、求函数的值域【例1】 求的值域。解 我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。它的定义域，且所以原来函数的值域为。三、求复合函数有关表达式1.已知f(x)和g(x)，求fg(x).【例1】已知，求.解，（）于是，（）【例2】设，求.n重复合解，若，则根据数学归纳法可知，对正整数n，2.已知g(x)和fg(x)，求f(x).【例1】设，求f(x).解令，于是【例2】已知，且，求f(x).解令，因此，四、有关四种性质【例1】设，则下列结论正确的是（）.（a）若f(x)为奇函数，则f(x)为偶函数（b）若f(x)为偶函数，则f(x)为奇函数（c）若f(x)为周期函数，

6、则f(x)为周期函数（d）若f(x)为单调函数，则f(x)为单调函数解 (b)不成立，反例(c)不成立，反例(d)不成立，反例(a)成立。证明 为奇函数， 为偶函数。【例2】 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是 。【例3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数？解不一定（1）周期为4周期为64和6的最小公倍数为12是以12为周期的函数（2）周期为周期为2和2没有最小公倍数不是周期函数（3） 周期为周期为虽然，不但都是周期函数，而且它们的周期有最小公倍数。但是，却不是周期函数。（因为没有最小正周期。）【例4】 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是（）(a) (b)(c)

7、 (d)解 ，单调减少于是xn时，就有.（2）任给，存在正整数x，当xx时，就有.（3）任给，存在正整数x，当xx时，就有.（4）任给，存在正整数x，当|x|x时，就有.（5）任给，存在正数，当时，就有。（6）（用表示）任给，存在正数，当时，就有（7）（用表示）任給，存在正数，当时，就有。其中称为在处右极限值，称为在处左极限值。有时我们用表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质。有时我们把，即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。2.极限的基本性质定理1（极限的惟一性）设，則。定理2（极限的不等式性质）设，若变化一定以后，总有，则反之，则变化一定以后

8、，有（注：当情形也称为极限的保号性）定理3（极限的局部有界性）设，则当变化一定以后，有界的。定理4设，则（1）（2）（3）（4）（5）二、无穷小量1.无穷小量定义：若，则称为无穷小量（注：无穷小量与的变化过程有关，当时为无穷小量，而或其他时，不是无穷小量）2.无穷大量定义：任給，当变化一定以后，总有，则称为无穷大量，记。3.无穷小量与无穷大量的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大量，则为无穷小量，若为无穷小量且，则为无穷大量。4.无穷小量与极限的关系 其中5.两个无穷小量的比较设，且(1)，称是比高阶的无穷小量，记以称是比低阶的无穷小量，(2) ，称与是同阶无穷小量。(3)，称与是等价无穷小

9、量，记以6.常见的等价无穷小量 当时（为实常数）。7.无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则2. 两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。（1）若（为正整数），又（为正整数）则存在且（2）若（为正整数），又（为正整数）则存在且准则2 （夹逼定理）设若，则3.两个重要公式公式1 公式2 ；4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5.用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）当时（为实常数）6.洛必达法则法则1设（1），（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则 （或）(注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形

10、)法则2设（1），（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）7.利用导数定义求极限基本公式：8.利用定积分定义求极限基本公式： 9.其他综合方法10.求极限的反问题有关方法（乙）典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限【例1】设，求解【例2】设，求.解特例：（1）求解例2中取，可知原式（2）【例3】求.解分子、分母用3n除之，原式（注：主要用当时，）【例4】设l是正整数，求.解因此原式特例：（1）（l1）（2）（l2）【例6】设d0为常数，求.解原式特例： 【例7】求下列各极限（1）（2）解（1）解一原式解二原式解三用洛必达法则1原式（2）解一原式解二类似（1）中解二用等价无穷小量代换

11、解三类似（1）中解三用洛必达法则【例8】求下列极限（1）设，（2）解（1）分子分母都乘1-r，则原式（2）原式二、用两个重要公式【例1】求。解 当x=0时，原式=1当x0时，原式=【例2】求下列极限（1）（2）解（1）（2）解一解二【例3】求下列极限（1）（2）（3）解（1）令则，当时于是（2）令则，当时，于是（3）三、用夹逼定理求极限【例1】 求.解令，则0xnyn，于是由夹逼定理可知，于是原极限为0.【例2】 求下列极限（1）（2）解（1）而由夹逼定理可知（2）而则夹逼定理可知四、用定积分定义求数列的极限【例1】求.分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们

12、改用定积分定义来考虑.解【例2】设，求.解原式五、用洛必达法则求极限1.“”型和“”型.【例1】求.解离散型不能直接用洛必达法则，故考虑原式.【例2】求.解若直接用“”型洛必达法则1，则得（不好办了，分母x的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令，于是(“”型)2. “-”型和“0”型.【例1】求.解（“”型）【例2】求.解原式【例3】求.解原式(“”型)3. “1”型，“00”型和“0”型这类都是形式，可化为，而都是“0”型，按2的情形处理.【例1】求.解令，（见2中例3）【例2】求（前面已用重要公式的方法）.解令，（“”型），【例3】求.解令，六、用无穷小量重要性

13、质和等价无穷小量代换【例1】求.解，根据有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，可知原式0.【例2】求.解用等价无穷小量代换原式【例3】求.解这个极限虽是“”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则.原式七、用泰勒公式求极限【例1】求.解（当时）原式八、用导数定义求极限【例1】设，求.解原式【例2】设曲线与在原点相切，求.解由题设可知，于是九、求递归数列的极限【例1】设，求.解（算术平均值几何平均值）又，则因此单调减少，又有下界，根据准则1，存在把两边取极限，得，a0，取，于是十、求分段函数的极限【例1】求下列函数在分段点处的极限解【例2】求.解十一、求极限的反问题【例1】设，求

14、a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则 【例2】设，求a和b.解把极限用洛必达法则原式左边，如果，则极限值为0，今极限为1，则因此原式左边由，得出a=4.1.3 连续(甲)内容要点一、函数连续的概念1.函数在点处连续定义1设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量（初值为）趋近于0时，相应的函数改变量也趋近于0，即或则称函数在点处连续。函数在点处连续也可作如下定义。定义2设函数在点的某个邻域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即则称函数在点处连续，此时有并且有即如果函数在点处连续，则在点处可以交换极限号和函数号的顺序。定义3设函数，如果，则函数在

15、点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。由上述定义2可知，如果函数在点处连续，则在处既左连续也右连续。2.函数在区间内（上）连续的定义如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在内连续。如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1.函数的间断点的定义如果函数在点不连续，则称为的间断点。2.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点

16、有无穷间断点和振荡间断点。例如是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三、初等函数的连续性1在区间连续的函数的和、差、积及商(分母不为零)，在区间仍是连续的。2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1（有界定理）如果函数在闭区间上连续，则必在上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则在这个区间上一定存在最

17、大值和最小值。其中最大值和最小值的定义如下：定义设是区间上某点处的函数值，如果对于区间上的任一点，总有，则称为函数在上的最大值，同样可以定义最小值。定理3（介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得推论如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，使得这个推论也称为零点定理。思考题：什么情况下能保证推论中的是惟一的？(乙)典型例题一、讨论函数的连续性由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函

18、数在一点连续的充要条件进行讨论。【例1】 讨论函数在点处的连续性。解因即有，故在点连续.【例2】 讨论函数在点的连续性.解因，因而不存在，故在点不连续.二、已知函数的连续性求未知参数【例1】 设在处连续，求常数k.解，由连续性可知【例2】如果函数，在处连续，求常数p和q.解由在处连续性可知又由在处连续性可知.三、求函数的间断点并确定其类型【例1】 求函数的间断点，并确定其类型.解显然是间断点，由于所以是的可去间断点.【例2】 求函数的间断点，并确定其类型.解所给函数在点，-2，2没有定义，因此，-2，2是所给函数的间断点.下面确定它们的类型.对于，由于，故是第一类间断点，且为跳跃间断点.对于，

19、由于故是第二类间断点，且为无穷间断点.对于，由于故是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义，则在连续.【例3】设在内有定义，且则下列结论中正确的是（）(a) 必是的第一类间断点(b) 必是的第二类间断点(c) 必是的连续点(d) 在处的连续性与a的取值有关解时是的连续点，时，是的可去间断点故选d.【例4】设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为（）(a) (b) (c) (d)解(a) 不一定有间断点例，则为连续(b) 不一定有间断点例同上，则连续(c) 不一定有间断点，如(a)中和，则连续(d) 一定有间断点，反证法，若连续，则连续，与假设矛盾一定有间断点四、求连续函

20、数的极限分两种情形：1.如果是初等函数，是定义区间内的一点，则，即只需在函数的表达式中把自变量x换成它的极限值就行了.【例1】 求.解因，而函数在点连续，所以【例2】设在处连续，且，求.解由于在处连续，且，所以则五、利用介值定理的推论判断方程的根【例1】设在上连续，且，证明：在内至少有一个根.证令，可知在上连续，由介值定理的推论，可知在内至少有一个零点，即在内至少有一个根.【例2】求证：方程在内恰有两个根.证令，它是偶函数，所以只需讨论在内恰有一个根.，在上连续，根据介值定理推论，至少有一个，使.又因为，所以在内单调增加，因此，在内最多只有一个零点，于是在内恰有一个零点，由偶函数的对称性，在内

21、恰有两个零点，也即所给方程在内恰有两个根.第二章一元函数微分学2.1导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念1.导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量，如果极限存在，则称此极限为函数在处的导数（也称微商），记作或等，并称函数在点处可导，如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，则我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。2.导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。切线方程法线方程：设物体作直线运动时路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在

22、时刻时的瞬时速度。3.函数的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导，例如，在处连续却不可导。4.微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式其中与无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。我们定义自变量的微分就是。5.微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是与曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）6.可微与可导的关系在处可微在处可导，且.一般地，则，所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7.高阶导数的概念如果函数的导数在处仍是可导的，则把在

23、点处的导数称为在点处的二阶导数，记以或或等，也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数，称为的阶导数，记以等，这时也称是阶可导。二、导数与微分计算1.导数与微分表2.四则运算法则3.复合函数运算法则设，如果在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且有对应地 由于公式不管是自变量或中间变量都成立，因此称为一阶微分形式不变性。4.由参数方程确定函数的运算法则设确定函数存在，则二阶导数5.反函数求导法则设的反函数，两者皆可导，且则二阶导数6.隐函数运算法则设是由方程所确定，求的方法如下：把两边的各项对求导，把看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出的表达式（允许出现变量）。例7.对数求导法

24、则先对所給函数式的两边取对数，然后用隐函数求导方法得出导数。对数求导法主要用于：幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数利用幂指函数常用的一种方法，这样就可以直接用复合函数运算法则进行。关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。（乙）典型例题一、用导数定义求导数【例1】设，其中在点处连续，求。解没有假设可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义。【例2】设（n为正整数），求。解在点处连续而不可导，二、 分段函数在分段点处可导性【例1】讨论函数在处连续性与可导性。解函数在处连续，因为则但是，在处没有导数，因为曲线在原点的切线不存在（见上图）。【例2】设函数试确定的

25、值，使在点处可导。解可导一定连续，在处也是连续的，由要使在点处连续，必须有或又要使在点处可导，必须，即故当时，在点处可导。三、用各种运算法则求导数1.运用四则运算和复合函数求导法则【例1】求下列函数的导数：（1）（2）解（1）（2）【例2】求下列函数的微分（1）（2）解（1）（2）【例3】设，求.解令则因此【例4】设可微，求dy.解2.运用隐函数求导法则【例1】设由方程所确定，求和.解一对方程两边关于x求导，y看作x的函数，按中间变量处理.于是，解二对方程两边求微分，根据一阶微分形式不变性.于是3.运用对数求导法则【例1】求的导数.解对x求导，得因此，4.运用参数方程求导法则【例1】设，求.解

26、四、有关切线方程和法线方程【例1】证明曲线上任一点处切线与两坐标轴所围成的直角三角形面积恒为2.证所求切线方程为令，得切线截x轴的截距，令，得切线截y轴的截距，直角三角形面积【例2】求曲线在处的切线方程.解，.，故切线方程为即五、高阶导数1.求二阶导数【例1】设，求.解【例2】设，求.解【例3】设由方程所确定，求.解，2. 求n阶导数（n2，正整数）先求出，总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明.有一些常用的初等函数的n阶导数公式（1）（2）（3）（4）（5）【例1】设（k正整数），求（n正整数）.解【例2】设，求（n正整数）.解【例3】设，求（n正整数）.解【例4】 设，求（n正整数）.解

27、2.2 微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）.这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细.(甲)内容要点一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）.则存在，使得.几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线包括点a和点b.条件（2）说明曲线在a，b之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线不包括点a和b条件（3）说明曲线在端点a和b处纵坐标相等。结论说明曲线在a点和b点之间不包括点a和b至少有一点，它的切线平行于轴。二、拉格朗日

28、中值定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导。则存在，使得或写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间包括点a和点b是连续曲线。条件（2）说明曲线不包括点a和点b是光滑曲线。结论说明曲线在a、b之间不包括点a和点b至少有一点，它的切线与割线ab是平行的。推论1若在内可导，且，则在内为常数。推论2若在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当时的特殊情形，就是罗尔定理）三、柯西中值定理设函数和满足：（1）在闭区间上皆连续；（2）在开区间内皆可导且。则存在使得（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特

29、殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：考虑曲线的参数方程，点，点曲线上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的阶泰勒公式）设在处有阶导数，则有公式其中称为皮亚诺余项。前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如（为实常数）等的

30、阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的阶泰勒公式）设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式其中（在与之间）称为拉格朗日余项上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。（乙）典型例题一、用罗尔定理的有关方法【例1】设在上连续，在内可导，且，试证：必存在，使。证在上连续，在上连续，且有最大值和最小值,于是；，故。由连续函数介值定理可知，至少存在一点，使得因此，且在上连续，内可导，由罗尔定理得出必存在，使得。【例2】设在上连续，在内可导，且.求证：存在使证由积分中值定理可知，存在，使得得到对在上用罗

31、尔定理（三个条件都满足），故存在，使二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法1. 用拉格朗日中值定理的有关方法【例1】设，试证：.证令，它在上满足拉格朗日中值定理条件，因此于是成立.【例2】设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得.证由题意可知存在使得如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使，因此，必有，使得成立.【例3】设，证明对任意，恒有证不妨假设，由拉格朗日中值定理有，从而可知，单调减少，于是这样由两式可知因此，成立.2.用拉格朗日中值定理和柯西中值定理【例1】设在上连续，内可导，且，证明：存在，使证考虑柯西中值定理（待定）

32、最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形，两式比较，看出令即可.类似地，欲证，则取即可三、用泰勒公式的有关方法【例1】设函数在上二阶可导，且，.求证：存在，使得证先把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式再把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式在上面两个公式中皆取则得两式相减，得，于是因此亦即证明存在，使2.3导数的应用（甲）内容要点一、判断函数的单调性定理设函数在内可导，如果恒有，则在内单调增加（单调减少）；如果恒有，则在内单调不减（单调不增）。基本应用模型：设在内连续，在内可导，且，又，则当时，恒有二、函数的极值1.定义设函数在内有定义，是内的某一点，则如果点存在一个邻域，使得

33、对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点；如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极小值，称为函数的一个极小值点；函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2.必要条件（可导情形）设函数在处可导，且为的一个极值点，则。我们称满足的为的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3.第一充分条件设在处连续，在内可导，不存在，或。如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极大值，为极大值点；如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极小值，为极小

34、值点；如果在内与内的任一点处，的符号相同，那么不是极值，不是极值点。4.第二充分条件设函数在处有二阶导数且，则当时，为极大值，为极大值点当时，为极小值，为极小值点三、函数的最大值和最小值1.求函数在上的最大值和最小值的方法，首先，求出在内所有驻点和不可导点，其次计算，, ,。最后，比较，,。其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值m。2.最大（小）值的应用问题首先要列出应用问题的目标函数及考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。四、凹凸性与拐点1. 凹凸的定义设在区间上连续，若对任意不同的两点，恒有则称在上是凸（凹）的。在几何上，曲线上任意两点的割线在曲线下（上）面，则是凸（凹）的。如果曲线有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则是凸（凹）的。2.拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3.凹凸性的判别和拐点的求法设函数在内具有二阶导数，如果在内的每一点,恒有，则曲线在内是凹的；如果在内的每一点,恒有，则曲线在内是凸的。求曲线的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，；第三步：对于以上的连接点，检