高一T同步(正弦定理3星)

1、同步：辅助角公式及其应用 () 教学目标正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具，了解正弦定理的证明，并能熟练运用正弦定理，解决斜三角形中的相关问题.导入 “工人师傅的一个三角形的零件坏了，只剩下如下图所示的部分，a=47,b=53,ab长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少无法截料，你能帮师傅这个忙吗？知识梳理 1.正弦定理： （为外接圆半径）2.证明方法：证明一：（等积法）在任意斜abc当中，sabc=. 两边同除以即得：=.证明二：（外接圆法）如图所示，ad，同理 =2r，2r.,则. 同理，从而.3.公式的变形：4.利用正弦定理解三角形时,经

2、常用到:5.正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.典例精讲 例1（）已知abc中， ,且,试判断三角形的形状.解：法一：（边化角），由正弦定理，可得而，由正弦定理，可得从而abc为等腰直角三角形.法二：（角化边），由正弦定理，可得而，由正弦定理，可得从而abc为等腰直角三角形. 注：用正弦定理解三角形时，有两种思路可供选择，一是边化角，而是角化边.【巩固练习1】1.（）在abc中，若a = 2b sin a，则b为( )a. b. c.或 d.或解：答案为d =， ， sin b =， b =，或p.注

3、：当看见等式两边有同次的边或角关系时，可直接把边化角或角化边.需要注意的是，解出，一定要检验此时a有几种可能性.2. （）在abc中，a15，b10，a60，则 解：答案为；依题意得，从而，故0b60，由正弦定理得得，.注：已知两边和一角时，此时如果为“ssa”形式，要考虑到此时三角形有可能不唯一,抓住条件仔细分析，确定解的情况.本题中，由“大边对大角”的性质，排除了另一种情况存在的可能性.例2（）abc中，若 sin(a + b)sin(a - b)= sin2 c，则abc 是( )a. 锐角三角形 b. 直角三角形 c. 钝角三角形 d. 等腰三角形解：答案为b； sin(a + b)s

4、in(a - b)= sin2 c， sin c sin(a - b)= sin2 c. c(0，)， sin(a - b)= sin c = sin(a + b). sin a cos b - cos a sin b = sin a cos b+ cos a sin b， cos a sin b = 0， a =， abc为直角三角形.注：解三角形中常用到由产生的结论：.【巩固练习2】1. （）若abc的三内角a，b，c满足 sin a = 2sinccos b，则abc为 三角形.解：答案为等腰. sin a = sin(b + c)= 2sin c cos b， sin b cos c

5、+ cos b sin c = 2 sin c cos b， b，c(0，p)， b = c，即为等腰三角形.2. （）已知在abc中，求角a、b、c的大小。解：由 ，从而，由，即故例3（）已知abc中，则的取值范围为 解：由正弦定理，可得当时，不妨设，则需满足当时，不妨设，而，此与矛盾.故的取值范围为【巩固练习3】1. （）在中，设命题:,命题：是等边三角形.那么命题是命题的（ ） a、充分不必要条件 b、必要不充分条件c、充分必要条件 d、既不充分也不必要条件解：答案为：c由正弦定理，可知 是等边三角形.2. （）中，bc3，则的周长为（ ）a bc d解：答案为d由正弦定理得：， 得bc

6、sin bsin(b)故三角形的周长为：3bc.评注：由于本题是选择题也可取abc为直角三角形时，即b，周长应为33，故排除(a)、(b)、(c)而选(d)3. （）在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得 由正弦定理，知，因为， 所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值注：解三角形过程中特别注意角度的范围问题.课堂检测 1. （）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若a，b2，则角a的大小为_解：答案为；由sin得sin1，所以b.由正弦定理得，所以a，而，从而a2. （）已知abc的内角a，b及其对边a，b满足，求内角c.解：由及正弦定理得，即，从而.又0ab，故ab，ab，所以c.3. （）在abc中，c30，求的最大值.解：c30，ab150，b150a.由正弦定理，得因此的最大值为4. （）设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为回顾总结 1.正弦定理： （为外接圆半径）三角形面积公式：拓展