高中数学 第二章《解三角形》正、余弦定理的综合运用(一)课件 北师大版必修5

1、北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修5 5第第 二章二章解三角形解三角形 1、正弦定理：、正弦定理：r c c b b a a 2 sinsinsin （其中：（其中：r为为abc的外接圆半径）的外接圆半径） 3、正弦定理的变形：、正弦定理的变形： crcbrbarasin2,sin2,sin2 r c c r b b r a a 2 sin, 2 sin, 2 sin cbacba:sin:sin:sin 2、三角形面积公式：、三角形面积公式： cabbcaabcs abc sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cabbac baccab abccba cos2 cos2 co

2、s2 222 222 222 变形变形 ab cba c ca bac b bc acb a 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 余弦定理：余弦定理： 在在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时， 经常用到，要记熟并灵活地加以运用：经常用到，要记熟并灵活地加以运用： abc ; cba cbacbacos)cos(,sin)sin( 2 sin 2 cos, 2 cos 2 sin cbacba 在在abc中，已知中，已知2b=a+c，证明：，证明： 2sinb=sina+sinc 问题问题1： 引：引：能找到三角形

3、各边与对角正弦的关系吗？能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？ 导：导：如何利用正弦定理证明以上关系？如何利用正弦定理证明以上关系？ c c a a b b a a c c b b 证明：由证明：由 得得 r c c b b a a 2 sinsinsin 即即 2sinb=sina+sinc a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc， 将此式将此式 代入代入 2b=a+c 得得 22rsinb=2rsina+2rsinc 二、例题分析二、例题分析 变式变式1： 在在abc中，已知中，已知b2 =a c， 证明：证明：sin2b=sina sinc. c c a a b b a a

4、c c b b 证明：由证明：由 得得 r c c b b a a 2 sinsinsin a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc， （2rsinb）=（2rsina）（）（2rsinc） 2 2 将此式将此式 代入代入 b =a c 得得 2 2 即即 sin b=sina sinc 2 2 变式变式2： 在在abc中，已知中，已知 ）（abacbsinsin2sinsinsin 22 求角求角c. 在三角形中在三角形中,已知已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角求角a. 问题问题2： 解：条件整理变形得解：条件整理变形得 c c a a b b a a c c b b

5、 2 1 2 222 bc acb 即 2 1 cosa a=120 0 0 动手实践：动手实践：在在abc中，已中，已 知知 accba2 222 ,求角求角b. bcacb 222 变式变式1：在：在abc中，中，a、b、c分别是分别是a、b、c的的 对边，试证明：对边，试证明：a=bcosc+ccosb 证明：由余弦定理知：证明：由余弦定理知： ， ab cba c 2 cos 222 ca bac b 2 cos 222 右边右边= ca bac c ab cba b 22 222222 a bac a cba 22 222222 a a 2 2 2 左边 a a bc d c b a

6、 的形状。断：根据所给的条件，判变式abc2 abbacoscos1 ）（bbaacoscos2 ）（ 解：解：） ）（ 1 abbacoscos ) 2 () 2 ( 222222 bc acb b ac bca a 222222 acbbca 22 22ba ba 为等腰三角形。为等腰三角形。abc 得得法法二二：由由abbacoscos abrbarcossin2cossin2 0cossincossin abba 0sin ）（即即ba ba bbaacoscos2 ）（ 解：解： ）（ 2 bbaacoscos ) 2 () 2 ( 222222 ac bca b bc acb a

7、0 422422 bcbaca 0)( 22222 bacba 0 22222 bacba或或 角形。角形。为等腰三角形或直角三为等腰三角形或直角三abc 222 bacba 或或 得得法法二二：由由bbaacoscos bbraarcossin2cossin2 ba2sin2sin baba2222 或或 2 baba或或即即 三、已知三角形形状，三、已知三角形形状， 讨论边的取值范围。讨论边的取值范围。 bac acb cba cbaabc,1的三边为、 2 、当、当abc直角三角形时直角三角形时 （cab） 222 bac 当当abc时（为钝角三角形时（为钝角三角形cba） 0 222 cba 当当abc为锐角三角形时（为锐角三角形时（cba） 0 22