培优导数与零点题型归纳

1、导数与函数零点方法技巧用导数来判断函数的零点个数 ，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象， 再借助图象加以判断。(1 )要求证一个函数 存在零点，只须要用“函数零点的 存在性定理”即可证明(2)要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的 存在性定理”求证函数零点的唯一性。题型一 判断，证明函数零点个数例1设函数f (x) In x ,。若方程f (x) mx在区间上有唯一实数解，求实数m的取值范围；2x练习1设函数f(x) (x a)ln x，g(x) .已知曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线 e与直线2x y 0平行(I)求

2、a的值；(l)是否存在自然数 k，使得方程f(x) g(x)在(k ,k 1)内存在唯一的根？如果存在，求出 k ；如果不存在，请说明理由；练习2设函数f (x) In x ax， g(x) ex ax，其中a为实数.若g(x)在(1,)上是 单调增函数，试求 f(x)的零点个数，并证明你的结论.练习3.设函数f(x) ex m x,其中m R.(1) 求函数f (x)的最值；(2) 判断，当 m 1时，函数f (x)在区间(m,2m)内是否存在零点。2练习4设函数x , , Cx k l n x， k 0 .2(l )求f x的单调区间和极值;(Il )证明：若f x存在零点，则f x在区间

3、1, e上仅有一个零点.例2已知函数f(x) 2x -，h(x) x .32(I)设函数 F(x) = f(x) h(x)，求F(x)的单调区间与极值;、33(n)设 a R，解关于 x 的方程 iog4 f(x 1) log2h(a x) log2h(4 x);练习1设函数f x inx m , m R.x(1)当m= e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值;x讨论函数g x = f x 零点的个数；3练习2已知函数f x In ex a (a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g xf xsinx是区间一 1, 1上的减函数.(i)求a的值；(ii)右g x2tt 1在乂 一 1 ,

4、 1上恒成立，求t的取值范围In x(川)讨论关于X的方程x2 2ex m的根的个数。f(x)题型二已知零点个数，求参数范围2例3已知函数f (x) xxs inx cosx(1)若曲线y f(x)在点(a, f(a)处与直线y b相切，求a与b的值。(2)若曲线y f (x)与直线y b有两个不同的交点，求 b的取值范围。练习1已知函数x ex mx在(1,)上没有零点，求 m的取值范围;1练习 2 已知函数 f (x)= 2m ( x- 1) 2-2x+ 3+ Inx , m R.当 m0 时，若曲线y= f (x)在点P (1, 1 )处的切线I与曲线y= f (x)有且只有一个公共点，求实数m的值.1练习3已知函数f(x) x 1 x(a R,e为自然对数的底数)若直线I : y kx 1与曲线ey f(x)没有公共点，求k的最大值.、 2例 4、已知函数 f(x)= x +8x,g(x)=6lnx+m(I)求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t)