初三相似三角形的基本模型

1、精锐教育学科教师辅导讲义 授课 类型 T （相似三角形的基本类 型。） C （专题方法主题） T （学法与能力主题） 授课日 期时段 教学内容 、同步知识梳理 知识点1:相似证明中的基本模型 B 知识点2:相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合 等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等. 如图： AD平分乙BAC交BC于D，求证：BD _ AB . DC AC E A 证法一：过 C作CE II AD，交BA的延长线于 E . 1 ZE，/2 Z3 1 Z2 , = E AC =AE AD

2、II CE , BD DC BA _ BA BE AC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了 A”型图的基本模型. E 证法二；过B作AC的平行线，交 AD的延长线于E .J = . 2 =. E，AB = BE BE II AC , BD =BE = AB . DC AC AC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“ X”型图的基本模型. 知识点3：相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题. 常用的面积法基本模型如下： 如图: S ABC S ACD 1 BC AH =2 1 CD AH 2 BC CD 如图: S ABC S BCD 1 _2 BC AH

3、 AH -1 BC DG 2 AO 如图: S ABD S ABD S AED ace aed ace DG OD AB AD AB AD AE AC AE AC 山字”型 图1： C 田字”型 图2 : 图3： 燕尾理 、同步题型分析 题型1:与三角形有关的相似问题 例 1 :如图， D、E是.ABC的边 AC、AB上的点，且 ADAC二AE AB，求证: MADE /B . 解析: T AD AC = AE AB .AD AB AE AC DAE = Z.BAC 二 ADAE s ABAC 解析: 例2：如图，在. ：ABC中， 的4倍，AC =6，求DE的长. AD_BC于D , CE_

4、AB于E , ABC的面积是.；BDE面积 T/ ADVBC , CE k AB , 4BD = ZCBE 1ABD 5 SCBE .BE _ BC BD AB ：_EBD = CBA ABED 题型2：相 s ABCA .DE AC = 1=DE = C = 3 似中的角平分线问题 例1 :如图，AD是：ABC的角平分线，求证: AB AC BD CD 解析： 二匸三一二三. 丫 CE/ AD. = _3 , AE=AC . 由CE/ AD可得: AB _ BD AE _ CD 解析： 连接AM *由已知条件可知DAE = 90 , AACM = AC AD + DC = BAD + ADA

5、C - _CAM = JAM， A 又 丁 4MC = 例2:已知 ABC中，.BAC的外角平分线交对边 BC的延长线于D，求证：AB=BD AC CD AB BMAB AM AC AM AC CM AB BM AC2 -CM* 田CH / f/ AU dJ 付： = AE CD AB BD AC CD 二 AAMC s ABMA . 例3: 已知: AD、AE分别为 .ABC的内、外角平分线, M为DE的中点, BM 求证：竺 解析: 题型3: a2二be型结论的证明 例 1 :如图，直角 ABC 中，AB_AC，AD_BC，证明： ABBD BC， ACCD BC， AD2 二BD CD

6、. 解析： AB 丄川t?, AD _BC -+- XABD s ACAD s ACBA * ABD s ACAD 、型二竺n於 AD CD =BD CD T嘗磊Fog器*曲 例2:如图，在 厶ABC中，AD平分.BAC , 求证：FD2 二FB FC . AD的垂直平分线交 AD于E，交BC的延长线于F , 解析： 连接4F TEF 垂直平分Q,AF = DF . 上4 = Z-DAF、良卩 Z4 = _二十 Z3 又 T Z4 = Zl + 二 Z2 + Z3 -厶1 + 匚疗， AD_BAC . A Z1 = Z2 ,二乙3=B, 又 T zlCFA = MFR , * ACFA s A

7、FB * :. FA2 = FC * FB 又 T AF = DF , A FD2 =FBFC 题型4、三角形内接矩形问题 例1、 已知，如图，ABC中，AC =3，BC =4，C =90 ，四边形DEGF为正方形，其中D，E 在边AC，BC 上, F , G在AB上，求正方形的边长. 由勾般屯理可求AB = 5,由AB CH =AC BC可碍CH = 2.4 + 由 ACDE SCAB 可得= AB CH 设止方形的边长为I 则上=,解得. 52.437 三、课堂达标检测 检测题1 :如图，在正方形 ABCD中，点E在AB边上，且 于F，则 AEG的面积与四边形 BEGF的面积之比为（ A、

8、 1 : 2B、 1 : 4 AE : EB = 2 : ) 1, AF丄DE于G交 BC 检测题 第1题图 D、2 : 2、如图，已知 DE / BC, CD 和 BE 相交于点 O, S doe : S COB = 4 : 9,则 AE : EC 为( 3 5 2 2 B、2 : 3 检测题 3、在 ABC 中，D 为 AC 边上一点，/ DBC = Z A, BC= 6 , AC= 3，贝U CD 的长为（ C、2 答案：1、C 2、A 3、C 一、专题精讲 构造相似辅助线一一双垂直模型 例1 :在厶ABC中，AB二人,AC=4, BC=2，以AB为边在 C点的异侧作 ABD，使 ABD

9、为等腰 直角三角形，求线段 CD的长. 答案：解：情形一: 如一图，当aE=g(i 连接CD-过点D作AC边上.的高钱DE,交CA的延长 钱于点E* V AB=2iBC=2 ，: ACBC=AB-， ACB= 90 7 ” 又/ DE丄(?为等腰直角三毎形. 4D=AB、 ZACB=E= 90 亠CU-厶EQ=9CT /. AE=BC=2. DE=AC=4- .在 Ri-DEC 中，CD=-Jed+CE2= IJ A D ri B 匚Q 情形二: 又T DF亠CF*丄JED为等複直亀三隹坯. ._B.iC=FBD- * AFPMACS.J .DF=B0 8F=aC=4 .在 R一 DFg, c

10、dIfd-cf- = ：7lG , 如置丄当厶9円=90时：* 连接CD.过点。作囚匚边上的高线DP. CB的 延氏线于点尸.过点且作宜线尸。边上的高线月？ 交PD于点Q. 丈：DE一CE、SBD为等建直角三隹形十 /. AQADAPDB /. AO=DP, DO=BP. /- AD=BD,二宀旷 90= * a 1ed=町对：” _和1片1” wyd.IfL 逹接CD过点D作孔边上的聶违交CB豹磴氏线干戌F 丄0口+乂3辺=90 _QDAJrBDP= a .BD=A8t -JCS-F- 90： 9Q: . H1C+C-9C； 例2：在厶ABC中，AC=BC，/ ACB=90，点M是AC上的一

11、点，点 N是BC上的一点，沿着直线 MN折叠，使得点 C恰好落在边 AB上的P点求证： MC : NC=AP : PB. 情形三： M B DC DC PB PB /J R PB FM 答案：证明：方法一: 过N作NE丄AB于E 由双垂直模型，可以推知 MD+PD 根据等比性质可知 -S二三 DA : DC = PA： MC : CN=PA： MC : CN=PD: PD=DA MC : CN=DA: PD/BC 2x+ 2与坐标轴交于 A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形 1 : 2。 ，而 MD=DA , NE=EB, PM = CM , PN=CN MC : CN=PA: 方法二：

12、如图， 过M作MD丄AB于D , 例3:已知，如图，直线 y=- ABCD，使得矩形的两边之比为 求C、D两点的坐标。 连接PC,过点P作PD丄AC于D，贝U PD/BC 根据折叠可知MN丄CP / 2+ / PCN=90 / PCN+ / CNM=90 / 2= / CNM / CDP = / NCM =90 PDC s MCN MD_PD PM PMD s NPE，贝U三 构造相似辅助线一一A、X字型 例4:如图： ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线 AE交CD于F。 求证：一-舄 答案：证明：（方法一）如图 延长AE到M使得EM=AE，连接CM / BE=CE,/ AE

13、B= / MEC BEA CEM CM=AB，/ 1 = / B AB / CM / M = / MAD，/ MCF = / ADF MCF s ADF CF _CM :.二一 jz / CM=AB, AD=AC CF CM AB _ 亠上 A （方法二） 过D作DG / BC交AE于G 则厶ABEs ADG , CEFs DGF AB_BE_ CF_CE_ 二二，二二 / AD=AC , BE=CE CF_BE_AB_ 二一工二 例5:四边形 ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且 AC平分/ DAB。 BE _ BC2 求证： -二 Jl JR 答案：证明：一- 过点D作DF / AB

14、交AC的延长线于点 F，则/ 2= / 3 / AC 平分/ DAB / 1 = / 2 / 1 = / 3 AD=DF / DEF = / BEA，/ 2= / 3 BEA DEF BE AB / AD=DF BE AS 丄一 / AC为AB、AD的比例中项 匸一匚 AD AC 即上_ 又/ 1= / 2 ACDs ABC AD _ AC _ CD _._f 亠亠 BC2 _ AB AC _ AB BC2 _ BE -J 二 n 例6:在梯形 ABCD中，AB / CD , AB= b, CD = a, E为AD边上的任意一点， EF / AB ,且EF交 BC于点F，某同学在研究这一问题时

15、，发现如下事实： DE =1 a+b DEa + 25 当 AE 时， EF= -; 当-二时，EF= -; DE =3 a3b % 7 当 AE 时， EF= 当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b和k表示EF的 般结论，并给出证明. 答案： 证明： 过点E作PQ / BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q / AB / CD , PQ / BC 四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 %_de 兀 PB= EF = CQ, 一 .识 又T AB= b, CD = a AP= PB-AB = EF-b, DQ = DC-QC = a-EF EF-b 込警 例7:已知：如图，在 ABC

16、中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且 BE= EF = FC。 求 BN : NQ: QM. 答案：解：八 ；： 连接MF / M是AC的中点，EF = FC 1 MF / AE 且 MF = AE BENBFM BN: BM= BE : BF = NE : MF / BE= EF BN: BM = NE : MF = 1:2. BN : NM = 1:1 设 NE = x，贝U MF = 2x， AE = 4x.AN = 3x： MF / AE.A NAQs MFQ NQ: QM = AN : MF = 3:2： BN: NM = 1:1，NQ: QM = 3:2 BN: NQ: Q

17、M = 5:3:2 相似类定值问题 例 / PE丄 PC , / APE+ / DPC=90 / D=90 / DPC+ / DCP =90 / APE= / DCP , 又/ A= / D=90, APEDCP , .“=J ：=I， AP?DP=AE?DC ; 同理可得 AQ?DQ=AE?DC ; AQ?DQ =AP?DP，即 AQ? (3 - AQ) =AP? (3 - AP), 22 3AQ- AQ =3AP - AP , 2 2 AP - AQ =3AP - 3AQ, ( AP+AQ) (AP - AQ) =3 (AP - AQ); / APAQ, AP+AQ=3 (2 分) / A

18、PAQ, APM ，即卩P不能是AD的中点， 2 当P是AD的中点时，满足条件的 Q点不存在. 当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时 AP+AQ=3. (1 分) (2) 设 AP=x, AE=y,由 AP?DP=AE?DC 可得 x (3 - x) =2y, y= x ( 3- x) = - x2+ x=-(x- ) 2+, 2 2 2 2 2 8 当x=(在0 v xv 3范围内)时，y最大值= 23 而此时BE最小为， 8 又 E在AB上运动，且 AB=2, BE的取值范围是 用E V 2 . (2分) 8 例13 (2012年宁夏中考)在矩形 ABCD中，AB =2 ,

19、 AD =3 , P是BC上的任意一点(P与B、C 不重合)，过点 P作AP _ PE，垂足为P , PE交CD于点E . (1) 连接AE，当 APE与 ADE全等时，求 BP的长； (2) 若设BP为x, CE为y，试确定y与x的函数关系式.当 x取何值时，y的值最 大？最大值是多少？ (3)若PE II BD，试求出此时 BP的长. B 解：（1）V APE ADE （已知），AD=3 （已知）， AP=AD=3 （全等三角形的对应边相等）; 在Rt ABP中，BP=%_打十 ！“ =-（勾股定理）； （2）v API PE （已知）， / APB+ / CPE=Z CPE+ / PEC

20、=90 / APB= / PEC, 又/ B= / C=90 RtA ABP s Rg PCE, :即一-（相似三角形的对应边成比例）， PC CE 3-x y y 尸勺*22 乜 .当x=时，y有最大值，最大值是 ； 2 8 （3）如图，连接 BD 设 BP=x，口: :1 ,. 2 2 / PE/ BD , CPECBD , P L （相似三角形的对应边成比例）， CB CD 32 化简得，3x2- 13x+12=0 解得，xi=, x2=3 （不合题意，舍去） p- 例14 （2012年宜宾中考）如图，在 SBC中，已知 AB=AC=5 , BC =6，且 ABCDEF ，将 DEF与

21、ABC重合在一起，AABC不动， DEF运动，并满足：点 E在边BC上沿B到C的方向 运动，且DE、始终经过点 A , EF与AC交于M点. （1）求证：ABE s ：ECM ; (2) 探究：在 DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长; 若不能，请说明理由； (3) 当线段AM最短时，求重叠部分的面积. (1)证明：T AB=AC, / B=Z C, ABC DEF , / AEF = / B, 又/ AEF+ / CEM=Z AEC = Z B+ / BAE, / CEM = Z BAE, ABEECM ; (2)能. 解：/ AEF=Z B= / C,且/ AM

22、E Z C, / AME Z AEF , AEAM ; 当 AE=EM 时，贝U ABE ECM , CE=AB=5, BE=BC - EC=6 - 5=1 , 当 AM = EM 时，则/ MAE= / MEA , / MAE + Z BAE= / MEA + Z CEM , 即/ CAB= Z CEA, 又/ C= Z C, CAECBA, CE 二 AC ACCB CE= BE=6 - 251 ； =； 若AE=AM，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即 BE=0. BE=1 或或 0. (3)解：设 BE=x, 又 ABEECM , M l: 瓦盂， 即： x 5 2 CM= - +

23、 X=-二(x- 3) 2+二 5 555 AM =5 - CM (x- 3) 2+ 55 当x=3时，AM最短为, 5 又当 BE=x=3=BC 时， 2 点E为BC的中点， AE 丄 BC , AE=4， 此时，EF丄AC, EM = 5可， 弘 AEM=：；_ 255 25 、专题过关 【题U如上图，AB .I BD， 垂足为f 证明：i CD _ BD，垂足分别为 B、D， AC和BD相交于点E， EF _ BD， .丄1 AB CD EF 答案：(BF+DF)/ DF=AB/EF 1 BF/DF+1=AB/EF ( BF+DF)/ BF=CD/EF 2 DF/BF+1=CD/EF 1

24、推出 BF/DF=(AB-EF)/ EF 代入 2 EF/( AB-EF)+1 = CD/EF = AB/( AB-EF)=CD/EF = 1-EF/AB = EF/CD =1=EF(1/ AB+1/CD) EF= 1/ AB+1/CD = 1/ 【题2】 如图，已知AB/EF/CD，找出S abd、Sbed、S bcd之间的关系，并证明你的结论 答案：1/SA BDE=1/SAABD+1/SA BDC以A E C三点坐高于BD 三条高 依然存在1题中关系 共用底边BD 高的比等于面积比。 【题3】(2012年成都中考)如图，AABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形， .BAC = EDF

25、 =90， DEF的顶点E与 ABC的斜边BC的中点重合.将 DEF绕点E旋 转，旋转过程中，线段 DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q . (1)如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：.BPE也厶CQE ； (2 )如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证： BPE s.CEQ ;并求当 9 BP二a, CQ 时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示). E 图 图 解：连接PQ, ABC和厶DEF是两个全等的等腰直角三角形, / B=Z C= / DEF=45 / BEQ= / EQC+ / C, 即/ BEP+ / DEF= / EQC + / C, / B

26、EP+45 / EQC+45 / BEP= / EQC, / B=Z C=45 BPE CEQ, 工 I. J， / BP=a, CQ一，BE=CE, 2a -=: I.-， 2a BE=CE= 二 a, 2 BC=3 i 二a, AB=AC=BC?si n4 53a, AQ=CQ - AC= a, PA=AB - BP=2a, 2 PQ=；r亠 - 在 Rt APQ 中, 三、学法提炼 1专题特点：从基本图形入手，能顺利找出解题问题的思路和方法，能帮我们 尽快找到添加的辅助线。 2、 解题方法：寻找适当的辅助线，方法有平行型（A、X型）、相交线型、双垂型 及一线三角等。 3、注意事项：在解题

27、过程中要注意比例的基本性质的运用，即等积变换、等比 代换、等线代换。 一、 能力培养 综合题1 : ( 1)如图1，点P在平行四边形 ABCD的对角线BD上，一直线过点 P分别交BA, BC 的延长线于点 Q，S,交AD，CD于点R，T.求证：PQ PR = PS PT (2)如图2，图3,当点P在平行四边形 ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ - PR = PS PT 是否仍然成立？若成立， 试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)； 答案：(1)证明：在平行四边形 ABCD中，AD / BC, / DRP= / S,Z RDB= / DBS DRP BS

28、P PR_DP 同理由AB/ CD可证 PTD PQB PT _ DP PR _ PT (2)证明：成立，理由如下： 在平行四边形 ABCD中，AD / BC, / PRD= / S,Z RDP= / DBS DRP BSP PR_DP 三广厂 同理由AB/ CD可证 PTD PQB PT _ DP 二三 PR _ PT H 丁 丄 py 综合题2：已知：如图， ABC中，AB = AC, AD是中线，P是AD上一点，过C作CF / AB，延 长BP交AC于E,交CF于F .求证：BP = PE-PF . 答案：证明： / AB = AC , AD 是中线， AD 丄 BC,BP=CP / 1

29、 = / 2 又/ ABC= / ACB / 3= / 4 / CF / AB / 3= / F,Z 4= / F 又/ EPC= / CPF EPC CPF SP = PC 兀 ：- BP2= PE-PF即证所求 综合题3：如图，已知 ABC中，AD, BF分别为BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交AB于 E,交BF于G,交AC延长线于H。求证：DE2=EG?EH 答案：证明：T DE丄AB .y 90 _丄二一二丄二=90 亠匸亠 ADE DBE AS DE 二 二疋 DE2=AE BE / BF 丄 AC 一-90 一二90。且二一二 .亠 BEG HEA B_EG s.-三 2

30、- DE =EG EH 综合题4：已知如图，P为平行四边形 ABCD的对角线AC上一点，过 P的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB的延长线分别相交于点 E、F、G、H. 求证： PE PH PF PG 四边形ABCD为平行四边形 AB / CD , AD / BC / 1 = / 2,Z G = Z H，/ 5= / 6 PAHs PCG PH PA PG PC PA PC PH = PG 综合题5：已知，如图，锐角 ABC中，AD丄BC于D, H为垂心（三角形三条高线的交点）；在 2 AD上有一点P,且/ BPC为直角.求证：PD = AD DH。 答案：证明：如图，连接 BH交AC于

31、点E, BD C H为垂心 BE 丄 AC / EBC+ / BCA=90 / AD 丄 BC 于 D / DAC + / BCA=90 / EBC= / DAC 又/ BDH = / ADC=90 BDH s ADC BD DH AD DC ，即 bdLdc =ad_Dh / BPC为直角，AD丄BC PD2 = BD DC PD2 = AD DH 综合题6：已知如图，CD是RtAABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交 CA于F。 求证：ACLCF 二 BC_DF B 证明： CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点 CE=EB=DE / B=Z BDE=Z FDA

32、/ B+Z CAB=90 , / ACD + Z CAB=90 / B=Z ACD Z FDA = Z ACD Z F = Z F FDA FCD FD _ AD FC CD Z ADC = Z CDB=90 , Z B=Z ACD ACDs CBD .AD AC CD - BC .FD AC - FC - BC 即 ACCF 二 BC_DF 综合题7：如图，在 RtA ABC中，CD是斜边AB上的高，点 M在CD上，DH丄BM且与AC的延 长线交于点E. 求证：(1) AEDCBM ; (2) AELCM 二 ACLCD 答案：证明：(1 )/ ACB=Z ADC = 90 / A +Z A

33、CD = 90 / BCM + Z ACD = 90 / A =Z BCM 同理可得：/ MDH =Z MBD / CMB = Z CDB + Z MBD = 90+ Z MBD / ADE =Z ADC +Z MDH = 90 + / MDH / ADE = / CMB AED CBM (2)由上问可知： AE AD，即 aEcm 二 ad_cb CB CM一 故只需证明ACLCD =AD_CB即可 / A =/ A, / ACD = / ABC ACD ABC AD -CD，即 ACCD =ADJCB AC BC一 aEcm acLcd 综合题8：如图， ABC是直角三角形，/ ACB=9

34、0, CD丄AB于D , E是AC的中点，ED的延长 线与CB的延长线交于点F. (1) 求证：fd2=fbLIfc. (2) 若G是BC的中点，连接 GD , GD与EF垂直吗？并说明理由. FD_FB 答案：（1）将结论写成比例的形式，匚 三，可以考虑证明 FDB s FCD （已经有一个公共 角/ F） RtA ACD中，E是AC的中点 DE=AE / A=Z ADE / ADE = / FDB / A=Z FDB 而/ A+Z ACD=90 / FCD+ Z ACD=90 Z A=Z FCD Z FCD = Z FDB 而Z F = Z F FBD FDC FD_FB_ FD2 二 F

35、BLFC （2）判断：GD与EF垂直RtA CDB中，G是BC的中点， GD = GB Z GDB=Z GBD 而Z GBD+Z FCD =90 又/ FCD=Z FDB （1 的结论） Z GDB + Z FDB =90 GD 丄 EF 综合题9：如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点 M , CG与 ad相交于点N.求证：anLdn二cnjmn . 答案：证明：由四边形 ABCD、DEFG 都是正方形可知，Z ADC= Z GDE=90 ,则 / CDG = / ADE = / ADG +90 在和二中 ADCD GD=DE CDG = ADE 丄

36、二一上二 则/ DAM=Z DCN 又/ ANM = Z CND ANM s CND AN_CN_ 则丁二匚丁 ANDN =cn_mn 综合题10：如图，BD、CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作DG丄BC于G,分别交CE及BA 的延长线于F、H。 求证：(1)dg=bgLCg ；(2)bgLcg=gf_gh H BG 答案：证明：找模型。 (1) BCD、 BDG , CDG 构成母子型相似。二 BDG DCG DG_BG 77 二 DG2 二 BGLCG (2) 分析：将等积式转化为比例式。 bgcg 二gf_gh 二 BG =GF GH CG / GFC = / EFH，而/ EFH

37、+Z H=90 , / GFC + / FCG=90 / H=Z FCG 而/ HGB= / CGF=90 HBG CFG .BG GF GH CG BGQG 二GF JGH 综合题11： . ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/A=Z D=90 DEF的顶点E位于边BC 的中点上. (1) 如图1,设DE与AB交于点 M , EF与AC交于点N，求证： BEMCNE ; (2) 如图2,将厶DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点 M , EF与AC交于点N,于是， 除(1 )中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论. 图2+ 答案：(1)证明：/ MEB +Z

38、 NEC = 180 45 = 135=/ MEB +Z EMB NEC = Z EMB 又 / B=/BEMCNE (2) COEs EON 证明：/ OEN= / C = 45 / COE = / EON COEEON 综合题12：如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分别交 AC、CD 于点 P、Q. (1) 请写出图中各对相似三角形(相似比为 1除外)； (2) 求 BP: PQ: QR. 解：(1) BCPs BER, CQPDQR, ABPs CQP , DQRABP (2)v AC/ DE BCP BER BP PC BC 二：二 二 四边

39、形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 AD=BC , AD=CE BC=CE ,即点C为BE的中点 又 AC / DE CQP DQR 点R为DE的中点 DR=RE -二综上: BP: PQ: QR= 3: 1: 2 AE AC AF 一 AB 综合题13:如图，在 ABC中，AD丄BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F。求证: 答案：证明：T AD丄BC, DE丄AB ADB AED AD_AB_ AD2 AE AB 同理可证：AD前AF AC AE AB= AF AC AE AC AF AB 二、能力点评 在解决综合性的问题时能将复杂图形划分为几个基本类型，并要注意数形结合思想和

40、分类讨论思想 及方程思想的应用。 学法升华 知识收获 1、相似证明中的基本模型 a ed r- BC 2:相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合 等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等. 二、方法总结 （1）梅涅劳斯定理 梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家.梅涅劳斯定理是平面几何 中的一个重要定理. 长线上，而其它两点在三角形的边上；或 X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上. 梅涅劳斯定理： X、Y、Z分别是 ABC三边所在直线 BC、CA、AB上的

41、点.贝U X、Y、Z 共线的充分必要条件是: CX BZ AY , 1 . XB ZA YC 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或 X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延 证明：（1）必要性，即若x、丫、z三点共线，则CB BA. 设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c .贝U CX c BZ b AY a CX BZ AY c b a 一 ? 、 ，三式相乘即得 1 XB b ZA a YC c XB ZA YC b a c (2) 充分性，即若 CX BZ AY =1，则 X、 Y、Z三点共线. XB ZA YC 设直线XZ交AC于Y，由已证必要性得：CX BZ =1 XB

42、 ZA YC 又因为 Cx BZ ay =1，所以 XB ZA YC AY _ AY YC _YC 因为Y 和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上, 并且能分得比值相等, 所以Y和Y比 重合为一点，也就是 X、Y、Z三点共线. 梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在 CX XB BZ ZA AY 、AY三个比中，已知其中两个可 YC 以求得第三个.二是证明三点共线. (2)塞瓦定理 连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线.塞瓦 (GGevo1647-1734 )是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理，后世以 他的名字来命名，叫做塞瓦定

43、理. 塞瓦定理：从 ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX , BY , CZ .则AX , BY , CZ共点的充 分必要条件是BX CY AZ =1 . XC YA ZB 充分性命题：设 ABC的三条塞瓦线AX , BY , CZ共点，则必有BX CY AZ =1 . XC YA ZB 必要性命题：设 ABC中，AX , BY , CZ是三条塞瓦线，如果BX CY AZ =,则 XC YA ZB AX , BY , CZ三线共点. 我们先证明充分性命题. 如图，设 AX , BY , CZ相交于P点，过A作BC边的平行线，分别交 BY , CZ的延长线于 B , C 由平行截割定理，得BX_

44、 = AB , CY =BC , AZ = AC 上面三式两边分别相乘得: XC AC YA AB ZB BC BX CY AZ 1 XC YA ZB 我们再证明必要性命题. 假设AX与BY这两条塞瓦线相交于 P点，连CP交AB于Z 则CZ 也是一条过P点的 ABC 的塞瓦线根据已证充分性命题，可得A? 1，由因为 燮 CY 巴=1，进而可得 XC YA ZBXC YA ZB AZAZAZ AZ - 所以 = ，因此AZJAZ 所以Z 与 Z重合，从而CZ和CZ重合，于是得出 Z B ZBAB AB AX , BY , CZ 共点. 塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用第一方面，利用塞瓦

45、定理的必要性可证明三 线共点问题第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以 得出六条线段比例乘积等于 1的关系式利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式. 三、技巧提炼 本节常见误区有(1)相似三角形中对应边及对应角找不准。 (2) 在运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似时容易把两边的夹角和其 中一边的对角混淆。 (3) 在确定两个三角形相似时由于对应元素的不确定可能会出现多种结论，往往 考虑问题欠全面，出现漏解现象。 、选择题 1 如图所示, A. 2 3 2 .如图所示, A. DC 课后作业 ABC 中，DE / BC,若 AD = 1 , D

46、B = 2, B.1 4 ABC 中 DE / BC , ADE的面积 C. ABC的面积 3 3 .如图所示，在 ABC中/ 列结论正确的是（） 则DE的值为（） BC 第1题图 C. 1 3 若AD : DB = 1 : 2，则下列结论中正确的是 （） 第2题图 MDE的周长 B. ABC的周长 AADE的周长 D. ABC的周长 1 3 BAC = 90, D是BC中点，AE丄AD交CB延长线于E点，则下 第3题图 A.A AEDACBB.A AEBACD C.A BAEACED . AECs DAC ,AC=3，贝U CD 长 4 .如图所示，在 ABC中D为AC边上一点，若/ DBC = Z A, BC =：扌6 A. 1 B. 5 .若P是RtAABC的斜边BC上异于B, C的一点，过点P作直线截厶ABC，截得的三角形与 原厶ABC相似，满足这样条件的直线共有（） A. 1条B. 2条C. 3条D . 4条 6.如图所示， ABC中若DE / BC, EF / AB，则下列比例式正确的是 （） AD A. DB AE DE BC BF FC C. EC 7 .如图所示，O O中，弦 AB, BF B. BC D.里