5.三重积分(2012)

1、1 三重积分三重积分 I 三重积分的概念与性质三重积分的概念与性质 II 三重积分的计算法三重积分的计算法 二、二、 柱面坐标下三重积分的计算法柱面坐标下三重积分的计算法 三三 、球面坐标下三重积分的计算法、球面坐标下三重积分的计算法 III 重积分的应用重积分的应用 一、一、 直角坐标下三重积分的计算法直角坐标下三重积分的计算法 2 I I、三重积分的概念、三重积分的概念 1三重积分的三重积分的定义定义 n i iiii vfdvzyxf 1 0 ),(lim),( 如果如果f (x，y，z)表示某物体在点表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，处的体密度， 是该物体所占的空间闭区域，是该物

2、体所占的空间闭区域，f (x，y ,z)在在上连续，上连续， 则则 dvzyxfM),( 物体的质量物体的质量 2物理意义物理意义 3几何意义几何意义 的体积的体积 dxdydzV 4性质性质 同二重积分同二重积分 3 补充：补充： 利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算 1,zox 、若若空空间间区区域域是是关关于于面面是是对对称称的的 则则 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fy f x y z dvfy 关关于于 是是奇奇函函数数 关关于于 是是偶偶函函数数 1 其其中中是是的的右右半半部部分分 4 2,yoz 、若若空空间间区区域域是是关关于

3、于面面是是对对称称的的 则则 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fx f x y z dvfx 关关于于 是是奇奇函函数数 关关于于 是是偶偶函函数数 1 其其中中是是的的前前半半部部分分 3,xoy 、若若空空间间区区域域是是关关于于面面是是对对称称的的 则则 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fz f x y z dvfz 关关于于 是是奇奇函函数数 关关于于 是是偶偶函函数数 1 其其中中是是的的上上半半部部分分 5 4、 若若关于变量关于变量x，y，z具有轮换对称性，则有具有轮换对称性，则有 dvyxzfdvxzyfdvzyx

4、f),(),(),( dVyxzfxzyfzyxf),(),(),( 3 1 dVzyxdVzdVydVx Rzyx 3 1 222222 2222 所所围围，则则为为球球面面若若 6 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划 分分，则则dv=dxdydz ,),( dxdydzzyxf 1直角坐标系中的体积元素直角坐标系中的体积元素 因此在直角坐标系中，三重积分记作因此在直角坐标系中，三重积分记作 II、三重积分的计算、三重积分的计算 一、一、 用直角坐标系计算三重积分用直角坐标系计算三重积分 7 为母线平行于为母线平行于z轴的曲顶，曲底柱体时

5、轴的曲顶，曲底柱体时 第一种情况：第一种情况：投影法投影法( (先一后二法先一后二法) ) 2 2、化三重积分为三次单积分、化三重积分为三次单积分 x y z o D 1 z 2 z 2 S 1 S ),( 1 yxzz ),( 2 yxzz a b )( 1 xyy )( 2 xyy ),(yx 如图，如图， ,D xoy 面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域 在在闭区域闭区域 ),(: ),(: 22 11 yxzzS yxzzS ,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从 21 zz 8 ,),()(: 21 bxaxyyxyD 若若 得得 dvzyxf),(.),

6、( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 b a xy xy yxz yxz dzzyxfdydx ),( ),( 2 1 ),(),( yxz yxz D dzzyxfdxdydvzyxf xy xy Dyxyxzzyxz ),(),(),(: 21 往另两个坐标面上投影的情况与此类似。往另两个坐标面上投影的情况与此类似。 9 2 1 x y o1 解解 x y z C (0,0,1) o A (1,0,0) )0 , 2 1 , 0(B x+2y=1 ,1 21 xdxdydz x yz 计计算算三三重重积积分分 其其中中为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面 所所 例例 围围成成的的

7、闭闭区区域域。 Dxy xdxdydz xy D yx ddzx )( 21 0 yx x dzxdydx 21 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 )21( x dyyxxdx 1 0 32 )2(dxxxx 。 48 1 10 为为三三次次积积分分化化三三重重积积分分例例 dvzyxf),(2 所所围围。1,: 22 zyxz 解：曲面解：曲面z=x2+y2与平面与平面z=1的交线在的交线在xOy平面上的投平面上的投 影曲线为在影曲线为在x2+y2=1，在在xOy平面上的投影区域为平面上的投影区域为 Dxy: x2+y21。 xy Dyxzyx ),( , 1: 22 1 y x

8、z O 而而Dxy可用不等式组可用不等式组 11,11 22 xxyx 于是于是 11 1 1 1 22 2 2 ),(),( yx x x dzzyxfdydxdvzyxf 11 第二种情况第二种情况:截面法截面法(先二后一法先二后一法) 设区域设区域 夹在平面夹在平面z = c1，z = c2(c1 c2)之间之间 ,),( ),( 21 czcDyxzyx z 1 c 2 c z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf)3( ),(),( 2 1 z y x o 用竖坐标为用竖坐标为z (c1 z c2) 的平面截的平面截 所得截面为所得截面为Dz 或或D(z)，即，即 z D 1

9、2 z y x o z D z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf),(),( 2 1 特别当特别当f (x,y,z)只是只是 z 的函数：的函数： f (x,y,z)= (z), 上式的适用范围：上式的适用范围： 有有 )()()(),(zAzdxdyzdxdyzyxf zz DD 其中其中A(z)是是Dz的面积，于是的面积，于是 dzzAzdvzyxf d c )()(),( 13 ,3 dxdydzz计计算算例例 所所围围其其中中1,: 22 zyxz 解解用截面法。用截面法。 222 zy:xDz zo z D x y z o 1 z D z , z xoy D 用用平平行行

10、于于面面的的平平面面去去截截 空空间间区区域域得得平平面面闭闭区区域域 zdv z D zddz 1 0 z D dzdz 1 0 1 0 2 )(dzzz 1 0 3dz z 1 0 4 4 z 。 4 1: 22 zyx 14 解解 0sin 4 xdvy dvzxyI)sin( 4 zdv y4sinx关于关于x是奇函数是奇函数 x y z o Rzzyx2: 222 关于关于yoz平面对称，平面对称， Rzzyx dxdydzzxyI 2: ,)sin(4 222 4 计计算算例例 15 用截面法。用截面法。 o z D 222 2:zRzyxDz Rzzyx2: 222 z Dz x

11、 y z o zdv R dzzRz 2 0 32 )2( z D R dxdyzdz 2 0 2 0 ( ) R zz dz R z Rz 2 0 4 3 ) 43 2 ( 。 4 3 4 R 16 二二 、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分 1柱面坐标柱面坐标 ,0 r ,20 . z 的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数 ，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影 在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设 Mzr rPxoy MzyxM , , ),( 规定：规定： x y z o r z x y M(x,y,z) ),(zrM ( , ,0

12、)P r 17 . ,sin ,cos zz ry rx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐 标的关系为标的关系为 为常数为常数r 为常数为常数z 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为 圆柱面；圆柱面； 半平面；半平面； 平平 面面 ),(zyxM ),(rP r z x y z o 18 dxdydzzyxf),( .),sin,cos( dzrdrdzrrf d r x y z o dz dr rd 如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系 中的体积元素为中的体积元素为 ,dzrdrddv 3柱面坐标系中的三重积分的形式柱面坐标系中的三重积分的形式 2柱面坐标系中的体积元素柱面坐标

13、系中的体积元素 4计算方法：定限方法同直角坐标，把边界化成柱面计算方法：定限方法同直角坐标，把边界化成柱面 坐标方程。坐标方程。 一般是化为先 一般是化为先z，再，再r ，最后，最后的三次积分的三次积分 19 例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4 222 zyx与抛物面与抛物面zyx3 22 所围的立体所围的立体. 解解 由由 zz ry rx sin cos , 交线的投影为交线的投影为: xy Dyxyxz yx ),.(4 3 : 22 22 3: 22 yxDxy .20 , 30 4 3 : 2 2 r rz r ， 2 3 2 42 0 3 0 r

14、r zdzrdrdI . 4 13 20 22 222 .() 0. xydxdydz xyzza a 例例2 2 计计算算，其其中中是是锥锥面面 与与平平面面（）所所围围成成的的立立体体 解解用柱面坐标。用柱面坐标。 x y z o 1 22 :.( , ) xy xyza x yD dxdydzyxI)( 22 a r a dzrrdrd 2 0 2 0 a drrar 0 3 )(2 54 2 54 aa a . 10 5 a .20,0,: arazr 21 三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分 1球面坐标球面坐标 rOMr0| 0 ),( KOM （1）M(x，y

15、，z) (r， ,) ：MP，x轴正向按逆时针方向到轴正向按逆时针方向到OP的转角，的转角， 02。 r， , 叫点叫点M的的球面坐标。球面坐标。 P x y z o ),(zyxM r z y x A .cos ,sinsin ,cossin rz ry rx （2）球面坐标与直角坐标的关）球面坐标与直角坐标的关 系为系为 22 为常数为常数r 为常数为常数 为常数为常数 （3） 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为 圆锥面；圆锥面； 球球 面；面； 半平面半平面 2球面坐标下三重积分的形式球面坐标下三重积分的形式 （1）球面坐标下的体积元素）球面坐标下的体积元素 d r x y z o

16、 dr dsinr rd d d sinr ,sin 2 ddrdrdv 23 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf （2）三重积分的球面坐标形式）三重积分的球面坐标形式 （3）计算方法：计算一般是化为先）计算方法：计算一般是化为先r，再再 ，最，最 后后的三次积分的三次积分 24 为为：积积分分，其其中中 化化为为球球面面坐坐标标下下的的三三次次将将例例 dVzyxf),(1 20 , 2 0 cos20 : Rr x y z 2R o R 2222 )(:)1(RRzyx dVzyxf),( cos2 0 2 2 0 2 0 s

17、in),( R drrrFdd 25 x y z o 20 4 0 0 : Rr dVzyxf),( R drrrFdd 0 2 4 0 2 0 sin),( 222 )2(yxRz 所所围围与与 22 yxz 26 注注以下区域时用球面坐标以下区域时用球面坐标 2222 :)1Rzyx R fdrrdd 0 2 0 2 0 sin fdxdydz 0,:)2 2222 zRzyx R fdrrdd 0 2 2 0 2 0 sin fdxdydz 222 :)3yxRz 所所围围与与 22 yxz R fdrrdd 0 2 4 0 2 0 sin fdxdydz 27 2222 )(:)4RR

18、zyx 所所围围与与 22222 2:)5yxzRzzyx Azyxa 222 0:)6 fdxdydz cos2 0 2 2 0 2 0 sin R fdrrdd fdxdydz cos2 0 2 4 0 2 0 sin R fdrrdd A a fdrrdd 2 0 2 0 sin fdxdydz 28 ,)(2 222 dxdydzzyx计计算算例例 dxdydzzyx)( 222 解解 5 4 drrrdd 2 1 0 2 0 2 0 sin 1: 222 zyx 29 dvzyx 222 cos 2 2 2 00 0 sinddr rdr 2 0 4 4 cos sin2 d zzy

19、xdvzyx 222222 :,3例例 :0cos ,0,02 2 r 解解 x y z 1 o 10 30 zdv计算计算例例 . 4 22222 , 1:yxzzyx 8 cossin 1 0 2 4 0 2 0 drrrddzdv解解： （2 2）被积函数形如）被积函数形如 f(x2+y2+z2) f(z),为球形域，为球形域， 球面与圆锥面所围时，用球面坐标计算。球面与圆锥面所围时，用球面坐标计算。 （1 1）为旋转体或为旋转体或的边界面中含圆柱面、圆锥面、的边界面中含圆柱面、圆锥面、 球面时，或者投影区域为圆形域时，被积函数形如球面时，或者投影区域为圆形域时，被积函数形如 一般用柱面

20、坐标。一般用柱面坐标。、)(),(arctan)( 22 zf x y fyxf 注：坐标系的选择注：坐标系的选择 31 IIIIII、重积分应用、重积分应用 通过三重积分可求空间区域通过三重积分可求空间区域 的体积，物体的质量的体积，物体的质量 通过二重积分可求曲顶柱体的体积、平面薄片的质通过二重积分可求曲顶柱体的体积、平面薄片的质 量、平面区域的面积量、平面区域的面积 D dyxfV ),( D dyxm ),( D dA 1. 空间区域空间区域 的体积的体积 , dxdydzV 如果如果 (x，y，z)表示某物体在点表示某物体在点(x，y，z)处的体密处的体密 度，度，是该物体所占的空间

21、闭区域，是该物体所占的空间闭区域， (x，y ， z)在在 上连续上连续. dvzyxM),( 2. 物体的质量物体的质量 32 一、空间曲面的面积一、空间曲面的面积 dxdyA xy D y z x z 22 )()(1 1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为在在 曲面面积公式为：曲面面积公式为： 33 cosar y x o 2 a a 1 ,4()AA 由由对对称称性性第第卦卦限限内内的的部部分分 222 yxa y z y 222 x x z axy 2222222 ,xyzazaxy又又 y a x o z D 解解 34 dz

22、zdA yx 22 1 dxdy yxa a 222 D dAA4 cos 022 2 0 4 a rdr ra a d 2 0 cos 0 22 )(4 draa a 。)1 2 (4 2 a D dxdy yxa a 222 4 cosar y x o 2 a a D y a x o z 35 例例2 平面平面x+2y+3z8=0被柱面被柱面 割割下下部部分分的的面面积积1 2 2 2 2 b y a x 1 (82 ) 3 zxy解解 dddA 3 14 9 4 9 1 1 xy D dA 3 14 12 , 33 zz xy 3 14 。ab 3 14 Dxy y xoa b o z

23、x y 36 二、质心二、质心 设有平面薄片，占有设有平面薄片，占有xoy平面上的闭区域平面上的闭区域D，点点 (x，y)处的面密度为处的面密度为(x，y)在在D上连续，求上连续，求 ),( _ yxG xx y y D d O , ),( ),( _ D D y dyx dyxx M M x D Dx dyx dyxy M M y ),( ),( _ 1 1、平面薄片的质心、平面薄片的质心 37 当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心. , 1 D xd A x . 1 D yd A y D dA 其中其中 设设 (x，y，z)表示某物体在点表示某物体在点(x，y，z)处的

24、体密度，处的体密度， 是该物体所占的空间闭区域，是该物体所占的空间闭区域， (x，y ， z)在在上上 连续，则连续，则空间立体的质心空间立体的质心 坐标为：坐标为： M dvzyxz z M dvzyxy y M dvzyxx x ),( , ),( , ),( 2 2、空间立体的质心、空间立体的质心 38 例例3 求位于两圆求位于两圆r =2sin和和r=4sin 之间的均匀薄片的质心之间的均匀薄片的质心(如如图图)。 D C 4 O 2解：因为闭区域解：因为闭区域D对称于对称于y轴，所以质心轴，所以质心 0),( _ xyyxG轴轴上上，所所以以必必位位于于 _ 1 yyd A y D 计计算算再再按按公公式式 A=3。再利用极坐标计算积分：再利用极坐标计算积分： DD drdryd sin 2 sin4 sin2 2 0 sindrr 0 4 sin 3 56 d 因此因此 , 3 7 3 7 _ y ). 3 7 ,0(G所求质心是所求质心是 2 0 4 sin2 3 56 d.7 22 1 4 3 2 3 56