全国文数第40课抛物线

1、第40课抛物线1. 抛物线的定义的应用（1）（2017全国n , 5分）已知F是抛物线C: y2= 8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN| =.答案：6解析：由抛物线 C: y2= 8x得p=4,抛物线的焦点 F的坐标为（2, 0）. v M是FN的2+ 0中点，点N在y轴上，根据中点坐标公式，得xM =厂=1又v M在抛物线上，线上，PF M = xm + =3, |FN|= 2 F M = 3.2（2）（2019汇编，10分）（1 ）如图40-2所示，设抛物线 y2= 4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A, B, C,其中点A, B在

2、抛物线上，点C在y轴上，则厶BCF与厶ACF的面积之比是（）（2015浙江）2a |BFL 1|AF| 1C|BF|+ 1C.|AF|+ 1（n ）已知点A（0, 2），抛物线C: y2= 2px（p0）的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点 M，与其准线相交于点N,若|MM|=55，则p的值等于（）（2018湖北调研）答案：(i)a (n)c解析：(I )由题意可知抛物线的准线方程为 x=- 1,如图所示，过A点作AAi丄y轴于点Ai,过B点作BBi丄y轴于点Bi，则Scf _ JBC|_ |BBi| |BF|-1SACF |AC|AAi|AF|- i.故选 A(n )如图，抛物线 C: y

3、2= 2px(p0)的焦点为F p 0 ,过M作准线的垂线，垂足为 K, 则|MK|-|FM|.又馬吾，所以協習，所以|KN： |MK 2 ： 所以直线FA的斜率是=2，解得p = 2.故选C.(3) (经典题，7分)已知抛物线的方程为 x2= 8y，F是焦点，点A(- 2，4)，在此抛物线上 求一点P，使|PF| + |PA啲值最小.答案:1解： (-2)2 |AQ| |AB|,当且仅当P, Q, A, B四点共线时，两处等号成立，所以此时|PF|+ |PA|取得最小值， 即 |AB| .（4 分）- A（ 2, 4）, 不妨设|PF|+ |PA|的值最小时，点P的坐标为（2, y。），代入

4、抛物线方程x2= 8y得y= 2.使|PF|+ |PA|的值最小的抛物线上的点2. 抛物线的标准方程与几何性质a. 已知抛物线的方程求焦点坐标和准线方程2（4）（经典题，5分）抛物线x= ay （a丰0）的焦点坐标为 ，准线方程为 答案:解析：抛物线x= ay2可化为 y2= ：x（a 丰 0） ，所以抛物线的焦点坐标为盘，0，准线方程为x=丄4a.b. 利用定义法求抛物线的标准方程（与抛物线有关的轨迹问题）（5）（2019银川模拟，5分）点P到（1, 0）的距离比其到直线 x+ 2= 0的距离少1,则点P的 轨迹方程为.答案：y2= 4x解析：由已知可得点 P 一定在x+ 2= 0的右侧，否

5、则P到(1, 0)点的距离一定大于到 x + 2 = 0的距离.由P到(1, 0)的距离比其到直线 x+ 2= 0的距离少1,可得P到(1 , 0)的距离 与其到X+ 1 = 0的距离相等，故点 P的轨迹是以(1 , 0)为焦点，X+ 1 = 0为准线的抛物线，其 方程为y2= 4x.变式思考(2019改编，5分)已知点P到F(4, 0)的距离与到直线x= 5的距离相等，则点 P的轨 迹方程为.答案：y2= 18x+ 9解析：设点 P(x, y),则由题意，得.(x 4) 2+ y2= |x+ 5|,化简整理得y2= 18x+ 9, 即点P的轨迹方程为y2= 18x+ 9.c. 利用待定系数法

6、求抛物线的标准方程(6) (2019汇编，10分)(I )顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P( 4, 2)的抛物线的标准方程是.(n )设抛物线y2= 2px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为n的直线I与抛物线相交于 A,B两点，若以AB为直径的圆过点 -2, 2，则该抛物线的方程为()(2018山东模拟)A .y2= 2x B. y2= 4xC.y2= 8x D . y2 = 16x答案：(I )y2= x 或 x2= 8y(n )B解析：(I )当对称轴为x轴时，设抛物线为 y2= mx(mz 0),代入点P( 4, 2)，解得m =1,则抛物线方程为y2= x;当对称轴为y轴时，设抛

7、物线为x2= ny(n丰0),代入点P( 4, 2),解得n= 8,则抛物线方程为 x2= 8y.综上，所求抛物线的标准方程是y2= x或 x2= 8y.(n )由题可知，抛物线y2= 2px(p0)的焦点为F号，0 ,准线方程为x=；因为直线I过点F且倾斜角为n4所以直线I的方程为y= x P.因为以AB为直径的圆过点 一2, 2，且以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，所以AB的中点的纵坐标为 2.设 A(xi, yi)，B(x2, y2),=P联立直线与抛物线的方程，得f = X 2，y=2px,消元得 y2 2py p2= 0.由根与系数的关系得 yi + y2= 2p,贝y AB中点的

8、纵坐标为 咛2=字=2,解得p= 2,所以该抛物线的方程为y2= 4x.故选B.d .抛物线对称性的应用1 2 1 2(7) (经典题，5分)已知抛物线y = 4x和y= 16x + 5所围成的封闭曲线如图 40 6所示， 给定点A(0, a)，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是()题可知，两抛物线的交点为（一4, 4）和（4 ,4）,封闭曲线的最高点和最低点分别为（0, 5）和（0, 0）若对称点在同一个抛物线上，则直线 y= a与抛物线y= 4乂2或丫=一 x2 + 5的两个交 点关于点A对称，显然这样的对称点有且只有一组.若对称点分属于两个抛

9、物线，设抛物1 2 1 2线 y= &x 上的点 B（xi, yi）（0xi4）与抛物线 y=+ 5 上的点 C（X2, y2）（ 4v X2 0）关于点A对称，封闭曲线关于 y轴对称，.抛物线x2 + 5上的点C X2 , y2)关于点A对称，X1 + X2 = 0,1 2 1 211 2 1 2二利77( *) + 5= 2a,护律2+ 5 = 2a,416D.1 1 y = 4X上的点B % , %)与抛物线y=花只需考虑 B , C关于点 A对称，则即 a =务2 + f(0 X1 |AF| 1 = . 82+( 7 1) 2 1 =10 1 = 9，当且仅当点P在线段AF上时，等号成

10、立，则|PA|+ |PQ|的最小值为9故选C.r=-i3. (经典题，5分)过点F(0, 3)，且和直线y+ 3 = 0相切的动圆圆心轨迹方程是()A . y2= 12x B . y2=- 12xC. x2=- 12y D. x2= 12y答案：D解析：由已知条件知，动圆圆心到点F和到直线y+ 3=0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F(0, 3)为焦点，直线y=- 3为准线的抛物线，故其方程为x2= 12y,故选D.4. (2018江西模拟，6分)满足焦点在x 2y-4 = 0上的抛物线的标准方程为 ,对应的准线方程为.答案：y2= 16x 或 x2= 8yx= 4 或 y= 2解析：由于抛

11、物线为标准型，故焦点必为x 2y 4= 0与坐标轴的交点，易知x 2y 4=0与坐标轴的交点为(0, 2)或(4, 0).当焦点为(4, 0)时，号=4, p= 8，此时抛物线的标 准方程为y2= 16x，准线为x = 4;当焦点为(0, 2)时，2= 2, p = 4，此时抛物线的标准方 程为x2= 8y,准线为y= 2.5. (经典题，5分)设抛物线y2= mx(mz 0)的准线与直线x= 1的距离为3，则抛物线的方 程为.答案：y2= 8x 或 y2= 16x解析：依题意得准线方程为x= 4或x=- 2, mm = 4或2,解得16或8,二抛物线的方程为y2= 16x或y2 = 8x.6

12、. (2018安徽模拟，5分)如图40 7所示，已知直线与抛物线x2= 2py(p0)交于A, B两点，且 0A丄OB, OD丄AB于点D，点D的坐标为(2, 4)，贝U p的值为()A . 2B. 4C.3D.5答案：D解析：设点 A的坐标为(xi, yi),点B的坐标为(X2, y2),则oa= (xi, yi), ob = (x2, y2).由 OA丄OB，得OA OB= 0，即 X1X2+ yiy2= 0.因为A, B两点在抛物线上，所以xj= 2pyi, x2= 2py2，所以(xix2)2 = 4p2yiy2，所以xix2+ 4p2= 0.由 D(2, 4)，得 koD = 2,i

13、由OD丄AB,可得直线 AB的斜率为一又直线AB过点D(2, 4),所以直线AB的方程为y= ；x+ 5.联立直线AB与抛物线的方程，得 1y=- 2乂+ 5,2lx = 2py,消去 y 可得 x2 + px- 10p= 0，贝U Xix2= 10p,5代入xix2 + 4p = 0,可得p= 0(舍去)或p= 2.故选D.3. 直线与抛物线位置关系的相关问题a. 直线与抛物线相交的焦点弦相关问题（8）（经典题，5分）设F为抛物线C: y2 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A, B两点，O为坐标原点，则 OAB的面积为（）bD.9c 63C.62答案：D解析：抛物线 C： y2

14、= 3x的焦点为F4 0,直线ab的方程为（法一）联立直线AB与抛物线的方程,得y子y2= 3x,3 )4，消元得 x2 21 x +29=0.16“ 21 设 A(X1, %), B(X2, y2),贝 U X1+ X2=5，21由抛物线的定义，可得|AB|= x1 + x2+ p=三+32 = 12.点O到直线AB的距离d =_343 1;, OAB 的面积为 SaOab = ；82|AB|d = J X 12X 3= 4.（法二）联立直线AB与抛物线的方程,得y=于x4，消元得 4y2 12 3y 9 = 0. y2= 3x,设 A(xi, yi), B(x2, y2)，贝U yi+ y

15、2= 3 3, yiy2= 1 i 32 3 9二oab=JOFIIyi y2|=x4X(yi+ y2)2 4yiy2=27 + 9=4.（法三）依题知AB的倾斜角a= 30 |AB|=2psin a3 =i2,ii 3i 9二 S OAB = 2|OF|AB|si n = 2X 4 故选D.（9）（2019改编，12分）已知抛物线C的方程：x2= 2py（p0），设AB是过抛物线焦点 F的 弦，A（Xi, yi）, B（x2, 丫2）.（I ）证明：xix2 , yiy2为定值，并求出定值；1 1（n）证明：为定值，并求出此定值；|AF| |BF|（川）试判断以AB为直径的圆与准线的位置关系

16、并加以证明.答案：（I ）Xix2= p2, yiy2= p （n+ . J .=-（川）以AB为直径的圆与抛物线准线4|AF| |BF| p相切解：（I ）证明：当直线AB的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线AB的斜率存在时，y kx L设直线AB的方程为y= kx+ p，联立直线 AB与抛物线的方程，得 。一2消去y,整理2 L2= 2py,得 x2 2pkx p2 0,二 XiX2= p2, Xi + X2-2pk, （3 分）二 yk 鹽=埒二=4 % 分） （n ）证明：根据抛物线定义得|AF| = yi + P, |BF|=y2 + P （5分）丄+丄yi + 2 y2+ 22

17、(2y2 + P) + 2 (2yi+ p)4 (yi + 丫2)+ 4p(2yi+ p)( 2y2 + p)4yiy2+ 2p (yi + y2)+ p4 (yi +2+ p)4 (yi +2+ p)2p2 + 2p (yi+ y2)+ p2 2p ( yi+ y2+ p)p.(8 分)（川）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(9分)yo），如图所示.设点P到准线y p的距离为d，贝U d yo + p 也+产+号一r，即圆心到准线的距离等于半径r，故以AB为直径的圆与抛物线准线相切.（i2分）b. 直线与抛物线相交的弦长（非焦点弦）问题（iO）（经典题，i2分）设点P（x, y）（y0）

18、为平面直角坐标系 xOy内的一个动点（其中0为坐 标原点），点P到定点M 0, 2的距离比点P到x轴的距离大2（I ）求点P的轨迹方程；（n ）若直线I: y kx+ i与点P的轨迹相交于 A ,B两点，且|AB| 2.6,求实数k的值.答案：（I ）x2 2y （n ）k 解：（I ）设点P（x, y），过点P作x轴的垂线且垂足为点 N，则|PN| y,由题意知|PM |PN|= 1， x2+ y- 2 2= y +(3 分)化简得x2= 2y.故点P的轨迹方程为x2= 2y.(5分)(n )由题意设A(xi, yi) , B(X2, y2),联立直线与点P的轨迹方程，得y= kx+ 1,x

19、2= 2y,消去y,化简得x 2kx 2= 0,- Xi + X2= 2k, xix2= 2.(8 分)|AB|=、1 + k2 ( xi+ X2) 2 4xix2=“.J1 + k2 . 4k2+ 8 = 2 6, k4 + 3k2 4 = 0, (ii 分)又 k20,二 k2= i,解得 k =i.(i2 分)c. 直线与抛物线相交的中点弦问题(ii) (20i5四川，5分)设直线I与抛物线y2= 4x相交于A, B两点，与圆(x 5)2 + y2 = r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线I恰有4条，贝U r的取值范围是()A . (i , 3) B .(i ,4)

20、C . (2, 3) D .(2,4)答案：DXi + x2= 2x0, 解析：设 A(xi, yi), B(x2, y2), M(xo, y),则fnyi+ y2= 2yo.y2 = 4xi,(i )当直线I的斜率存在时，设斜率为k,由f 2 Iy2 = 4x2,两式相减整理得 k=-yo直线与圆相切,x0= 3.即点M为直线x= 3与圆N : (x 5)2+ y2= r2的公共点.易知直线x= 3与抛物线相交于 P(3, 2 3), Q(3, 2 3),显然|PN|= |QN|= 4，如图所示.若2r4或r 5,贝U存在1个符合题意的点 M(5+ r, 0),即存在1条符合题意的切线I:

21、x= 5+ r;若0r5，则存在2个符合题意的点 M(5 士, 0)，即存在2条符合题意的切线I: x = 5.综上所述，若存在 4条符合题意的直线，则2r 0).(I )若直线I过抛物线C的焦点，求抛物线 C的方程；(n)已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点 p和Q.(i )求证：线段PQ的中点坐标为(2 p, - p);(ii)求p的取值范围.答案：(I )y2= 8x (n )(i )见证明过程(i)0, 4解：(I )抛物线C: y2= 2px(p0)的焦点为2，0 ,由点2, 0在直线I: x y 2 = 0上， 得p 0 2= 0,即即 p= 4. A抛物线C的方程为y2=

22、8x.(3分)(n)证明：设p(xi, yi), Q(x2, y2),线段PQ的中点m(x, y。)，：点p和Q关于直线I 对称，直线I垂直平分线段PQ,.直线PQ的斜率为1，则可设其方程为 y= x+ b.y2= 2px,(i )证明：联立直线 PQ与抛物线的方程，得ly= x+ b,消去 x 得 y2 + 2py 2pb= 0./ P和Q是抛物线C上相异的两点，- yi 工 y2,从而 = (2p)2 4( 2pb) 0, yi + y2= 2p, yiy2= 2pb, y=y 2 y2 = p.(6 分)T M(x0, y)在直线 I 上， xo= 2 p.线段PQ的中点坐标为(2 p,

23、 p). (7分)(ii) T M (2 p, p)在直线 y= x+ b 上， p=- (2- p) + b,即即 b= 2-2p.(9 分)由(i )知= (2p)2-4(-2pb)0，化简得 p+ 2b0.4于是 p+ 2(2-2p) 0，解得 pv4,3 p的取值范围为0,3 .(io 分)e.直线与抛物线的位置关系的综合应用(13) (2018湖北模拟，8分)已知直线I与抛物线y2= 2x只有一个公共点，求过定点P(- 1,1)的直线I的方程.答案：y= 1 或(.3 1)x - 2y+ . 3 + 1 = 0 或(1 + ,3)x+ 2y+ . 3 - 1 = 0解：当直线I的斜率

24、不存在时，显然不满足题意.当直线I的斜率为0时，此时直线I的方程为y= 1，与抛物线只有一个公共点，符合题意；(2分)当直线I的斜率存在且不为 0时，设直线 I的方程为 y 1 = k(x+ 1)(kz 0)，由y= k (x+ 1) + 1,y2= 2x,消去 x, 得 ky2- 2y+ 2k+ 2= 0.(5 分)亠、-13抛物线与直线只有一个公共点，= 44k(2k+ 2) = 0，解得k=2.故所求直线I 的方程为(3- 1)x-2y+ , 3+ 1 = 0 或(1 + . 3)x + 2y+ , 3- 1 = 0.综上所述，所求直线I的方程为y= 1或(：3 1)x 2y+ #3 +

25、 1 = 0或(1 + J3)x + 2y+、31 = 0.(8 分)(14) (经典题，5分)已知抛物线y=- x2,则该抛物线上的点到直线4x+ 3y- 8= 0的最小距离为.4答案：4解析：（法一）设A（t,|4t 3t2 8| _ |3t2 4t + 8|5=5t )为抛物线上的点，则点A至煩线4x + 3y 8 = 0的距离d =3（t十2033= （t-）2532 4所以当t= 3时，d取最小值4.3 3(法二)如图，设与直线4x+ 3y 8= 0平行的抛物线的切线方程为4x+ 3y+ m = 0(m 8),0,即 t 1,所以 X1 + X2= 4, X1X2= 4t.(7 分)

26、、 f m2、X2、，11设Mm, , mz X1, mz x?,再由y = ”的导数为y=尹，可得M处切线的斜率为m,1由C在M处的切线与直线 AB平行，可得？m= 1,解得m = 2,即卩M(2, 1). (9分)由 AM 丄 BM 可得，kAM kBM = 1,2 2X11 X2144即 一2 X一2 = 1 , (11 分)X1 2 X2 2即 X1X2 + 2(X1 + X2)+ 20= 0，即一4t + 8 + 20= 0,解得 t= 7,则直线 AB 的方程为 y= x+7. (12 分)(16)(2017 北京,14分）已知抛物线C : y2= 2px(p0)过点P(1 , 1

27、) 过点0, 2作直线|与抛物线C交于不同的两点 M , N，过点M作x轴的垂线分别与直线 OP , ON交于点A, B, 其中O为原点.（I ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（n）求证：A为线段BM的中点.答案：（I）抛物线C的方程为y2= x,焦点坐标为 4, 0 ,准线方程为x= 1 （n ）见证 明过程解：（I ）把 P（1, 1）代入抛物线C的方程y2 = 2px,得p = 2，抛物线C的方程为y2= x, （3分）其焦点坐标为4，0，准线方程为x= ；（5分）（n）证明：（法一） BM丄X轴，.可设 M（x1,y”（x1z0）, N（X2, y2）, A（x1, yA

28、）, B（x1 , yB）.根 据题意可知，若要证A为BM的中点，只需证2yA= yB + y1即可，左右同除以X1 ,得2业=也+X1 X1y，即只需证明2kA= koB + koM成立，（8分）其中kA= kp= 1, kB= kN，当直线MN的斜率X1MN的斜率存在且不为零.JC不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点，.直线1 y= kx+1,设直线MN的方程为y= kx+f(kM 0)，联立直线 MN与抛物线的方程，得$2消2 2Ly = x,元得k2x2 + (k 1)x+1 = 0由题可知直线与抛物线有两交点， = (k 1)2 4x1 k2= 1 2k0,441i 一 ki

29、解得kv刁且kz 0由韦达定理可知 xi+ X2= 厂 ，xix2 = 4k2.(10分),1kx2 + 2 koB + koM = koN + koM = y + y =+x2 X1x2,1kx1+ 2=2k+X1X1 + X22X1X2,（12 分）1 kX1 + Xok将代入上式，有2k+ 2= 2k+- = 2k+ 2（1 k） = 2,2X1X21即 koN + koM = koB + koM = 2= 2koA, 2yA=b+ y1恒成立， A为线段BM的中点.（14分）(法二)当直线MN的斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点，不满足题意，直线MN的斜率存在且不为零.设

30、点Q为0, 丁，过Q的直线MN的方程为y= kx+ * （k 工 0）,设 M（X1, y”，N（X2, y2）,显然，X1, X2 均不为零.=X,联立直线MN与抛物线的方程,得1y= kx+2,11消去x得，/ -；y+云=0由题意知由题可得点A,B的横坐标相等且同为 xi,且直线ON的方程为y=x,B在直线ON上又 X2A在直线OP: y= x上，二 A(xi, Xi), B xi, 誉.(10 分)2若要证明A为BM中点，只需证2yA= yB+ y1，即证x+ y1= 2x1，即证刃+ y1= 2y1, x2y21即证1 +丄=2,而1 + 1 =心=2恒成立，y1 y2y1 y yy

31、 丄2k二2yA = Yb+ y1恒成立，故A为线段BM的中点.(14分)4.抛物线与圆的综合问题(17)(2015浙江，15分)如图40- 12所示，已知抛物线 C1： y =寸x2,圆C2： x2+ (y 1)2=1，过点P(t, 0)(t0)作不过原点O的直线PA, PB,分别与抛物线 C1和圆C2相切，A, B 为切点.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物 线相切，称该公共点为切点.(I )求点A, B的坐标;(n)求厶pab的面积.答案:(I )A(2t, t2), B2o2t 2tt3irt2，(n)2解：(I )由题意可知，直线 PA的斜率

32、存在且不为 0，故可设直线 PA的方程为y= k(xt)W 0).y= k ( X t ),联立直线PA与抛物线的方程，得 1 2消去y,整理得x2 4kx+ 4kt = 0.(4分)y= 4X，因为直线PA与抛物线相切，所以= 16k2 16kt= 0,解得k = t或k= 0(舍去)，所以方程的解为x= 2t,即点A(2t, t2). (6分)设圆C2的圆心为D(0, 1)，点B的坐标为(X0, y).由题意知，点1B , O关于直线 PD对称，直线 PD的方程为 y = ；x+ 1，故有y0= x0+ 12 2tr ，织-1.t X0解得x0 = f?，壽，即点B * .(9分)(n)由

33、(I)知,|ap| = t ,1 +12, (11 分)直线AP的方程为tx y t2 = 0,所以点B到直线PA的距离为d=_t2_.1 +12(13 分)所以 PAB的面积为A 2|ap| d=2.(15 分)(18)(2018全国n , 12分)设抛物线C: y2= 4x的焦点为F，过F且斜率为k(k 0)的直线I与C交于A, B两点，|AB|= 8.(I )求l的方程；(n )求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.(18)答案：(I )y= x 1( n )(x 3)2+ (y 2)2= 16 或(x11)2+ (y+ 6)2= 144解：(I )由题意，F的坐标为(1 , 0),

34、所以直线I的方程为y= k(x 1). (1分)设 A(X1, %) , B(X2, y2),y= k (x 1 ),如 2 222由 2得 k2x2 (2k2+ 4)x+ k2 = 0.y = 4x，4易知 A0，所以 X+ X2= 2+ 了 X1X2= 1.(2 分)4所以 |AB|= X1 + 1 + X2 + 1 = X1 + X2 + 2= 2 + 只 + 2= 8, 所以k2= 1.又因为k0,所以k= 1,所以I的方程为y= x1.(5分)(n )设所求圆的圆心为 P, AB的中点为T,4因为 k= 1,所以 X1 + X2= 2 + 2 = 6,k所以 y1 + y2= (X1

35、 1) + (X2 1) = X1 + X2 2 = 4,所以T的坐标为(3, 2).由题意，抛物线的准线方程为x= 1.(6分)若P与T重合，则AB为圆的直径，圆的半径为譽=4,此时圆心到准线的距离为3 ( 1) = 4,等于半径,满足圆与准线相切，符合题意.此时圆的方程为(x 3)2 + (y 2)2= 16.(8分)若P不与T重合.因为O P经过A, B，所以PT垂直平分线段 AB,所以直线PT的斜率为一1.又因为直线PT经过T点，所以直线PT的方程为y= x+ 5, （9分）所以可设P点坐标为（m, 5 m）,其中m 3且m 1. 因为圆与准线相切，所以圆的半径等于圆心到准线的距离，所

36、以圆的半径为 m+ 1.所以 |FA|2 = (m+ 1)即(m+ 1)2= 16 + (m 3)2+ (5 m 2)2,即(m+ 1)2= 16 + 2(m 3)2，整理得 m2 14m+ 33= 0,解得m= 3(舍去)或m= 11, (11分)所以F点坐标为(11, 6)，圆的半径为 m+ 1 = 12,所以圆的方程为(x 11)2+ (y+ 6)2 = 144.综上，圆的方程为(x 3)2+ (y 2)2= 16 或(x 11)2+ (y+ 6)2= 144.(12 分)随堂普查练40 n1 .（经典题，8分）抛物线的顶点在原点，以 x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135 的 直线，被

37、抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线方程.y2= 2px（p0），则直线方程为答案： y（2018湖北调研，5分）已知抛物线E: y2= 2px（p0）的焦点为F，过点F的直线I与抛 物线E交于A, B两点，且直线I与圆x2 px+ y2 希2= 0交于C, D两点.若|AB|= 2|CD|, 则直线I的斜率为（）土B.23C.1D. 土. 2答案：C= 4x 或 y2= 4x解：如图所示，当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为1y= x+ 2p.设直线交抛物线于 A（Xi, %）, B（X2, y2），过A, B分别作准线的垂线，垂足为 C, D，则 由抛物线定义得 |AB|= |AF|+ |

38、FB|= |AC|+ |BD|= X1 + 号+ X2 + p，即 Xi + 号+ X2 + 2 = 8.（4 分）又A（xi, yi）, B（X2, y2）是直线和抛物线的交点，由y=X + 十消去 y 得 X2 3px+=0,y2= 2px,所以Xi + X2= 3p.（6分）将其代入，得p= 2,所以所求的抛物线的方程为y2= 4x.（7分）当抛物线开口向左时，同理可求得抛物线方程为y2= 4x.综上，抛物线方程为y2 = 4x 或 y2 = 4x.（8 分）X ty | = ty+ p，联立直线l与抛物线E的方程，得2，2 2$ 2px,消去 x 得 y2- 2pty - p2 0，所

39、以 yi + y2 2pt, yiy2 p2,则 |AB| 1 + t2|yi- y2| (1 + t2) (yi+ y2)2-4yiy2 (1 + t2)( 4p2t2+ 4p2)2p(1 + t2) 4p，即1 + t2 2,即t 1，所以直线I的斜率为故选C.3. （经典题，12分）如图40- 13所示，在平面直角坐标系 xOy中，过y轴正方向上一点C（0, c）任作一直线，与抛物线y x2相交于A, B两点一条垂直于 x轴的直线，分别与线段AB和直线I: y c交于点P，Q.(I )若OA OB 2，求 c 的值;（II）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（川）试问（I

40、 ）的逆命题是否成立？说明理由.答案：（I ）c 2 （I ）见证明过程（川）成立，理由见解答过程解：（I ）设直线AB的方程为y kx+ c，联立直线AB与抛物线的方程，得*y kx+ c，2y x，消元得 x2- kx- c 0.(2 分)设 A（a, a2）, B（b, b2）（a b, ab 0），则 ab= c.因为 OA OB= ab+ a2b2= c+ c2= 2,解得c= 2或c= 1(舍去),所以c= 2.（4分）(n)证明：由题意知Q所以直线AQ的斜率为kAQ =a2 + ca+ ba2a2 aba b=2a.（6又y= x2的导函数为y= 2x,所以抛物线在点 A处切线的

41、斜率为 2a，因此AQ为该抛物 线的切线.(8分)(川)(n )的逆命题为：若 QA为抛物线y= x2的切线，则P为线段AB的中点，该命题成立.理由如下：设 Q(xo, c).若直线AQ为该抛物线的切线，则 kAQ = 2a.又直线AQ的斜率为 kAQ =a2 + c a xo上兰，所以a xoa2 ab=2a,化简得 2ax0= a2 + ab.（10 分）因为 a* 0,所以 x0= a xo故点P的横坐标为即P点是线段AB的中点.（12 分）4. (2016浙江，15分)如图40 14所示，设抛物线 y2 = 2px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF| 1.图 40

42、 14（I ）求p的值；(n )若直线AF交抛物线于另一点 B,过B与x轴平行的直线和过 F与AB垂直的直线交于点N, AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.答案：(I )2(II )( g, 0)U (2,+s )解：(I )由题意可得抛物线上点 A到焦点F的距离等于点 A到直线x= 1的距离，所以 根据抛物线的定义得2 = 1，解得p= 2.(4分)(I) 由 ( I )得抛物线的方程为 y2= 4x, F(1 , 0)，可设A(t2, 2t),当AF的斜率为0时，t= 0，此时AF与抛物线只有一个交点，不合题意.当AF的斜率不存在时，t = 1，此时点N不存在，不合题意，所以0,

43、t1.(6分)因为AF不垂直于y轴，所以可设直线 AF的方程为x= sy+ 1(s0)，联立直线 AF与抛-2 .(8 分)y=-竽y2= 4x,c/1物线的方程，得消去 x 得 y2 4sy 4= 0，故 yA yB= 4,所以 B-2,x= sy+ 1,紋又直线AB的斜率为吕，故直线FN的斜率为,从而得直线FN的方程为t 12t(x 1)，直线BN的方程为y= f，所以N ， 2 .(11分)设 M (m,0)，由A, M , N三点共线，得 AM和AN共线，二2t t2t2+ 3 尸=2t +2t22m),解得 m =尸=口 , (14 分)因为 0,，所以 t2 1 ( 1, 0) U

44、 (0,+g )，所以 m ( g, 0) U (2,),经检验，mv 0或m2均满足题意.综上，点 M的横坐标的取值范围是( g, 0) U (2, + g). (15 分)5. (2018北京顺义一模改编，10分)已知抛物线C: y2= 4x的焦点为F.若过点N( 1 , 0) 的直线I与C相交于P, Q两点，点P关于x轴的对称点为S.求证：S, F, Q三点共线.答案：见证明过程证明：易知F(1 , 0).(法一)根据题意可设直线I的方程为y= k(x+ 1)(kz 0),联立直线I与抛物线C的方程，得y= k(乂+ 1),ly = 4x,消去 y 得 k(xi i )( x2 i)2k

45、 (xiX2 i)小(Xi i)( X2 i)0，即kFQ = kFs,s, F, Q三点共线.(i0分)(法二)同法一知XiX2= i , (3分) 2 则电*= I,易知yiy20 ,x2+ (2k2- 4)x+ k2= 0,则= (2k2-4)2-4k 4所以 yiy2= 4.(4 分)0,解得 k20). x= my- 1,2由 S 2得 y 4my+ 4 = 0. = 2px(p0),圆的半径为r, AB, DE交x轴于H , F点， 则|AH|= 2. 2,即A点纵坐标为2,2则A点横坐标为y = 4x,，即|OH| =4,由勾股定理知|DF f+ |OF|2 p p=|DO |2

46、= r2, |AH|2 + |OH|2=|AO|2=r2，即(5)2+ p 2= (2 2)2 + p 2，解得 p = 4，即 C 的焦 点到准线的距离为 4故选B.7. (2018广东广州调研，12分)已知抛物线 C: y2= 2px(p0)的焦点为F，抛物线C上存 在一点E(2, t)到焦点F的距离等于3.(I )求抛物线C的方程；(n )过点K(- 1 , 0)的直线l与抛物线C相交于A, B两点(A, B两点在x轴上方)，点A 关于x轴的对称点为 D,且FAX FB，求 ABD的外接圆的方程.由= （4m）2 160，解得 m1.（5 分） 设 A（x1 , y1）, B（X2 , y2）, D（xi，一 yl）, 则 y1 + y2= 4m, y