专题03 一元二次方程的应用(知识点串讲)(解析版)

1、 专题 03 一元二次方程的应用知识网络重难突破知识点一 一元二次方程的解题步骤列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。知识点二 传播问题【解题关键】明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数典例 1 一次会议上，每两个

2、参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了45 次手，如果这次会议到会的人数为 x 人，根据题意可列方程为（ ）( )-1 = 452d x xax（x+1）=45【答案】dbx（x-1）=45c2x（x+1）=45【详解】设这次会议到会的人数为 x 人，则每人将与（x-1）人握手，依题意，得：1x（x-1）=45，21 即 x（x-1）=452故选：d典例 2 在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90 张，则参加活动的有（）人a9b10c12d15【答案】b【详解】解：设参加此次活动的人数有 x 人，由题意得：x（x1）90，解得：x 10，x 9（不合题意，舍去）12即参加

3、此次活动的人数是 10 人故选：b典例 3 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36 人会做这个实验；若设 1 人每次都能教会 x 名同学，则可列方程为(ax+(x+1)x36)b1+x+(1+x)x36c1+x+x 36dx+(x+1) 3622【答案】b【详解】设 1 人每次都能教会 x 名同学，根据题意得：1+x+(x+1)x36故选：b知识点三 增长率问题【解题关键】用含未知数的数据将题干中每年情况的数据表示出来，列出等量关系。典例 1 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润

4、10 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利 42 万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同设二、三月份利润的月增长率x，那么 x 满足的方程为（）a10（1+x） 422b10+10（1+x） 422c10+10（1+x）+10（1+2x）42d10+10（1+x）+10（1+x） 4222 【答案】d【详解】设二、三月份利润的月增长率x，则二月份获得利润 10（1+x）万元，三月份获得利润10（1+x）2万元，依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）242故选 d典例 2 某县从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该县 2017 年“竹文化”旅游收入约

5、为 2 亿元预计 2019 年“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该县 2018 年，2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（a 2%）20%4.4%bcd44%【答案】b解：设该市 2018 年、2019 年旅游收入的年平均增长率为 x，依题意，得：2（1+x）2=2.88，解得：x =0.2=20%，x =-2.2（不合题意，舍去）12故选 b典例 3 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了 21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是x ，则列出关于 x 的一元二次方程为（ ）a 2 =1+ 21%bd(1- x) = 21%x2(

6、1+ x) = 21%(1+ x) =1+ 21%c22【答案】d【详解】设绿地面积为 a，这两年平均每年绿地面积的增长率是 x，根据题意列方程得：a（1+x） =（1+21%）a，即（1+x） =1+21%22故选 d知识点四 几何问题【解题关键】根据已知所学内容，将其用含未知数的形式表现出来。典例 1 （2019河南初三期中）如图，某小区有一长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为 60 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为（ ）米3 a2b1c8 或 1d8【答案】b【详解】解：设人行道的宽度为 x 米，则两块

7、矩形绿地可合成长为（18-3x）米、宽为（6-2x）米的矩形，根据题意得：（18-3x）（6-2x）=60，整理得：x2-9x+8=0，解得：x =1，x =81286，x =8 舍去2故选：b典例 2 在一幅长80cm 、宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图，如果要使整个x cm挂图的面积是5400cm ，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（）2a +130 -1400 = 0b -130 -1400 = 0x2xx2xc + 65 - 350 = 0d - 65 - 350 = 0x2xx2x【答案】c【详解】设金色纸边的宽为x cm，则矩形挂图的长为（80+2x）

8、cm,宽为（50+2x）cm,依题意得（80+2x）（50+2x）=5400，化简为 x + 65x - 350 = 02故选 c.典例 3 芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为10cm的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为2000cm ，根据图中信息，可得x 的值为（）2a10b20c25d30【答案】b4 【详解】依题意得到补全后的矩形长为 x+30，宽为 x+20,故(x+30)( x+20)=2000,解得 x1=20,x2=-70(舍去)故选 b.巩固训练一、单选题（共 10 小题）1（2017 春 卫辉市期中）今年“国庆节”和“

9、中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90 个红包，则该群一共有()a9 人b10 人c11 人d12 人【答案】b【解析】试题解析：设这个 qq 群共有 x 人，依题意有 x（x-1）=90，解得：x=-9（舍去）或 x=10，这个 qq 群共有 10 人故选 b.2（2018 春 季店乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55 次，则参加酒会的人数为（ ）a9 人b10 人c11 人d12 人【答案】c【详解】设参加酒会的人数为 x 人，依题可得：5 12x（x-1）=

10、55，化简得：x2-x-110=0，解得：x =11，x =-10（舍去），12故答案为：c.3（2018 春 永登县期末）某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 182 万个若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为 x，则下面所列方程正确的是（ ）a50（1+x） 182b50+50（1+x） 18222c50+50（1+x）+50（1+2x）182【答案】dd50+50（1+x）+50（1+x） 1822【详解】依题意得五、六月份的产量为 50(1+x)、50(1+x)2，50+50(1+x)+50(1+x)2=182.故答案选 d.4（2018 春 富顺县期中）我市某楼

11、盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.a8%b9%c10%d11%【答案】c【解析】分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可详解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得6000（1-x） =4860，2解得：x =0.1，x =1.9（舍去）12答：平均每次下调的百分率为 10%故选：c【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，

12、降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键5（2019 春 贵阳市期末）祁中初三 66 班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了 930 份留言如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为（）6 a=930b=930cx（x+1）=930dx（x1）=930【答案】d【解析】分析：可设全班有 x 名同学,则每人写(x-1)份留言,共写 x(x-1)份留言,进而可列出方程即可.详解：设全班有 x 名同学，则每人写（x1）份留言，根据题意得：x（x1）=930，故选：d【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象

13、出一元二次方程,其中 x(x-1)不能和握手问题那样除以 2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.6（2019 春 浦东新区期中）微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016 年“元旦节”收到微信红包为 300 元，2018 年为 675 元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为()a300(1+2x)675b300(1+x )6752c300(1+x) 675d300+x 67522【答案】c【详解】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，由题意得：300(1+x) 675，2故选 c【名师点睛】本题考查了一元

14、二次方程的应用增长率问题，正确理解题意，表示出2017、2018 年微信收到的红包是解题的关键.7（2019 春 河东区期中）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（）a10646x=32c（10x）（6x）=32【答案】bb（102x）（62x）=32d1064x =3227 【解析】分析：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据长方形的面积公式结合纸

15、盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解详解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据题意得：（102x）（62x）32故选：b【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键8（2018 春 天山师中考）从一块正方形的木板上锯掉 2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48 ，则原来这块木板的面积是（a100 ）b64 c121 d144 【答案】b【解析】设原来正方形木板的边长为 xm，从一块正方形木板上锯掉 2m 宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形

16、，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板的边长减去2m，根据剩下的长方形的面积是 48m2，列出方程：x（x2）=48，解得 x =8，x =6（不合题意，舍去）。12原来这块木板的面积是 88=64（m2）。故选 b。9（2018 春 驻马店期末）某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从 2017年起到 2019 年累计投入 4250 万元，已知2017 年投入 1500 万元，设投入经费的年平均增长率为 ，根据题x意，下列所列方程正确的是（）a1500（1+x） 42502b1500（1+2x）4250c1500+1500x+1500x 4

17、2502d1500（1+x）+1500（1+x） 425015002【答案】d【解析】解：设20172019 年投入经费的年平均增长率为 ，则 2018 年投入 1500（1+ ）万元，2019 年投xx入 1500（1+ ）2 万元，根据题意得 1500（1+ ）+1500（1+ ）2=42501500故选 dxxx名师点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法若设变化前的量为 ，变化后a8 的量为 ，平均变化率为 ，则经过两次变化后的数量关系为 （1 ）2= bxaxb10（2018 春 滁州市期末）如图，某小区有一块长为18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建

18、两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方程是()ax 9x80bx 9x8022cx 9x80d2x 9x8022【答案】c【解析】【详解】解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，（183x）（62x）=60，化简整理得，x29x+8=0故选 c二、填空题（共 5 小题）11（2019 春 莱西市期中）一个三角形的两边长分别为3 和 6，第三边长是方程x -10x+21=0 的根，则三角2形的周长为_.【答案】16【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进

19、而求其周长详解：解方程 x2-10x+21=0 得 x =3、x =7，123第三边的边长9，第三边的边长为 7这个三角形的周长是 3+6+7=16故答案为：16【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和12（2019 春 嘉定区）某商品的原价为 120 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_元（结果用含 m 的代数式表示）【答案】100（1m）29 【解析】分析：现在的价格=第一次降价后的价格（1-降价的百分率）详解：第一次降价后价格为 100（1-m）元，第二次降价是在第一次

20、降价后完成的，所以应为 100（1-m）（1-m）元，即 100（1-m）2 元故答案为：100（1-m）2【名师点睛】本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为 100 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m，那么该商品现在的价格是 100（1-m）213（2019 春 宁河县期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55 次，则参加酒会的人数为_.【答案】11【详解】解：设参加酒会的人数为 x 人，1根据题意得： x（x-1）=55，2整理，得：x2-x-110=0，解得：x =11，x =-10（不合题意，舍去）12答：参加

21、酒会的人数为 11 人故答案为：11.【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键14（2018 春 富顺县期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给_个人.【答案】7( )x +1 2 = 64【解析】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x 个人，则根据题意可知：或 x=-9(舍去)，故每轮传染中平均一个人传染给 7 个人，解得：x=715（2018 春 莱西市期末）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为 1200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多40 米设绿地宽为 x

22、米，根据题意，可列方程为_【答案】x（x+40）=1200【详解】由题意可得，x（x+40）=1200，故答案是：x（x+40）=120010 【名师点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程三、解答题（共 2 小题）16（2018 春 邵阳县期末）如图，a、b、c、d 为矩形的四个顶点，ab=16cm，ad=6cm，动点 p、q 分别从点 a、c 同时出发，点 p 以 3cm/s 的速度向点 b 移动，一直到达 b 为止，点 q 以 2cm/s 的速度向 d 移动（1）p、q 两点从出发开始到几秒时，四边形pbcq 的面积为 33cm2；（2）p、q 两点从出发开始到几秒时，点 p 和点 q 的距离是 10cm【答案】（1）x=5；（2）t=4.8 或 1.6【解析】解：（1）设 p、q 两点从出发开始到 x 秒时四边形 pbcq 的面积为 33