专题03 导数及其应用(选择题、填空题)三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编 (解析版)

1、 专题 03 导数及其应用（选择题、填空题）= ae + x ln x1【2019 年高考全国卷理数】已知曲线 y在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则ba=e，b=1d = e ，bx= e，b = -1a a= -1c = e ， =1aba-1-1【答案】d = e + ln +1,【解析】 y axx切线的斜率k = y | = e +1 = 2a， a = e，-1x=1(1,1)代入 y = 2x + b2 + b =1,b = -1.，得将故选 d【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 ， 的等式，从而求解，属a b于常考题型.(x) = x

2、 + (a -1)x + ax( ) = ( ).若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在2 【2018 年高考全国卷理数】设函数 f32(0,0)点处的切线方程为y = -xy = xy = -2xacbdy = 2x【答案】d【解析】因为函数所以是奇函数，所以，解得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选 d.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.= -

3、2ax( ) = ( + -1)e( )1 的极值点，则 f x 的极小值为3【2017 年高考全国卷理数】若 x是函数 f xx2x-1-2e-3ba1 c5ed1-3【答案】af (x) = (2x + a)e + (x + ax -1)e = x + (a + 2)x + a -1e【解析】由题可得x-12x-12x 1 ，-a = -1 f (x) (x x 1)e- -f (x) (x + x - 2)ef (-2) = 0=因为，所以，2x-1，故2x-1 ，x 1或 ，f (x) 0令，解得f (x) (-,-2),(1,+) 上单调递增，在(-2,1)在 上单调递减，所以所以f

4、 (x)f (1) = (1-1-1)e = -1.的极小值为1 1-故选 a【名师点睛】（1）可导函数 yf(x)在点 x 处取得极值的充要条件是 f (x )0，且在 x 左侧与右侧 f (x)000的符号不同；（2）若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值y = f (x)4【2017 年高考浙江】函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是【答案】d【解析】原函数先减再增，再减再增，且x = 0位于增区间内，因此选 dx0x【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数

5、图象与 轴的交点为 ，且图象在x0xx两侧附近连续分布于 轴上下方，则 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，0f (x)f (x)由导函数的正负，得出原函数的单调区间e - e- x( )f x =x5【2018 年高考全国卷理数】函数的图像大致为x22 【答案】be - e( )x 0, f -x =( ) ( )= - f x , f x为奇函数，舍去 a；-xx【解析】x2( )f 1 = e-e 1 0，舍去 d；-( ) ( )( ) ( )-xe + e x - e - e 2x- 2 e + x + 2 e( )f xx-x2x-xx( )x=, 2 0时， f

6、 x( )， f x 单调xx4x3递增，舍去 c.因此选 b.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.= -x + x + 2的图像大致为6【2018 年高考全国卷理数】函数 y423 【答案】d【解析】函数图象过定点(0, 2)，排除 a，b；y = f (x) = -x+ x+ 2f x( ) = -4 + 2 = -2 (2 -1)，xxx x令42，则3222( ) 0 2

7、(2 -1) 0由 f x 得 x x -0 2，得 x或x，此时函数单调递增，2222( ) 0-x ，此时函数单调递减，排除 c. 1.在 上恒成立，则a 的取值范围为r 0,10,2acbd 0,e 1,e【答案】c【解析】当 x=1时， f (1) =1- 2 + 2 =1 0a a恒成立；x2 0.max4 x当令x 1时， f (x) = x - a ln x 0，即a 恒成立，ln xln x -1(ln x)2xh(x) =h(x) =x e，则，ln xh(x) 0 ，函数h(x)单调递增，当当则时，0 x eh(x) 0 ，函数h(x)单调递减，时，x = eh(x)h(e

8、) = e，时，取得最小值，a h(x) = emin0,ea综上可知， 的取值范围是.故选 c.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.x, x 0a,b rf (x) =y = f (x) - ax - b若函数8【2019 年高考浙江】已知，函数11x - (a +1)x + ax, x 03232恰有 3 个零点，则aa1，b0ba0da1，b0ca1，b1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰

9、有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，5 在0，+）上有 2 个零点，如图：0 且，解得 b0，1a0，b（a+1）3，则 a1，b0.故选 c【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb 最多有一个零点；当x0 时，yf（x）axb x3 （a+1）x2b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解(x) = x - 2x + a(e + e )9【2017 年高考全国卷理数】已知函数 f有唯一零点，则 a=2x-1- x+1113-acb212d1【答案】c()1 ，(x)x -

10、 2x = -a e + e【解析】函数 f的零点满足 21x-x+1e ( ) -1( )设 g x( )2x-1= e +e- +1 ，则 g x= e - e= e -=x-1xx-1- x+1x-1，ex-1ex-1( ) = 0当 g x( ) 0时， g x ，函数 g x 单调递减；( )时， x=1；当 x 1时， g x 0，函数6 ( )( )g 1 = 2当 x=1时，函数 g x取得最小值，为.( )设 h x( )= x -2x取得最小值，为 ，x =1时，函数h x -12，当( )( )-a 0h x-ag x没有交点；若若即，函数与函数( ) ( )-ag 1

11、= h 1( ) ( )h x -ag x时，函数 和 有一个交点，-a 0)13【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系直线 x+ y = 0的距离的最小值是 中，p 是曲线 y上的一个动点，则点 p 到xoyx.【答案】444= x + (x 0)y =1-【解析】由 y，得，xx244(x , x + )-1设斜率为 的直线与曲线y x= + (x 0)切于，00x0x41- = -1= 2 x = - 2舍去），由得 x（x20002 + 3 24= x + (x 0) 上，点 p( 2,3 2)到直线 x y+ = 0的距离最小，最小值为曲线 y= 4 .x1 +1224故答案为 【

12、名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.( )= 2sin x +sin2 x14【2018 年高考全国卷理数】已知函数 f x( )，则 f x的最小值是_【答案】【解析】所以当，时函数单调递减，当时函数单调递增，52k - , 2k -( )k z从而得到函数的递减区间为，33( )k z，2k - ,2k +函数的递增区间为33= 2k - ,k z所以当 x此时时，函数，取得最小值，3所以，故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的8 函数的

13、求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系xoy 中，点 a 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 a 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 a 的坐标是 .【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.( )a x , yy = ln x .，则设点00001又 y =，x1y = x当 x时，0x01= ln xy- y = (x - x )则曲线 y在点 处

14、的切线为a，0x00xy - ln x = -1即，0x0-e( )-e,-1-1- ln =x-1将点代入，得，0x0ln x = e即 x，00( )考察函数 h x= xln x，( ) ( )( ) ( )h x 0x 0,1h x 0,h x当 x注意到1时，h x单调递增，( )h e = e，ln x = ex = e0故 x存在唯一的实数根，00此时 y=1，0( )e,1故点 的坐标为a.9 【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线

15、不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点( )= e + ae16【2019 年高考北京理数】设函数 f x- （a 为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；xx若 （ ）是 上的增函数，则 的取值范围是_f xra( -1 -,0【答案】( ) 0【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用 f x可得 的取a值范围.( )( )( ) ( )-x = - f x , e + ae = - e + aef x = e + ae若函数x-x 为奇函数，则f即 - ，xxxx( )( )+1 e + e = 0即 a对任意的

16、 x 恒成立，x-x则 a+1= 0，得 a = -1.( )f x = e + aex- x( ) = e - e 0在 r 上恒成立，若函数x-x 是 r 上的增函数，则 f xa e即 a在 r 上恒成立，2x 0，e 02x又，则 a( -,0即实数 a 的取值范围是.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性单调性利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识基础知识基本运算能力的考查.17【2018 年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】3( )a = 6 - 2 = 0= 0或 x2=【解析】由 f xxa

17、x得 x，3( ) ( )( )f 0 =1，所以 aa0,+ 0, f= 0，因为函数 f x 在上有且仅有一个零点且 33 3 2aa2- a+1= 0,解得a= 3.因此 3 3 10 ( ) ( ) ( )f x= f 0 ,-1,00,1上单调递减，所以从而函数 f x 在上单调递增，在max( ) ( ) ( )( )f x= min f -1 , f 1 = f -1 ，min( ) ( ) ( ) ( )+ f x= f 0 +f -1 =1-4 = -3.则 f xmaxmin故答案为-3.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件从图

18、象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等1f(a -1)+，其中 e 是自然对数的底数若(x) = x - 2x + e -18【2017 年高考江苏】已知函数 f3xexf (2a2) 0 ，则实数a 的取值范围是1-1, 【答案】21(-x) = -x + 2x + - e = - f (x)f x( )是奇函数，【解析】因为 f，所以函数3xex(x) = 3x - 2 + e + e 3x - 2 + 2 e e 0因为，所以函数 f(x)在r 上单调递增，f 2x-x2x-x(a -1) + f (2a ) 0f (2a ) f (1- a)，又 f2，即2所以 2a 1- a ，即 2a + a -1 0，2212-1 a 解得，1-1, 故实数a 的取值范围为2(g(x) f (h(x)【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为 f的形式，然后(x)fg(x) h(x)与 的取值应在根据函数 f的单调性去掉“ ”，转化