专题21数列与不等式结合的问题(解析版)

1、maxm；(2)利用等差数专题21数列与不等式结合的问题一、题型选讲题型一不等式恒成立中的参数的范围，求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为d，则当xd时，有f(x)m恒成立f(x)m；f(x)m恒成立f(x)min列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得例1、(2019镇江期末）设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464.数列bn满足：对任意的正整数n，都有a1b1a2b2anbn(n1)2n12.(1)分别求数列an与bn的通项公式(2)若不等式12b12b12b0)，因为a12，a2a4a1qa1q364，解得q

2、2，则an2n.(1分)当n1时，a1b12，则b11；(2分)当n2时，a1b1a2b2anbn(n1)2n12，a1b1a2b2an1bn1(n2)2n2，得anbnn2n，则bnn.综上，bnn.(4分)(2)不等式12b12b12b对一切正整数n都成立，即121412n11112n2bn111110，当0时，不等式显然成立(5分)当0时，不等式等价于121412n2n1.设f(n)121412n2n1，1111111111111111112n3f（n）1111112n1f（n1）242n2n2则242n4n28n42n12n32n24n28n3f(2)f(3)f(n)，所以f(n)ma

3、xf(1)，故，则0.综上，.(8分)(1)若a1，2a2，3a3成等差数列，求2的值；所以4a2a13a3，即42133，于是4t13t2，解得t1或，所以21或.(4分)1323232332331例2、(2019南京、盐城二模）已知数列an各项均为正数，且对任意nn*，都有(a1a2an)2an1an1.aa1(2)求证：数列an为等比数列；若对任意nn*，都有a1a2an2n1，求数列an的公比q的取值范围规范解答(1)因为(a1a2)2a31a3，所以a2a1a3，因此a1，a2，a3成等比数列(2分)设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，aa1a111a1a13a13(2)

4、因为(a1a2an)2an1an1，所以(a1a2anan1)2an2an2，n两式相除得a21a1ann2an1，即ann1a1an2，(*)(6分)(*)(*)两式相除得nn21nn3，即a2nn22ann11ann13，由a1a2an2n1，得11q3由(*)，得ann2a1an1，(*)an2an1an1an2nnn所以a22an1an3，即a21anan2，n2，nn*，(8分)由(1)知a22a1a3，所以a21anan2，nn*，因此数列an为等比数列(10分)当0q2时，由n1时，可得0a11，所以ana1qn12n1，因为a1a2an122n12n1，所以02时，a（1qn）

5、2n1，整理得a1qn(q1)2na1q1.(14分)qq1，n因为a1q(q1)2，即2nnn1，由(nan)(nan1)0和2，0a11，所以a1q11，因此n2不满足条件综上，公比q的取值范围为(0，2(16分)例3、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列an的各项均不为零设数列an的前n项和为sn，数2列an的前n项和为tn，且3s2n4sntn0，nn*.(1)求a1，a2的值；(2)证明：数列an是等比数列；(3)若(nan)(nan1)0对任意的nn*恒成立，求实数的所有值思路分析(1)对3s2n4sntn0，令n1，2得到方程，解得a1，a2的值1n(2)3s24sntn0

6、中，对n赋值作差，消去tn，再对n赋值作差，消去sn，从而得到an12an，证得数列an是等比数列1不成立2规范解答(1)因为3sn4sntn0，nn*.1令n1，得3a214a1a20，因为a10，所以a11.1令n2，得3(1a2)24(1a2)(1a2)0，即2a22a20，因为a20，所以a22.(3分)(2)解法1因为3s2n4sntn0，所以3s2n14sn1tn10，得，3(sn1sn)an14an1a2n10，因为an10，所以3(sn1sn)4an10，(5分)所以3(snsn1)4an0(n2)，1当n2时，得，3(an1an)an1an0，即an12an，a1an21a1

7、a12整理为sn1sn3，又s1a1，所以sn2，得sn2，33331n1，而a1也适合此式，1n1，所以an11所以an21n1.1n1和n1n之间1n1n1n0对任意的nn*恒成立，所以0适合(10分)1n1恒成立，从而有0，当n为奇数时，n2n2记p(n)2n(n4)，因为p(n1)p(n)2n0，1n1恒成立，从而有n恒成立若0，当n为奇数时，n2n2由(*)式知，当n5且n时，有n2n，所以0不符1所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列(8分)解法2因为3s2n4sntn0，所以3s2n14sn1tn10，得，3(sn1sn)an14an1a2n10，因为an10，所以3(sn

8、1sn)4an10，所以3(sn1sn)4(sn1sn)0，(5分)21222132333211n111n12当n2时，ansnsn121an21所以数列an是以2为公比的等比数列(8分)(3)解法1由(2)知，an2因为对任意的nn*，(nan)(nan1)0不符(13分)1n2n11n综上，实数的所有值为0.1n1，故aa解法2由(2)知，an2nn10，所以当0时，(nan)(nan1)0即n2anan10，对任意的nn*成立，符合题意；(10分)即2n12n0成立，亦即对任意的大于3的偶数n，|n2n1n成立，(13分)记p(n)2n(n4)，因为p(n1)p(n)2n0，所以对任意的

9、大于3的偶数n，|时，|，所以0不合题意，因为对任意的nn*，(nan)(nan1)0恒成立，所以对任意的大于3的偶数n，(nan)(nan1)0nnnn3n22n1先证，当n4时，2nn，n2（n1）2n2n22n12n12n1n2n1所以p(n)p(4)1，即2n41，所以2nn(*)，3n33|n综上，实数的所有值为0.(16分)题型二、运用放缩法证明不等式与常数的关系此类问题往往与数列和有关，通过数列求和的方法研究求和或者通过放缩法研究数列和的不等关系，一般会得出数列的和与常数与一个变量之间的关系，进而得到与常数之间的不等关系。与求和相关的不等式的放缩技巧：在数列中，“求和看通项”，所

10、以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）例4、已知数列an的前n项和为sn，an=2n-1，设bn=an1sn，数列b的前n项和为t，nn证明：tn32.(2n-1)n2=证明：由（1）得：b=1n1n(2n-1)可知当n2时，b=1n(2n-1)n(2n-2)2n(n-1)2n-1n=-b=1111111n2223+-+bb+1-t=b+b+11+1-1+n12n111n-1n=1+1-nn*b9ab（）求数列和的通项公式；nn5()nnn822【解析】（）由已知条件得s=n111a2+a+，n

11、n当n2时，sn-1111=a2+a+，8n-12n-121(a2-a2)+(a-a)，即a+a=1(a+a)(a-a)，824得：a2=nnn-1nn-1nn-1nn-1nn-11a数列的各项均为正数，a-annn-1=4（n2），b=2,n+1=，b=2b44n=(2n-1)4n-1，又a=2，a=4n-2；b=a,b1n11n+1b11n-11nna（）c=bnn(an+1-a)=b，nnt=1+34+542+l+(2n-3)4n-2+(2n-1)4n-1，n4t=4+342+l+(2n-5)4n-2+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n，n-2n-4nn59题型三、运用放缩法证明数列

12、中的不等式在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是常见的放缩：111111(n-1)(n+1)=；微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；=-n2n2-12n-1n+12(n+1-n)=2n+n+11n2n+n-12(n-n-1)例6：已知正项数列an的前n项和为sn，且a+n1an=2s,nn*ns（1）求证：数列2

13、是等差数列nbn+1n（2）记数列b=2s3,t=1nnn11+b2+1bn，证明：1-131t-n2an-1+=2s(n2)s-s解：（1）a+1nn=2ss-snnnn-11n1s-snn-1=s+snn-1s2-s2=1nn-1s2为等差数列n思路分析：先利用（1）可求出s的公式进而求出b=2nn，则nn合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。11=，考虑进行放缩求和，结b2nnn解：令n=1代入a+n1an=2s可得：naa+1=2aa=1即s=111111s由2为等差数列可得：s2=s2+(n-1)=nnn1s=nb=2nnnn1bn=12nn考虑先证t32n1-nnn2nn11=b

14、1(n-1+n)=n-n-1nn-n-1=1-1(n2)n(n-1)n-1nt1-n+1n1n-111131nn2nnn(n+1)11=b1(n+1+n)=n+1-nnn+1-n11=-nn+1t1-+-+-=1-n+1n+1n1112231n11n+1n综上所述：1-131t-n例7：已知数列an的前n项和sn=na-3n(n-1),nn*，且a=17n3（1）求a1（2）求数列an的前n项和sns3（3）设数列b的前n项和tnn，且满足b=nn2，求证：t3n+2nn2解：（1）在s=na-3n(n-1),nn*中，令n=2,n=3可得：nna+a=2a-6a-a=61221a1+a2+a

15、3=3a3-18a1+a2=16a=5,a=1112（2）s=na-3n(n-1)nnsn-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n-2)-可得：a=na-(n-1)annn-1-6(n-1)(n-1)a=(n-1)ann-1+6(n-1)(n2)a=ann-1+6（3）由（2）可得：b=n3n2+2n3n+2a是公差为6的等差数列na=a+6(n-1)=6n-1n1s=na-3n(n-1)=n(6n-1)-3n(n-1)=3n2+2nnn1=nb=13n+223n+23n+2+3n-12n223=(3n+2-3n-1)3)t=b+b+n12n+b22=3(5-2)+(8-5)+(3n+2-(

16、3n+2-2)345成立时n的最小值为.n【答案】：6【解析】log(1+a3n)=2n-1，b=log(1+an32n-1)=22n-2=4n-1，3则t=b+b+b=1+4+42+4n-1=1(4n-1).n12n不等式t345即为4n1036(nn*)，n所以n6，于是t345成立时n的最小值为6.12分n2、在数列若，则使中，设，设，且数列的前项和，恒成立的的取值范围.【答案】：.【解析】证法一：解：（）由条件知，所以，又故数列，所以，所以，数列的通项公式为：，是首项为1，公差为1的等差数列，.证法二：由条件，得又故数列，所以，数列的通项公式为：是首项为1，公差为1的等差数列，.（）由

17、（）知，则由-得，恒成立，等价于对任意恒成立.，bn24sn92nbn232n1snbn22n6f（n1）n27n61sn1设f(n)，12.22f（n）n5n2n10n2n5n2f（n）2n10n令f（n1）0，知n2，nn*.n3、(2019宿迁期末）已知数列an各项均为正数，sn是数列an的前n项的和，对任意的nn*，都有2sn3a2an2.数列bn各项都是正整数，b11，b24，且数列ab1，ab2，ab3，abn是等比数列(1)证明：数列an是等差数列；(2)求数列bn的通项公式bn；(3)求满足0得a11.(1分)nnn当n2时，由2sn3a2nan2得2sn13a21an12，所

18、以两式相减得2an3a2an3a21an1，所以3(anan1)(anan1)anan1.(3分)1由an0知anan10，所以anan13，1所以数列an是首项a11，公差d3的等差数列.(5分)1122(2)由(1)得an13(n1)3n3，由ab1a11，ab2a42,知数列bn的公比q12，所以数列abn是首项为1，公比为2的等比数列，所以abn2n1.(7分)1212又abn3bn3，所以abn3bn32n1，即bn32n12.(10分)26(3)由snn（a1an）1(n25n)，n25n6n25n得.(12分)n25n92n（n1）25（n1）则92nf（n1）n27n6令1得1，即n23n60.由nn*得n1.f（n）所以f(1)f(3)f(4)f(n)(14分)s1611s43611b121834b421444又因为f(1)，f(4)，故当n5时，f(n)，sn1bn24a1a2a2a3a3a4anan13(3)若a12，bn2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1st)，使1，s，t成等差数列？若存在，4所以满足0.设bnan3n(nn*)(2)若1且3，设cnan3n(nn*)，证明数列cn是等比数列；3(1)若3，求数列bn的通项公式；2(3)