小学数学论文：基于概念性理解的小学数学过程性教学

1、基于概念性理解的小学数学过程性教学 赵庆林摘 要对数学过程性的教学有两种价值取向，一种是以教学外在形式的丰富为目标，一种是以教学内在概念性理解为目标。在当前小学数学教学中，通过对外在教学形式的研究已经很难引起教师的真正反思与实践的有效改进，小学数学教学需要回归数学的本质，对于教师来说则需要构建关于数学的概念性理解；概念性理解具有三个维度，即理解的深度、广度和完整度；概念性理解对于数学教学的重要性体现在三个方面，即实现数学教育的价值、转变学习的方式以及激发深度的学习；从概念性理解出发，教师要从“是什么”入手，将概念性理解转化为学生的学习目标，从“为什么”入手，将概念性理解转化为学生的学习资源，从

2、“做什么”入手，将概念性理解转化为学生的学习过程，从而让数学教学形神相得。关键词过程性教学 概念性理解 转化一、教学现场所折射出的问题有这样一个案例，一位教师讲到圆周率是一个无限不循环小数：3.1415926，一名学生举手问：这个“”是怎么得来的？教师不假思索的回答：这个“”当然是除出来的。事实上，两个整数相除，如果除不尽，得到的结果一定是循环的，而圆周率是一个无理数即是一个无限不循环小数，因而一定不是除出来的。出现这样错误的原因，从根本上看是教师对圆周率的概念性理解的错误导致的。这样的教学现场经常在我们的教育生活中重复上演着，它的危害性在于常常使我们“错而不觉”，教学原本起源于理解，对于数学

3、教学来说也是如此，但是却因为概念性理解的偏差最终使我们困于自己的理解，当然也就谈不上对教学行为的真正反思与有益改进了。二、概念性理解的含义及其维度什么是概念性理解？简单的说就是教师对于所教数学知识的本质理解。产生概念性理解的错误原因往往在于我们仅仅关注表象而忽略了对知识本质的探求。如何寻求知识的本质？又如何建立概念性的理解？这需要我们从概念性理解的三个维度去认识。（一）理解的深度对于数学知识理解的深度主要在于能够深刻领会知识背后蕴藏的数学思想，理解的深度不在于教师用所谓高深的话语表达，恰恰相反，理解的深度有时候在于教师能否寻求“返璞归真”的理解境界，比如数量的本质的理解应该是多与少，而数的概念

4、则从数量与数量的多与少中抽象出来的，比如上面的案例中的圆周率是指平面图上圆的周长与直径的比，而且圆周率是一个无理数，再比如圆的定义的本质是在平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合，等等。（二）理解的广度对于数学知识理解的广度主要体现在教师能否从多角度去审视、观察并且进行合理的解释，它主要表现在教师对一个概念的不同侧面的理解以及解决问题的不同途径的掌握方面，同时教师要能够帮助学生认识到这些不同的优势和不足。比如对于周长与面积关系，在马立平博士的著作小学数学的掌握和教学中就分为四个理解层次，分别是推翻命题、识别可能性、澄清条件、解释条件，这四个不同的理解层次可以看作是解决问题的不同途径。这样看来

5、，对周长与面积关系的理解广度使我们更接近问题的本质。（三）理解的完整度对于数学知识理解的完整度体现在教师在教学过程中能够对所学知识的前后左右的关联建立清晰的印象，并且能够在教学过程的某个环节及时、恰当而有效地重温那些已经学习过的关键知识，从而帮助学生打通学习脉络，建立完整的知识网络。比如对于长度、面积与体积的理解，教师应该清楚：长度是对一维空间图形的度量，面积是对二维空间图形的度量，体积是对三维空间图形的度量，这三种度量的基础都是直线段的长度，而度量的基础是两点间的直线距离。三、概念性理解对于数学教学的重要性如果我们习惯性地以割裂的眼光来观察，那么，对于概念性的理解与数学教学之间的关系也就难以

6、真正的弄清，因而对于概念性理解的重要性也就不能产生足够的意识。但是，当我们站在数学教学的立场上，融入我们自身教学的实践与感受，概念性理解对于数学教学的重要性就不言而喻了。（一）概念性理解是实现数学教育价值的保证数学教育有其自身的价值，总体上来说，“作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。”数学教育的价值核心在于培养与发展人的理性思维和创新能力，其它学科难以真正替代的原因在于数学除了应用于日常的计数、度量、解决现实问题，还在于数学具有发展纯粹思维的能力，正如爱因斯坦所惊叹，

7、数学是“独立于人类经验存在的人类思维产物”。然而，一旦概念性理解的缺失，思维便习惯地停留于知识的表面，或者满足于片面的求取而忽略本质的把握，如此，人的理性思维便陷入了泥淖，没有了理性思维的创新则是虚无的。（二）概念性理解是实现学习方式转变的基础对于学习方式转变的研究是一个长期而持久的话题，但是研究者们往往更多的将研究焦点集中于学习外在方式上，而缺乏对学习方式深层次的探究，对学习方式深层次的探究使我们发现，离开了教师的概念性理解，学习方式的转变是难以实现的，这一点在马立平博士的研究中得到了证实，她在对比中美教师的课堂教学之后发现，那些具有概念性理解的教师总是倾向于在数学概念和方法之间建立联系，从

8、而引导学生开展真正的数学活动。马立平博士的研究表明，只有当我们致力于改变教师的数学知识的时候，才能够真正的引起学习方式的变化，这种变化不只是表面的变化，而是基于概念性理解的过程性学习的重新建构。（三）概念性理解是实现课堂深度学习的前提所谓“深度学习”，是一种高思维度的学习，它强调从学习者自身的发展需求出发，借助知识生长的力量实现自我的发展。课堂深度学习的关键在于学习者的情感的卷入与思维的融入，学习者情感的卷入是比较容易做到的事情，至少我们可以从学习者的外部表情进行观察评价，但是思维的融入比较难以判断，一个学生平静地坐在那里并不表示他的思维活动是肤浅的，相反，一个不停地要求发言的学生并不表示他的

9、思维活动是深刻的。让学习者走向深度的学习虽然是一个复杂的问题，但是关键还是在于教师对于数学的概念性理解的水平，首先教师的概念性理解决定了课堂讨论、探究、活动的意义和价值，其次教师的概念性理解决定了学习过程中思维活动的层次和品质。四、从概念性理解到过程性教学对数学过程性的教学有两种价值取向，一种是以教学外在形式的丰富为目标，一种是以教学内在概念性理解为目标。本文提出从概念性理解到过程性教学并非抛弃教学的外在形式，而是认为基于概念性理解的过程性教学在教学形式的创设上更加自然，而且更具有内在的生命力。从概念性理解到过程性教学的关键在于三个方面的转化。（一）从“是什么”入手，将概念性理解转化为学生的学

10、习目标对于教学中的数学知识，教师要从“是什么”入手，“是什么”不仅仅是指这些知识到底是怎么产生的，更重要的是这些知识在数学范畴内的本质属性是什么，如数学应用的本质是数学建模，方程的本质是描述现实世界中的等量关系，等等，但是这些认识仅仅只是教师的概念性理解，如何才能够将它们转化为学生的学习目标还需要我们的努力。在有余数的除法的教学中，笔者首先思考的是关于余数的理解，余数是一个数平均分以后无法再继续分的数，因而余数不能比除数大。对于学生的学习来说，如何理解与认识余数的这一特性至关重要，它是学生是否真正理解余数的关键，也是学生思维走向深层次的一个契机，因此，对余数的研究应该成为学生学习的一个重要目标

11、。而在认识千以内的数的教学中，笔者思考的是作为一种符号如何能够表示大小不同的数，进而将十进制的数字系统的原理作为学生的学习目标之一，突出了数字符号、数位符号的原初的价值与现代的意义。数学学习的目标能否从单一走向立体、从表面走向内在、从形式走向内容的关键在于教师的概念性理解，有时候教师的理解程度决定了学生的学习目标的设定，学生学习目标的设定关系到学生能否真正走进数学世界，从而真正的参与数学学习的探究、思考、抽象、预测、推理以及反思。（二）从“为什么”入手，将概念性理解转化为学生的学习资源围绕着概念性理解的核心，教师要从“为什么”入手，将自己的概念性理解通过核心问题的方式转化为学生可以利用的学习资

12、源，只有学生能够从中产生思考并且从思考中得到进步与发展，教师的概念性理解才具有教育意义上的价值。在认识千以内的数的教学中，为了帮助学生更好地认识数的意义，引进了计数器，但是计数器的应用并不应该局限在学生动手操作的工具，而在于让学生能够从计数器的构造中读懂用符号表示数的智慧，在于让学生从简单的工具中体会深刻的数学思想，基于这样的理解，笔者在教学中先让学生观察计数器的特点，学生说出了“算珠、数位”等关键信息，接着笔者抛出问题：既然计算器上的算珠已经表示数了，为什么还要标出数位呢？孩子在思考与交流中渐渐明白，没有数位就不能表示出更大的数，进而比较999和1000，以及399和400，学生进一步体会到

13、，通过数字与数位的相互结合，数的多与少才能够准确的表示出来。在教学过程中，教师要习惯性地多问自己几个“为什么”，要通过这样的追问不断探求知识的核心问题，从而展示知识的不同侧面，让学生更好地了解与认识学习对象。只有通过这样的追问，我们才能够发现与接近知识本身所具有的丰富的学习资源，才能够发现与应用学生身上所潜藏着的学习资源，也才能够发现与改造我们身边存在但却容易被忽视的学习资源，（三）从“做什么”入手，将概念性理解转化为学生的学习过程教师的概念性理解如何转化为过程性教学，其关键在于教师“做什么”的问题，在这个过程中，教师需要对自己建立起来的概念性理解进行教学方法的加工与处理，加工与处理的原则是既

14、要兼顾学生的年龄特征、学习特点，也要无损于数学学科的本质属性。在教学圆的认识这一课时，为了突出圆的本质属性，可以设置讨论游戏的公平性、想象与观察不同大小的圆的图形、归纳表达圆的理解等学习环节，学生首先从熟悉的游戏中初步感知到圆上的点到定点的距离是相等的结论，再让学生通过操作、观察、想象进一步明确了圆的定义，最后让学生结合观察到的不同大小的图形归纳出圆的定义。事实上，很多教师以为学生缺乏学习抽象知识的能力，因而有意无意地在教学过程中损伤了数学的本质，但是张奠宙教授的研究以及朱乐平老师的实践认为，学生是有必要也有能力学习比较抽象的知识的，而且这也是数学学习的现实需要，因为我们无法事事依赖生活经验而去学习数学，关键在于教师要能够将自己的概念性理解以恰当的、合理的、科学的教学方法转化为学生的学习过程。五、小结在当前小学数学教学中，通过对外在教学形式的研究已经很难引起教师的真正反思与实践的有效改进，小学数学教学需要回归数学的本质。回归数学本质，对于教师来说需要构建关于数学的