人教B版新编高中数学必修一学案：3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数

1、 .第 2 课时.积、商、幂的对数和换底公式与自然对数学习目标.1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.知识链接在指数的运算性质中：amamanam n； am n；(am)namn.an预习导引1.对数的运算性质如果 a0，且 a1，m0，n0.那么：(1)log (mn)log mlog n.aaam(2)log log mlog n.naaa(3)log m nlog m(nr).naa2.换底公式log blog b(a0，且 a1；c0，且 c1).clog aac3.自然对数以无理数 e2.718 2

2、8为底的对数，叫做自然对数，log n 通常记作 lnn.e温馨提示.常用结论(1)log b log b；nanan(2)log b log b；nmama(3)log b log a1；ab(4)log b log c log dlog d.abca要点一.对数运算性质的应用例 1.计算下列各式的值：1 32 4(1) lg lg 8lg 245；2 49 323(2)lg 25 lg 8lg 5lg 20(lg 2) .2. .124331124 33 212解.(1)方法一.原式 (lg 32lg 49) lg 2 lg(495) (5lg 22lg 7) lg 2 (2lg227lg

3、 5)5212 lg 2lg 72lg 2lg 7 lg 512121212 lg 2 lg 5 (lg 2lg 5) lg 101 .24 274 27 5方法二.原式lglg 4lg 7 5lg7412lg( 2 5)lg 10 .(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.规律方法.1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1“) 收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式

4、的习惯，lg2lg 51 在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪演练 1.计算下列各式的值：(1)(lg 5) 2lg 2(lg 2) ；222535lg 3 lg 9 lg 27lg 3(2)lg 81lg 27解.(1)原式(lg 5)2lg 2(2lg 2)(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2 lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21.4591012lg 3 lg 3 lg 3 lg 3(2)原式4lg 33lg 34 9 15 10 2(43)lg 31 lg 3115 .要点二.换底公式的应用例 2.已知

5、log 9a,18 5，用 a、b 表示 log 45.b1836解.方法一.由 18 5，得 log 5b，又 log 9a，所以b1818. .log 45log (95)log 45 18 18log 3618293618log189log 9log 5 ab1818 .log 18 log 9 2a21818方法二.设 log 45x，则 36 45，即 62 59，xx36从而有 182 59 1，对这个等式的两边都取以 18 为底的对数，xx得 2xlog 5(x1)log 9，1818又 18 5，所以 blog 5.b18所以 2xb(x1)a，ab2a，即 log 45ab.

6、解得 x2a36规律方法.1.利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2.题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化、统一成一种形式.跟踪演练 2.(1)(log 9)(log 4)等于(.)23112a.4b.c.2d.412518195(2)log log log _.23答案.(1)d.(2)12解析.(1)(log 9)log 4(log 32)(log 22)23232log 3(2log 2)4log 3 log 24.23231251819lglg lg(2)原式lg 2 lg 3 lg 5(2lg 5)(3lg 2)(

7、2lg 3)12.lg 2lg 3lg 5要点三.对数的实际应用例 3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的 75%，估计13约经过多少年，该物质的剩余量是原来的 (结果保留 1 位有效数字)？(lg 20.301 0，lg 30.477 1)解.设最初的质量是 1，经过 x 年，剩余量是 y，则：经过 1 年，剩余量是 y0.75；经过 2 年，剩余量是 y0.752；. .经过 x 年，剩余量是 y0.75 ；x13由题意得 0.75 ，x13lg1lg 3xlog0.7534.3 lg 3 lg 4lg413估计经过 4 年，该物质的剩余量是原来的 .规律方法

8、.解决对数应用题的一般步骤跟踪演练 3.里氏震级 m 的计算公式为：mlg alg a ，其中 a 是测震仪记录的地震曲线的0最大振幅，a 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，0此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地震的最大振幅是 5级地震最大振幅的_倍.答案.6.10 000解析.由 mlg alg a 知，mlg 1 000lg 0.0016，所以此次地震的级数为 6 级.设 9 级0a地震的最大振幅为 a 5 级地震的最大振幅为 a ，则 lg 1lg a lg a (lg a lg a )(lg a1,2a12102

9、2alg a )954.所以 110410 000.所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的0a210 000 倍.1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)(.)a.log x log ylog (xy)aaab.(log x) nlog xnaalog xnc.log xanalog xd.log xlog yalog yaaa答案.c解析.根据对数的运算性质知，c 正确. .2.lg 83lg 5 的值为(.)a.3 b.1 c.1 d.3答案.d解析.lg 83lg 5lg 8lg 53lg 8lg 125lg (8125)lg 1 0003.3.lg 5lg 20的值是_.答案.1解析.lg 5lg 20lg 100lg 101.log 94. 2 _.log 32答案.2log 9解析. 2 log 9log 322.log 33321 15.已知 2 5 10，则 _.mnm n答案.1解析.因为 mlog 10，nlog 10，251 1所以 log 2log 5m n1010lg101.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进