教师福利分房~数学建模竞赛论文

1、福利分房问题摘要本题福利分房问题涉及到多因素的问题，这些因素的重要性、影响力或者是优先程度通常不易定量地测量。所以我们运用层次分析法解决这个问题。层次分析法是一种定性和定量相结合的分析方法。按照层次分析法采用“求各人员对总目标权重”的方法，并且由题意可知，目标层为福利分房；准则层为5个因素，按权重依次为职称、工龄、学历、教学和科研，根据权重列出5x5矩阵，进行一致性检验，数据符合时，再进一步求出最大特征值，在对矩阵进行归一化，得相对应的特征向量；方案层为48位满足住房分配的人员，根据每位职员对5个因素的不同特征，构造5个48的一致阵，此时其最大特征值均是48，进一步对每个矩阵进行归一化，得其相

2、对应的特征向量；最终求每个职员对总目标的权值，再进行排序，从中抽取前18位人员排序如下：p17、p36、p37、p22、p20、p24、p44、p16、p4、p6、p21、p42、p1、p3、p2、p11、p12、p19关键字：层次分析法；归一化；matlab；最大特征值一、问题重述为解决我院广大教职员工住宿难的问题，学校新修18套福利房欲分配给学校老师。经过全体教职员工讨论决定，分房只考虑以下因素：职称，工龄，学历，教学情况、科研。我校48名教职员工各项具体情况如下表，请你建立一个数学模型，合理分配这18套住房。二、问题分析本文首先建立层次结构模型（即目标层，准则层和方案层），由题意可知，目

3、标层为福利分房。准则层为5个因素，分别为职称、工龄、学历、教学和科研，对这5个因素，两两因素之间进行比较（比较时取19尺度），得到一个成对比较矩阵，然后计算该矩阵的最大特征值和其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。如果检验通过了，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要再次构造成对比较矩阵。方案层为48 名满足分房条件的人员，对每一个因素，48名人员两两进行比较，得到5个成对比较矩阵，然后分别计算这5个矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，然后做一致性检验，求出这5个48x48的成对比较矩阵的一致性比率，若该检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不

4、能通过，则需要重新构造成对比较矩阵，直到得到一致阵，最后求出每个人员对总目标的权值，并做一致性检验，若检验通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行排序，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。三、模型假设与符号说明3.1 模型假设1.按职称分档次,同档次的按工龄排队分配住房, 工龄相同时再考虑其它条件依次为学历、教学和科研适当加分,从高分到低分依次排队，分高者先分配住房。2除题中5个因素以外，其他因素都为无关因素。3.2符号说明：表示第个因素相对于第个因素的比较结果（i=1.5，j=1.5）；：表示矩阵的最大特征值；=()5x5表示由构成的成对比较矩阵；：表示矩阵的维数

5、（该值=5）；：依次表示职称、工龄、学历、教学和科研（i=1.5）；：依次表示48个人员对职称、工龄、学历、教学和科研影响的成对比较矩阵（i=1.5）；：表示矩阵的最大特征值（i=1.5）；：表示目标层福利分房；四、模型的建立与求解4.1建立层次结构模型 由题意可知，最上面的目标层为福利分房，最下面的方案层为48 名满足分房条件的人员，中间的准则层为5个因素，分别为职称、工龄、学历、教学和科研。将本文的层次结构模型做成下图1：福利分房职称工龄学历教学科研48位满足住房图1：本文的层次结构模型4.2构造成对比较矩阵为了构造成对比较矩阵，首先，我们简单介绍几个概念。概念一比较尺度：表1.（19尺度

6、的含义） 尺度含义1第个因素与第个因素的影响相同3第个因素比第个因素的影响稍强 5第个因素比第个因素的影响强 7第个因素比第个因素的影响明显强9第个因素比第个因素的影响绝对地强 2,4,6,8表示第个因素相对第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。概念二随机一致性指标：定义随机一致性指标为成对比较矩阵的一致性指标之和与成对比较矩阵的个数之比。对，给出了的值，如下表2： 随机一致性指标的数值1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 概念三一致性指标：由于连续的依赖于，则比大得越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量

7、作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，由此引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量的不一致程度。定义一致性指标。概念四一致性比率：定义一致性比率,当一致性比率时，认为的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对从新加以调整。准则层有5个因素，分别为职称、工龄、学历、教学和科研，对这5个因素，本文要比较它们对上一层某一准则的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则本文准则层的5个因素对目标层福利分房的影响两两比较结果做成

8、表格，如下表3.5个因素对住房分配的影响两两比较结果1113411123111230.33330.50.5120.250.33330.33330.51由表3，可以得到成对比较矩阵a=1 1 1 3 4 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 0.333 0.5 0.5 1 2 0.25 0.333 0.333 0.5 1方案层为48 名满足分房条件的人员，对每一个因素，48 名人员两两进行比较后，得到5个48x48的成对比较矩阵，为bi(i=15)。4.3一致性检验计算矩阵的最大特征值及其对应的特征向量后，再利用一致性指标和一致性比率和随机一致性指标的数值表，对进行一致性检验。求出一致性比率=

9、0.0074，所以该检验通过了，特征向量（归一化后）即为权向量。然后再分别计算bi(i=15)这5个矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，对这5个48x48的成对比较矩阵分别做一致性检验后，求出这5个48x48的成对比较矩阵一致性比率均为0，所以该检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量，最后由求出每名人员对总目标的权值，并求出总排序的一致性比率，最后按照总排序权向量表示的结果进行排序，将排序结果做成表格，如下表4：4.3层次分析模型的求解在matlab中写出相应的程序（见附录程序），可求得准则层结果：矩阵的最大特征值 5.0331及其对应的特征向量分别为（0.6040,0.5221,0.522

10、1,0.2565,0.1555），一致性比率0.0074，权向量分别为（0.2932,0.2534,0.2534,0.1245,0.0755）。方案层结果：bi(i=15)矩阵的最大特征值都是48 。归一特征向量依次为：b10.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192

11、 0.0192 0.0192 0.0192 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288 0.0288b20.0324 0.0356 0.0388 0.0259 0.0291 0.0162 0.0129 0.0097 0.0162 0.0259 0.0324 0.0291 0.0259 0.0388 0.0097 0.0356 0.0324 0.0227 0.0259 0.0291 0.0324 0.03

12、56 0.0291 0.0324 0.0259 0.0259 0.0162 0.0259 0.0162 0.0194 0.0129 0.0097 0.0065 0.0162 0.0129 0.0194 0.0259 0.0162 0.0097 0.0129 0.0032 0.0162 0.0065 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 . . .b50.0275 0.0092 0.0367 0.0367 0.0183 0.0092 0.0183 0.02750.0367 0.0275 0.0183 0.0092 0.0183 0.0275 0.0092 0.01

13、830.0275 0.0275 0.0183 0.0275 0.0275 0.0092 0.0183 0.02750.0092 0.0275 0.0275 0.0092 0.0092 0.0183 0.0275 0.02750.0183 0.0092 0.0092 0.0183 0.0275 0.0183 0.0092 0.0183 0.0275 0.0092 0.0275 0.0275 0.0367 0.0092 0.0275 0.0183 五、 结果分析这5个48x48的成对比较矩阵一致性比率为0，总排序的一致性比率为0. 每个职员对总目标的权值见表4.表4：人员福利分房总排序及总权值总排

14、序12345678910总权值0.02700.02590.02570.02520.02500.02450.02410.02340.02330.0233pi173637222024441646总排序11121314151617181920总权值0.02330.02310.02300.02280.02240.02240.02240.02220.02190.0218pi21421321112191023总排序21222324252627282930总权值0.02170.02170.02140.02130.02100.02090.02040.02040.02000.0200pi 27403314131

15、832473143总排序31323334353637383940总权值0.01980.01940.01910.01910.01870.01860.01850.01780.01780.0176pi35342829414525394638总排序4142434445464748总权值0.01750.01710.01690.01660.01650.01600.01480.0136pi15930265 4887分析：被淘汰的30位教职员工的情况表5.人员职称工龄学历教学科研p1018213p2329222p2725323p4034212p3332322p14212223p1328232p1827223p

16、3233223p4732223p3134213p4332223p3534221p3435211p2828211p2925231p4131223p4536124p2528331p3933221p4634221p3835112p1523311p915224p3026122p2628213p519222p4836122p813223p714122从该表格可以看出：被淘汰的30名教职员工不具备明显优势，可见模型的正确性。六、模型的评价与改进6.1模型的评价优点：1. 系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要

17、工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。2. 简洁性这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。即使是具有

18、中等文化程度的人也可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也经常简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。缺点：1. 定量数据较少，定性成分多，不易令人信服只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。2. 其方法中所用的指标体系需要有专家系统的支持，若给出的指标不合理则得到的结果也就不准确了。3. 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。6.2模型的改进 层次分析法中有其主观、粗略方面的局限性，它的比较、判断都是比较粗略，不适合于精度要求高的问题；从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素起着重大作用。当然，采取群体判断也是克服这一缺陷

19、的办法之一。层次分析方法经过几十年的发展，许多学者针对层次分析方法的缺点进行了改进，形成一些新的理论和新的方法，像模糊决策、群组决策和反馈系统理论等近几年成了该领域的一个新热点。针对以上不足，可以进一步使用模糊层次分析法或主成分分析法，甚至deds模型。相对而言能够克服层次分析法上的主观性，突显主要考虑因素。七、参考文献1 姜启源，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年。2 雷功炎,数学模型讲义, 北京大学出版社, 1999年。3 韩中庚，数学建模方法及其应用,北京：高等教育出版社，2005年。八、附录：表6：人员工作能力工作成绩人员工作能力工作成绩职称工龄学历教学科研职称工龄学历教学

20、科研p1110323p2528331p2111241p2628213p3112224p2725323p418334p2828211p519222p2925231p615111p3026122p714122p3134213p813223p3233223p915224p3332322p1018213p3435211p11210332p3534221p1229311p3636332p1328232p3738123p14212223p3835112p1523311p3933221p16211242p4034212p17210333p4131223p1827223p2435241p1928312p433

21、2223p2029323p4433333p21210223p4536124p22211241p4634221p2329222p4732223p24210233p4836122程序%5x5比较阵clc;clearformat short; a= 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 4.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 3.0000 0.3333 0.5000 0.5000 1.0000 2.0000 0.2500 0.3333 0.3333 0.5000 1.0000; v,

22、d=eig(a); %最大特征值 b=max(d(:) m,n=size(v); %将特征向量标准化 sum = 0; for i=1:m sum = sum + v(i,1); end a = v(:,1); for i=1:m a(i,1)= v(i,1)/sum; end v%特征向量 a %标准特征向量ci=(b-m)/(m-1)ri=1.12;cr=ci/ri1.%职称clc;cleara=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3;b=

23、zeros(48)for i=1:48 for j=1:48 b(i,j)=a(1,i)/a(1,j); endend b format short; v,d=eigs(b); %最大特征值 c=max(d(:) m,n=size(v); %将特征向量标准化 sum = 0; for i=1:m sum = sum + v(i,1); end a = v(:,1); for i=1:m a(i,1)= v(i,1)/sum; end a %特征向量ci=(c-m)/(m-1)ri=0.58;cr=ci/ri2.%工龄clc;clear;a=10 11 12 8 9 5 4 3 5 8 10 9

24、 8 12 3 11 10 7 8 9 10 11 9 10 8 8 5 8 5 6 4 3 2 5 4 6 8 5 3 4 1 5 2 3 3 3 3 3;b=zeros(48)for i=1:48 for j=1:48 b(i,j)=a(1,i)/a(1,j); endend b format short; v,d=eigs(b); %最大特征值 c=max(d(:) m,n=size(v); %将特征向量标准化 sum = 0; for i=1:m sum = sum + v(i,1); end a = v(:,1); for i=1:m a(i,1)= v(i,1)/sum; end

25、a %特征向量ci=(c-m)/(m-1)ri=0.58;cr=ci/ri3.%学历clc;clear;a=3 2 2 3 2 1 1 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 2 2 3 1 1 2 2 2 2 2 3 1 2 2 1;b=zeros(48)for i=1:48 for j=1:48 b(i,j)=a(1,i)/a(1,j); endend b format short; v,d=eigs(b); %最大特征值 c=max(d(:) m,n=size(v); %将特征向量标准化 sum = 0; for i=1:m sum = sum + v(i