个人合理投资组合

1、个人合理投资组合模型摘要：本文研究的是对房产和存贷利率做出积极预测软件，并进行合理的组合投资。一、我们要根据题目所给条件并结合经济常识，对人均GDP、可支配收入、房价进行相关性处理。利用SPSS对人均GDP、人均可支配收入、房价及年份进行相关性分析：共变数矩阵值较小，说明数据集中；系数接近于+1，变量正相关性良好，达到显著水平，宜用多元回归分析。由此，我们便可以建立房价预测模型。用EXCEL对存贷款利率进行分析，做出三角函数拟合曲线，由此存贷款利率进行预测。二、依据对采集的数据综合分析，可将题目中的投资方式分为有风险投资和无风险投资。由于存款的稳定性和安全性较高，将长期存款、中期存款、短期存款

2、视为无风险投资；保险和股票为有风险投资。定义投资产品的预期收益率为收益概率分布的均值；其风险系数为收益的波动程度，由收益概率分布的标准差来衡量。根据统计，确定出各投资方式的预期收益率和风险系数。第一步将两种风险投资进行组合，假定其中股票投资占，用做出风险收益曲线S，并舍弃不符合投资规律的部分。第二步将无风险投资与有风险投资进行组合。由于长、中、短期预期收益率不同，投资人往往会根据其收益率调整所投比例。根据收益率不同进行加权，并计算出无风险投资的综合收益率，在风险收益曲线上表现F点过F的直线与曲线S相切与点T，根据由投资原理可得，FT线段为最优组合线，并由所计算出的方程求出风险投资在组合投资中的

3、比重，及值。3、 首先根据当前情况对小王风险承受能力和投资风险系数进行评估。小王的风险承受能力与年龄、就业状况、置产状况、投资经验、投资知识五个因素相关，风险系数与宏观经济政策、GDP增长率，存贷款利率、投资产品四个因素相关。因此，可以采取层次分析法，对各因素进行赋权。首先根据1-9强度量化表得到各因素的比较矩阵，然后编程求出该矩阵的最大特征根和特征向量，将特征向量归一化，转化为各项指标的权重。经过总分析，确定出风险系数和风险承受能力。最后，进行一致性检验，发现运用层次分析法得出的是结论准确的。四、根据对一、二、三的分析，并结合小王实际情况，确定出合理投资模型。并分析该模型的优缺点，最后加以推

4、广。关键词：多元回归、利率、投资、收益、层次分析法、一致性分析、比较矩阵1、 问题重述一、背景知识1.1、投资基本原理在投资过程中，合理地做好投资组合策略，会对投资者带来极大的好处。组合投资最重要的好处就是分散风险，不同的投资者，应该根据自己的具体情况，合理地进行投资组合，这样既能有效的降低投资风险，同时又能尽可能的获取最大的收益。在检查自己的投资组合时，我们应该注意两个问题：一是确认目前组合的资产配置情况是否与投资目标相符、是否与自己的风险承受能力相符、是否与市场趋势相符。二是检查投资品种的相对业绩表现。这里有两点要注意的：一是不要太看重短期表现，应以较长时间的回报作为依据；二是不要简单的把

5、投资于表现差的资产转移到表现好的上，主要看其实际价值与价格的相对位置。比如股票中一些超跌的品种反而应该增持，它们在以后很可能存在更大的机会。一般认为，时间能够分散投资风险。因此人越年轻，承受风险的能力越强。如果投资不成功，他还有时间去弥补损失。年龄越大，风险承受能力越低，投资应趋于稳健；年龄越小，其风险承受能力越高，投资也可更为进取些。一个好的投资组合，应当根据年龄的增长，不断地调整投资的风险水平，调整投资组合的内容和比例，以便使投资组合的预期收益和预期波动符合那个年龄的投资需要。1.2、宏观经济与投资关系2008年的次贷危机及2009年的金融危机引起全球股市的大幅下跌，使我们深刻认识到经济周

6、期在资产配置决策中的重要性。资产配置的目的是在一定风险下追求资产的最大收益，而经济周期的分析可以判断各大类资产的表现情况，经济周期的波动决定了大类资产价格的波动。认识经济周期才能正确配置你的投资组合。在经济衰退时期，GDP增长乏力，股票价格会逐渐下跌，此阶段债券是最好的资产配置。在复苏阶段，宽松的刺激政策起了作用，这个阶段是股权投资者的“黄金时期”，股票是最好的资产配置。在过热阶段，GDP保持高速增长，需求推动企业生产能力接近极限，开始面临产能约束，通胀抬头，央行开始加息来防止经济过热、防止高通胀，股票的投资回报率取决于利润增长与价值重估两者的权衡，而大宗商品和房产由于与物价指数正向相关，预期

7、收益大于利率变化，商品和房价将上涨。在减速阶段，GDP的增长率开始下降，但CPI和利率都维持在高位，此时的货币政策偏紧，由于企业盈利恶化，股票表现非常糟糕，这时资金的安全性成为首要考虑的问题，现金是最佳选择。二、要解决的问题小王现在参加工作5年，有存款8万，月收入为7千人民币，在外企工作，目前每月基本生活用度为4千元，计划3年后结婚，考虑自购一套40万的房子。1、对现在房价和存贷款利率的走势作出分析讨论。2、在现在房价和存贷款利率的走势情况下，综合考虑长期、中期、短期 存款及公积金贷款购房、投资股票、保险投入几方面建立数学模型，给出一个合理的投资理财方案。2、 模型假设1、为简化计算，仅考虑人

8、均GDP和人均可支配收入对房价的影响，忽略在这一段时期内国家宏观经济政策对GDP的影响。2、对房价和利率的预测放在同一个经济周期内。3、近似地将1年以内看做短期，13年看做中期，3年以上看做长期。4、根据存款的稳定性，可以认为存款的风险系数为0，公积金贷款风险系数为05、并假设贷款利率为负，按年支付。6、假设小王在结婚时自行购得一套40万元房产7、小王利用资金对长期存款、中期存款、短期存款、股票、保险进行组合投资，达到收益最大化，也即此处去除公积金贷款外，使得受益最大。三、对问题的分析一、对房价和存贷款利率走势分析及投资理财方案的选择是一个一类大样本多数据的统计分析与预测类问题。我们首先利用S

9、PSS软件对影响房价的因子进行相关性分析，建立多元回归模型写出相应函数，对房价和利率进行预测。然后再根据各银行存贷款利率的分析，用EXCEL做出拟合图像，由此对存贷款利率进行预测。二、将题目所给的投资方式进行归类并确定各投资方式的收益率和风险系数，将多种投资方式组合做出风险收益曲线，找到最优投资组合区间，并写出方程。在当前情况下，把影响风险系数和小王风险承受能力的各要素由非数值型转化为数值型，运用层次分析法得出当前风险系数和风险承受能力，结合最优投资方程，给出合理的投资方案。要合理的处理好本问题，关键是必须弄清楚问题的相关知识，如经济学和投资学并对问题进行深入的分析。4、 名词解释及符号说明（

10、1） 房价：W（2） 人均可支配收入：（3） 人均GDP：（4） 多元相关：R（5） ：变异数分析（6） 存贷款利率：C（7）长期存款：L（8）中期存款：M（9）短期存款：S（10）股票：G（11）保险：B（12）：风险资产股票和保险的收益率；（13) :长期、中期、短期的收益率； (14) ：风险资产股票和保险的风险系数；（15）R：组合投资收益； (16）：组合投资预期平均收益率；（17）：股票在风险投资中所占比重；（18）：两种风险资产相关系数；（19）SS：均差平方和；（20）人均可支配收入：个人收入扣除向政府缴纳的个人所得税、遗产税赠与税、不动产税、人头税、汽车使用税以及交给政府的非

11、商业性费用等以后的余额。 （21）GDP的定义为：一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和提供劳务的市场价值的总值。（22）无风险资产：长期存款、中期存款、短期存款。（23）有风险资产：股票和保险。（24）没有特别说明，涉及收入的单位均为“元”。五、模型的建立和求解从要解决的问题出发，建立相应的模型。对问题的分析，建立模型一；对问题二的分析，建立模型二。 模型一 多元回归模型及数据拟合模型1、 由于人均GDP越高，居民可支配收入越高，则对市场现房的需求量越大，房价越高，因此可以建立房价预测模型，按年份将时间轴分为2007、2008、2009、2010四个年份

12、。然后利用多元回归分析，求出数据拟合曲线，对房价走势进行分析。根据存贷款利率变化，做出散点图。2、 并用EXCEL进行数据拟合，对存贷款利率进行分析。模型二 公积金模型 要确定最优投资组合，关键是对投资产品投入比重的确定，所以要先建立风险收益曲线，解出各产品的投资比重，再结合当前条件，利用层次分析法，分析小王的风险承受能力和风险系数，最后根据小王收入情况给出最优方案。5.1、对模型一的分析与求解5.1.1房价预测模型 、 对数据的预处理由于影响房价的因素较多，特选择人均可支配收入和人均GDP作为衡量标准， 并选定2007-2010年作为典型年份进行分析。将各因子数量关系列成表格，

13、如下图：年份人均可支配收入人均GDP房价200713785.81201173885200815780.76236473877200917174.65255114695201019109.01295246500表.2、建立房价多元回归预测模型由于影响房价W的因素有两个和，所以应用多元回归预测模型-逐步分析法求解。（1） 在多元回归中，对于依变量的解释不止一个，即以多元相关的概念来解释变量与依变量之间的关系。表示变量对依变量的解释能力。积差和SP是把和两个离均差加总所得。SP反映的是变量对依变量的离散性。对于一个，将值代入方程式解得的预测值，将两者差值称为残差，最小平方法即为求最小

14、残差平方和。多元回归方程利用最小平方法，先通过变量间的线性整合，导出残差最小的线性方程，估计出回归系数。一个带有两个变量和回归方程，系数公式如下： 将表5.1的数据输入SPSS中，分析 回归 线性回归，得到下表： 描述性统计量均值标准 偏差N房价4739.251234.9654人均GDP24949.753541.4644人均可支配收入16462.557500000000002246.5240983257518004 表5.2 相关性房价人均GDP人均可支配收入Pearson 相关性房价1.000.947.901人均GDP.9471.000.991人均可支配收入.901.9911.000Sig.

15、 （单侧）房价.026.049人均GDP.026.005人均可支配收入.049.005.N房价444人均GDP444人均可支配收入444 表5.3模型汇总b模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差1.987a.974.921346.249模型汇总b模型更改统计量Durbin-WatsonR 方更改F 更改df1df2Sig. F 更改1.97418.58221.1623.253a. 预测变量: (常量), 人均可支配收入, 人均GDP。b. 因变量: 房价 表5.4模型平方和均方FSig.1回归4455528.52322227764.26218.582.162a残差119888.2271119

16、888.227总计4575416.7503a. 预测变量: (常量), 人均可支配收入, 人均GDP。b. 因变量: 房价 表5.5 系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B标准 误差试用版1(常量)-3418.5452789.658-1.225.345人均可支配收入.496.168.9012.945.099a. 因变量: 房价 表5.6有表格可以得到对的拟合函数： 系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B标准 误差试用版1(常量)-2385.5582241.695-1.064.399人均GDP.288.090.9153.208.085a. 因变量: 房价 表5.7有表格可以得到对的拟合函

17、数： 通过用SPSS进行逐步分析，验证了人均GDP和人均可支配收入为最佳独立变量组合。人均GDP和人均可支配收入可以共同对房价有97.4%的解释能力，以调整后的来表示，仍有92.1%的解释能力。检验值为18.582这一解释具有统计意义。所以最后可以得到方程式如下： 利用该方程可以进行实际预测，标准估计的误差为346.249。、对模型的校正年份模型值实际值误差200738853548.6336.4200838774551.7-674.7200946955165-470201065006223.4-276.6经过比较发现，模型与实际情况拟合度较好。5.1.2、对存贷款利率的预测模型5

18、.1.2.1、对中国各大银行2007.032011.04存款利率收集，并将短期存款、中期存款、长期存款利率取平均值，得到下表: 时间短存中存长存2007.030.722.674.1852007.050.722.854.682007.070.813.12754.952007.080.813.39755.222007.090.813.66755.492007.120.723.98255.6252008.010.723.7355.3552008.010.723.4654.952008.110.362.45253.7352008.120.362.18253.4652010.010.362.4654.0

19、252010.120.362.76254.352011.020.43.0754.752011.040.53.3255.00利用SPSS软件发现，存款利率线性拟合较差。所以将以上数据利用EXCEL软件对其用三角函数进行拟合，分别短期存款、中期存款、长期存款拟合图形，如下图： 表5.9 表5.10 表5.11有图所示：数据与图像吻合度良好，利用图像可对以后存款利率变化进行预测。5.1.3、对贷款利率预测模型、对中国各大银行2007.032011.04贷款利率收集，并将短期存款、中期存款、长期存款利率取平均值，得到下表：调整时间短期中期长期2007.03.185.676.486.932

20、007.05.195.856.667.072007.07.216.036.937.292007.07.216.036.937.292007.07.216.036.937.292007.017.472007.09.156.487.387.7420077.527.792008.057.652008.10.096.126.987.382008.10.306.036.717.112008.11.275.045.636.0320065.365.85205.586.052010.12.265.355.

21、836.312011.02.095.66.086.53 表5.14将以上数据经过EXCEL绘制散点图，并进行拟合，得到如下图像得： 表5.15 表5.16 表5.17通过对上述贷款走向的分析，可以对贷款利率进行预测。5.2、对模型二的分析与求解根据对国家住房公积金缴存比例规定为12%，贷款利率为4%，公积金购房最高可贷金额为：工资/缴存比例*12（月份）*0.45（偿还能力）*贷款年数，所以小王最高还贷金额为94.5万元。5.2.1、建立最优组合投资方程、对各投资方式的数据预处理为简化模型，我们假设：投资产品的收益概率分布的均值视为其预期收益率；其收益的波动程度由收益概率分布的标

22、准差来衡量，以反映该资产的风险系数。综合分析投资市场数据得如下表：长 期存 款中 期存 款短 期存 款股 票保 险公 积 金贷 款收益率0.0470.030.0060.140.08-0.04风 险 系 数0.00.00.0 表.2、两种风险投资组合分析在以上五种投资方案中，有风险资产共两种：股票和保险；无风险资产有三种：长期存款、中期存款、短期存款。现假定有风险资产组合含股票的比例为，含保险的比例为。则这一组合的预期平均收益率的公式为：风险组合系数公式为：根据两种资产的比例，利用上述两个公式可计算出该组合的预期收益率和。改变各自比重可得一组不同资产比例的收

23、益、风险组合。由此可以用c+做出组合投资表格;（程序见附录 1）。并用软件，做出风险收益拟合图形；（源程序见附录 2）。将表格上的点反映到坐标上，连结各点可得风险收益曲线此曲线。在图像上可以看出，图像类似于抛物线，存在一个最小方差组合点（R），在此点下端，随着的增大，平均收益率上升，标准差未上升，而是下降了，这不符合经济学原理，违背风险收益对等原则。在该点上方，随比重的变化，平均收益率上升，标准差亦上升。可见，最小方差组合点上方部分为股票和保险风险资产的投资组合的有效部分，同时假定该曲线为S。、风险投资与无风险投资结合无风险投资有三种：长期存款、中期存款、短期存款三种。但由于这三

24、种投资方式的收益率不同，所以，小王对三种投资的倾向也各不相同。需要我们对投资方式赋予权重。用简单的平均值赋权法来求解:所以，无风险投资综合收益率为：所以，无风险组合投资的曲线是过F（0.038,0）的一条直线，当且仅当，该直线与曲线S相切时，达到有风险与无风险投资的最佳组合。与相切，切点为T运算的，所以，最优投资组合中，风险投资中的股票投资占67%，保险投资占23%。进而可得最优组合的收益率均值(0.12)与风险系数(0.019)。当风险投资的最优组合作为单一风险投资时，不难得出有效投资组合的直线方程：代入数据得：该新的有效投资组合的直线表示投资组合的预期收益率是标准差的直线函数，即对投资者愿

25、意承担的任一程度的风险都对应着一个投资组合使其预期收益率最大。从而F与T之间的点是把风险投资的最优组合作为单一风险投资与无风险投资进行组合的有效组合。最后,我们来看一下收入分配的完整过程。我们首先确定客户每年应消费的额度，其余用于投资。对投资各种方式的选择,应根据该客户的风险承受能力，通过有效组合直线方程判断相应的收益率，再由投资组合的收益率与投资于风险投资比例的关系式，解出风险投资的投资比例。其关系式为：代入数据得：5.2.2、基于层次分析法的各因子权重判断模型、构造承受风险能力递阶层次结构（1） 构造承受风险能力递阶层次结构目标层A指标层B承受风险能力年龄B1就业状况B2置产

26、状况B3投资经验B4投资知识B5 表5.19（2） 构造承受风险能力判断比较矩阵递阶层次结构建立后，第二步就是利用判断尺度将其量化表在各层要素 中进行两两比较，构造出比较判断矩阵。为了将两两比较的结果数量化，需要有一个表示两个要素的相对重要性数量尺度，称为判断尺度。层次分析法采用19标度的判断尺度。得到判断矩阵表格：AB1B2B3B4B5B116433B21B331B42211B52211 表5.20根据表格5.20可以得到比较矩阵显然，为一致性正互反矩阵，记，即为权重向量，且则这说明为矩阵的特征向量，且为特征根。实际上，对于一般的判断矩阵，都有，这里为的最大特征根，为对应的特征向量。将作归一

27、化后可近似地作为的权重向量，即用特征根法可以求得B1、B2、B3、B4、B5在其中所占的权重。用软件在中编程得：（程序见附录一 3）最大特征值特征向量将特征向量归一化，得到权重向量与上式相同：所以，得到如下表格：B1B2B3B4B5权重0.470.07 表5.21风险承受能力，。所以，小王风险承受能力为构造风险系数递阶层次结构(1)、构造承受风险能力递阶层次结构目标层A指标层B风险系数宏观经济政策B1GDP增长率B2存贷款利率B3投资产品B4 表5.22(2)、构造承受风险能力判断比较矩阵AB1B2B3B4B111/531/9B25161/4B31/41/

28、611/8B49481 表5.23因此得到比较矩阵：用软件在中编程得：最大特征值，并将特征向量归一化，得到权重向量：所以，得到各风险系数因素权重表格：B1B2B3B4权重0.07740.25180.04390.6269 表5.24由风险系数定义知：，所以，当前风险系数5.3、一致性检验一致性,在此指判断思维的逻辑一致性。九级比率标度法的引入,使人的判断思维数量化,帮助形成了判断矩阵。而只有当判断矩阵基本满足一致性的条件下,应用层次分析法得出的结论(即特征向量)才是基本准确合理的。但由于客观事物的复杂性、人们认识上的多样性和难免的片面性,即使有九级标度,也不能保证每个判断矩阵具有完全一致性。因此

29、,为了保证层次分析法的结论基本合理,还必须对形成的判断矩阵进行一致性检验。为检验判断矩阵的一致性，需要计算他的一致性指标CI和随机一致性指标CR。，式中，n为矩阵阶数。（RI值见附录一 4）。 ，当CR0.1时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则，需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性。通过计算分析，实际得到的判断矩阵是具有一致性的。由此我们可以知道，模型建立具有充分的说服力。同理，也可以验证各风险系数因素权重的CR0.1。6、 模型的应用小王在收入期间，每月用于投资的金额为3000元,又因为小王比较年轻，有固定的职业，月收入为7000元，置产情况较为充足，说以风险承受能力较大0.545。小

30、王愿意承担额外的风险以获取更高的预期受益。对风险量化，由有效组合直线方程确定相应收益率为。于是，风险资产的投资比例为66%。因此，该投资者用于投资的66%投资于风险资产的最优组合，34%投资于无风险资产。因为风险资产的最优组合本身包括67%的股票和33%的保险，最后投资组合的构成如下：长 期存 款中 期存 款短 期存 款股 票保 险投入比重0.19250.12290.02460.44220.2178 表6.1小王有8万元存款，按上述情形进行投资，组合投资收益：小王每月3000元的余款，由于假设13年为中期，所以前两年的月余款可以用于中期投资，收益为：第三年一共收益。总收入为所以，小王需贷款16

31、3442.5元，才能购买40万元的房子。若小王将月余额全部用于投资，则个月后，收益为：此时，贷款本息为（年利率为0.04）：。该月恰好还清贷款，解得,所以共需要9.6年七、模型的评价和推广7.1、模型的优缺点 7.1.1、优点： （1）利用SPSS软件对数据进行处理，并作出各种分析表格，使我们看清楚数据内在的联系；（2）在模型一中对数据进行了多元回归分析，得到拟合方程。这一模型可以推广到更一般的问题中去，凡是有两个以上自变量的都可以用多元回归分析模型进行求解。（3）在模型二中运用层次分析法来进行权重确定，虽然该方法在一定的程度上具有主观性，但是经过一致性检验我们发现，由于主观因素造成的误差我们

32、是可以接受的，而且这种方法方便快捷，在实际应用中具有较强的实用性。(4）本文建立的模型与实际紧密联系，充分考虑现实情况的不同阶段，从而使模型更贴近实际，通用性强； 7.1.2、缺点： （1）在解决模型二时，进行了一定的假设，可能会与实际情况少许出入。（2）在用插值法处理数据中，插值的点不多，拟合的曲线不够精确。 （3）为了简化模型，忽略了一些次要因素，对模型的准确性会有一定影响。7.2、模型的推广： 模型一数据进行插值拟合，具有现实意义，可以适用于方案的银行利率预测，汇率预测的一系列预测模型。 模型二可以用于企业对员工奖金的评定，国家宏观政策的制定。参考资料 1姜启源、谢金星.数学建模案例精选

33、.北京：高等教育出版社，2006年2陈超.精通MATLAB 2008应用程序接口编程技术. 北京：电子工业出版社.2009年3张圣勤MATLAB 7.0实用教程北京:机械工业出版社,20064陈汝栋.数学模型与数学建模.北京：国防工业出版社.2006年5卢纹岱SPSS for Windows统计分析.北京：电子工业出版社.2006年6方旭.BorlandC+3.1实用大全北京：北京航空航天大学出版社。2011年7中华人民共和国国家统计局. 2011-10-30、318东方财富网. / 2011-10-30、319中国人民银行. / 2011-10-30、3110中国证券监督管理委员会. /pub/newsite/ 2011-10-30、3111百度文