人教版八年级数学下册第17章全章教案

1、 .171 勾股定理第 1 课时 勾股定理1经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)(1)ac 的长；(2)s ；abc(3)cd 的长3了解利用拼图验证勾股定理的方法(难点)解析：(1)由于在abc 中，acb 90，ab 13cm ，bc 5cm ，根据勾股定理即可求出 ac 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出 s；(3)根据面积公式得到abc一、情境导入cd ab bc ac 即可求出 cd .解：(1)在abc 中，acb 90，ab 13cm ，bc 5cm ，ac ab bc 22如图所示的图形像一棵枝叶

2、茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？12cm ；(2)s1212 cb ac 512 abc30(cm )；2121(3)s ac bc cd ab ，cd2abcac b c 60 cm.13ab二、合作探究方法总结：解答此类问题，一般是先利探究点一：勾股定理用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据【类型一】 直接运用勾股定理如图，在abc 中，acb 90，ab 13cm ，bc 5cm ，cd ab 于 d ，求：.

3、 .【类型三】 勾股定理的证明探索与研究：面积相等得出一个方程，再解这个方程即可【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用方法1：如图：在abc 中，ab 15，ac 13，bc 边上的高 ad 12，试求abc 的周长解析：本题应分abc 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论对任意的符合条件的直角三角形 abc绕其顶点 a 旋转 90得直角三角形 aed ，所以bae 90，且四边形 acfd 是一个正方形，它的面积和四边形 abfe 的面积相等，而四边形 abfe 的面积等于 rtbae 和rtbfe 的面积之和根据图示写出证明勾股定理的过程；解：此题应分两种情况说明：(1)当abc

4、为锐角三角形时，如图所示在 rtabd 中，bd ab ad 2215 12 9.在 rtacd 中 ， cd 22ac ad 13 12 5，bc 59222214，abc 的周长为 15131442；方法 2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的 rtbea 和 rtacd 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？(2)当abc 为钝角三角形时，如图所示在 rtabd 中，bd ab ad 2215 12 9.在 rtacd 中 ， cd 22解析：方法 1：根据四边形 abfe 面积等于 rtbae 和 rtbfe 的面积之和进行解答；方法 2：根据abc 和 rtac

5、d 的面积之和等于 rtabd 和bcd 的面积之和解答ac ad 13 12 5，bc 9522224，abc 的周长为 1513432.当abc 为锐角三角形时，abc 的周长为 42；当abc 为钝角三角形时，abc的周长为 32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存解：方法 1：sss在的可能情况，可作出相应的图形，判断是正方形acfd四边形abfebae1212s，即 b c (ba)(ba)，整理22否符合题意bfe得 2b c b a ，a b c ；2222222. .方法 2：此图也可以看成 rtbea 绕其角边，根据勾股定理最终能够证明正方形a 、b 、c 、d 的面积和即是

6、最大正方形的面积直角顶点 e 顺时针旋转 90，再向下平移得到sss，sabcdabcacdabcd四边形四边形三、板书设计ss，sssabdbcdabcacdabd1勾股定理12121212s，即 b ab c a(ba)，整理得22bcd如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a b c .b abc a(ba)，b abc aba ，22222222a b c .2222勾股定理的证明方法总结：证明勾股定理时，用几个全“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积

7、和化简整理证明勾股定理3勾股定理与图形的面积探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中课堂教学中，要注意调动学生的积极性让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积 (数)入手，师生共同探究突破本节课的难点所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 a 、b 、c 、d 的面积分别为 2，5，1，2.则最大的正方形 e 的面积是_解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形 a 、b 的面积和为 s ，正方形 c 、d1的面积和为

8、 s ，s s s ，即 s 25121233210.故答案为 10.方法总结：能够发现正方形 a、b、c 、d 的边长正好是两个直角三角形的四条直. .第 2 课时 勾股定理的应用绳问 6 秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?解析：开始时，ac 5 米，bc 13 米，即可求得 ab 的值，6 秒后根据 bc ，ac 长度即可求得 ab 的值，然后解答即可1熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题(难点)解：在 rtabc 中，bc 13 米，ac5 米，则 ab bc ac 12 米.6秒后，22bc 13 0.56 10

9、米 ， 则 ab bc ac 5 3(米)，则船向岸边移动的22一、情境导入距离为(125 3)米方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 b 处，恰好一只在a 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 a处爬向 b 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地 a 点出发，沿北偏东 60方向走了 100 3km 到达 b 点，然后再沿北偏西 30方向走了 100km 到达目的地 c 点 ，求出 a、c 两点

10、之间的距离二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】 勾股定理在实际问题中的应用解析：根据所走的方向可判断出abc是直角三角形，根据勾股定理可求出解如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 bc的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收. .解： ad be ，abe dab 60.cbf 30， abc 180abe cbf 180603090.在rtabc 中，ab 100 3km ，b c 100km ，如图所示，蚂蚁爬行最短路线为 am ，am 10 （205） 5 29(cm)，如图22所示，蚂蚁爬行最短路线为 am ，am ac ab bc

11、（100 3） 100222220 （105） 25(cm)5 2925，22 200(km)， a 、c 两点之间的距离为200km.第二种短些，此时最短距离为 25cm.答：需要爬行的最短距离是 25cm.方法总结：先确定abc 是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出 ac 的长方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，【类型三】 利用勾股定理解决立体图形最短距离问题考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值

12、即可如图，长方体的长 be 15cm ，宽ab 10cm ，高 ad 20cm ，点 m 在 ch 上，且 cm 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 a 爬到点 m ，需要爬行的最短距离是多少？【类型四】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算解：分两种情况比较最短距离：如图，四边形 abcd 是边长为 9的正方形纸片，将其沿 mn 折叠，使点 b 落在 cd 边上的 b处，点 a 的对应点为 a ，且bc 3，则 am 的长是(). .到 c ，已知两猴子所经过的路程都是 15m ，求树高 ab .解析：在 rtabc 中，b90，则a 1.5d 2.5b 2c 2.25满足 ab bc

13、 ac .设 bc am ，ac bm ，222ad xm ，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出 x的值，即可计算树高解析： 连接 bm ，mb 设. am x，在rtabm 中，ab am bm .在 rtmdb 222解：在 rtabc 中，b90，设 bcam ，ac bm ，ad xm.两猴子所经过的路程都是 15m ，则 10axb15m.a5，b15x.又在 rtabc 中，由勾股定理得 (10x) a b ，(10x) 5 中，md db .mb mb ，ab am2222bm bm md db ，即 9 x (9222222x) (93) ，解得 x2，即 am 2

14、.故选2222222b.(15x) ，解得 x2，即 ad 2 米ab2方法总结：解题的关键是设出适当的线ad db 21012(米)答：树高 ab 为 12 米段的长度为 x，然后用含有 x 的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解【类型五】 勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用探究点二：勾股定理与数轴如图所示，数轴上点 a 所表示的数为 a，则 a 的值是()如图，在树上距地面 10m 的 d 处有两只猴子，它们同时发现地面上 c 处有

15、一筐水果，一只猴子从 d 处向上爬到树顶 a处，然后利用拉在 a 处的滑绳 ac 滑到 c 处，另一只猴子从 d 处先滑到地面 b，再由 b 跑a. 51 b 51c. 51 d. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜. .边长，再根据两点间的距离公式即可求出a点的坐标图中的直角三角形的两直角边为1 和 2，斜边长为 1 2 5，122到 a 的距离是 5.那么点 a 所表示的数为 51.故选 c.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点 a 的位置，再根据 a 的位置来确定 a 的值三、板书设计1勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想

16、2勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者. .172 勾股定理的逆定理第 1 课时 勾股定理的逆定理1能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；(难点)a 直角三角形 b 锐角三角形c 钝角三角形 d 以上答案都不对解析：正方形小方格边长为 1，bc3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系(重点) 5 5 5 2，ac 3 3 3 2，2222ab 2 8 68.在abc 中，bc 22

17、2ac 501868，ab 68，bc ac2222ab ，abc 是直角三角形故选 a.2一、情境导入方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的 13 个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系你知道这是什么道理吗？如图，已知在正方形 abcd 中，1二、合作探究ae eb ，af ad .求证：ce ef .4探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】 判断三角形的

18、形状如图，正方形网格中的 abc ，若小方格边长为 1 ，则 abc 的形状为解析：根据题设提供的信息，可将需证(). .不是勾股数；一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明证明：连接 cf .设正方形的边长为 4，【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题四边形 abcd 为正方形，ab bc cd1如图，在四边形 abcd 中，b90，ab 8，bc 6，cd 24，ad 26，求四边形 abcd 的面积da 4.点 e 为ab 中点，af ad ，ae4be 2，af 1，df 3.由勾股定理得 ef21

19、 2 5，ec 2 4 20，fc 4 22222223 25.ef ec fc ，cfe 是直角2222三角形，且fec 90，即 ef ce .方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此解析：连接 ac ，根据已知条件可求出ac ，再运用勾股定理可证acd 为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形 abcd 的面积定理也是判定垂直关系的一个主要的方法【类型三】 勾股数判断下列几组数中，一定是勾股解：连接 ac .b 90，abc 为数的是()直角三角形， ac ab bc 8 6 22222a 1， 2， 3b 8，15，171

20、0 ，ac 10.在acd 中，ac cd22223 4c 7，14，15 d. ， ，15 5100576676，ad 26 676，ac22解析：选项 a 不是，因为 2和 3不是cd ad ，acd 为直角三角形，且22acd 90.sss正整数；选项 b 是，因为 8 15 17 ，且222abcdabcacd四边形121268 1024144.8、15、17 是正整数；选项 c 不是，因为 723 45 5方法总结：将求四边形面积的问题可转14 15 ；选项 d 不是，因为 与 不是正22化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角整数故选 b.方法总

21、结：勾股数必须满足：三个数度，三边长度等必须是正整数，例如：2.5、6、6.5 满足 a2探究点二：互逆命题与互逆定理b c ，但是它们不是正整数，所以它们22. .写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题(1)两直线平行，同旁内角互补；在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主激励学生回答问题，激发学生的求知欲课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是 60的三角形是等边三角形解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将

22、其互换即可得原命题的逆命题解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；(3)内错角相等，假命题；(4)等边三角形有一个角是 60，真命题方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可三、板书设计1勾股定理的逆定理及勾股数如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2b c ，那么这个三角形是直角三角形222互逆命题与互逆定理. .第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用得bea ，连接 ep ，判断ape 为直角三角形，且ape 90，即可得到apb 的度数1进一步理解勾股定理的逆定

23、理；(重点)2灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题(难点)解：abc 为等边三角形，ba bc .可将bpc 绕点 b 逆时针旋转 60得bea ，连 ep ，be bp 4，ae pc 5，pbe 60，bpe 为等边三角形，pepb 4，bpe 60.在aep 中，ae 5，ap 3，pe 4，ae pe pa ，ape一、情境导入222某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行 16 海里，“海天号”每小时航行 12海里，它们离开港口 1 个半小时后相距 30为直角三角形，且ape 90，apb 9060150.方

24、法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理解决问题海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？二、合作探究的关键是根据题意构造 ape 为直角三角形【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度在abc 中，d 为 bc 边上的点，ab 13，ad 12，cd 9，ac 15，求 bd的长如图，已知点 p 是等边abc 内一点，pa 3，pb 4，pc 5，求apb 的度数解析：根据勾股定理的逆定理可判断出解析：将bpc 绕点 b 逆时针旋转 60 acd 为直角三角形，即 adc ad

25、b. .ab bc 8 6 64 36 100.又222290.在 rtabd 中利用勾股定理可得出bd 的长度ac 9 81 ， ab bc ac ，22222abc 90，该农民挖的不合格方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断解：在adc 中，ad 12，cd 9，ac 15，ac ad cd ，adc 是222直 角 三 角 形 ， adc adb 90，adb 是直角三角形在 rtadb 中，ad 12，ab 13，bd ab ad 一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答225，bd 的长为 5.【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决方位角问题方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中如图，南北向 mn 为我国领海线，即 mn 以西为我国领海，以东为公海，上午9 时 50 分，我国反走私 a 艇发现正东方有一走私艇以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在 mn 线上巡逻的我国反走私艇 b 密切注意反走私艇 a 和走私