代数方程复习(教师版讲义)

1、.基本容代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。二项方程：一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。其一般式为axn+b=0(其中a0,b0,n为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax4+bx2+c=0(a0)无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1.一元一次方程和一元二次方程的解法2.含字母系数的整式方程的解法3.特殊的高次方程的解法（1）二项方程axn+b=0(a

2、0,b0)的解法二项方程的定义：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。关于x的一元n次二项方程的一般形式是word资料axn+b=0(a0,b0,n是正整数)二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程axn+b=0(a0,b0)可变形为xn=-.ba可见，解一元n次二项方程，可以转化为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。二项方程的根的情况：对于二项方程axn+b=0(a0,b0)，当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。当n为偶数时，如果ab0，那么方程没有实数根。（2）双二次方程的解法双二次方程的定义：只含有偶

3、数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。关于x的双二次方程的一般形式是ax4+bx2+c=0(a0)双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如ax4+bx2+c=0(a0,b0,c0)的双二次方程。就是用y代替方程中的x2，同时用y2代替x4，将方程转化为关于y的一元二次方程ay2+by+c=0。解这个关于y的一元二次方程即可。（3）因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。三、可化为一元二次方程的分式方程的解1适宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通过方

4、程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。解分式方程要注意验根！2.适宜用“换元法”的分式方程word资料.适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法四、无理方程的解法解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。解无理方程一定要验根！在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。1.只有一个含未知数根式的无理方程当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平

5、方，将这个方程化为有理方程。2.有两个含未知数根式的无理方程当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。3.适宜用换元法解的无理方程如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。(6)1一、巩固训练：已知下列关于x的方程：（1）x2+5x+1=0;(4)a-1+2x=7;(2)x2+5x+1=0;(5)x+1=2;x(3)x+1-7=0;x+=3.x+32-x其中无理方程是_，分式方程的是_整式方程的是_。word资料.二、热身练习解下列方程：

6、(1)bx2=x2+1(b1)(2)6x3-18=1(3)(y-2)4-17=0（4）x4-9x2+14=0(5)6xx2-1+x-15x+4=x+1（6）3xx2-1+x2-1x=722x=12,x=2,x=-1123x=67x=2y=2y=1（7）3-2x-3=x;x=2x2-xy-6y2=0（9）x2+8xy+16y2=47word资料（8）x+2-x=14x=1.三、列方程解应用题+1=y=41、小杰与小丽分别从相距27千米的a、b两地同时出发相向而行，3小时后相遇.，相遇后两人按原来的速度继续前进，小杰到达b地比小丽到达a地早1小时21分，求两人的行进速度分别是多少？解：小杰的速度为

7、x千米/小时，小丽的速度为y千米/小时3x+3y=27x=5272127解得x60y精解名题例题1.解下列关于x的方程（1）(3a-2)x=2（3-x）（2）bx2-1=1-x2（b-1）解（1）去括号，得3ax-2x=6-2x移项，得3ax-2x+2x=6合并同类项，得3ax=6当a0时，方程是一元一次方程，解得x=2a；当a=0时，方程变成0x=6，这时不论x取什么值，等式0x=6都不成立，因此方程无解。所以，当a0时，原方程的根是x=（2）移项，得bx2+x2=1+1合并同类项，得（b+1）x2=2因为b-1，所以b+102a；当a=0时，原方程无解。两边同除以b+1，得x2=2b+1当

8、b+10时，由方程解得x=2b+2b+1；当b+10时，方程中2y时，-5x+50003x+4680，x40；ab当yy时，-5x+500040ab当x=40时，y=y即两地运费相等；ab当0xy即b地运费较少；ab当40x200时，yy即a地费用较少abword资料.例10.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?解：设所围矩形abcd的长ab为x米，则宽ad为依题意，得即，解此方程，得米墙的长度不超过45m，不合题意，应舍去当时，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，

9、能使矩形的面积为750m不能因为由得1.解方程：x又(80)2411620=800，上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2巩固练习2-=1x-1x+1分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以(x+1)(x-1)，得x2+x-2(x-1)=(x+1)(x-1)，x=3经检验：x=3是原方程的根word资料2.解方程x+1.x+6x+2x+5+=+x+2x+7x+3x+6分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现(x+6)(与x+7)(、x+2)(与x+3)的值相差1，而分子也

10、有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。解：原方程变形为：x+6x+5x+2x+1-=-x+7x+6x+3x+2方程两边通分，得11=(x+6)(x+7)(x+2)(x+3)所以(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)即8x=-36x=-92经检验：原方程的根是x=-92。3.解方程：6y+12y2-4y2-+=0y2+4y+4y2-4y+4y2-4分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：6(y+2)(y+2)(y-2)y2

11、-+=0(y+2)2(y-2)2(y+2)(y-2)约分，得6y+2y2-+=0y+2y-2(y+2)(y-2)方程两边都乘以(y+2)(y-2)，得6(y-2)(y+2)2+y2=0整理，得2y=16y=8经检验：y=8是原方程的根。注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。word资料4若解分式方程2xm+1x+1-=x+1x+xx.产生增根，则m的值是（）a.-1或-2b.-1或2c.1或2d.1或-2分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：(x=0或x=-1，化简原方程为：2x2-(m+1)

12、=+x1)2，把x=0或x=-1代入解得m=1或-2，故选择d。由题意得：608042x+yx-y40+70=75.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，66=xx+260x+120=66xx=20经检验：x=20是原方程的根x+2=22答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千

13、米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时+=7由题意，得x+yx-yword资料经检验：是原方程的根y=3.x=17解得：y=3x=17答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。7.m为何值时，关于x的方程2mx3+=x-2x2-4x+2会产生增根？解：方程两边都乘以x2-4，得2x+4+mx=3x-6整理，得(m-1)

14、x=-10当m1时，x=-10m-1（2）若x=-2，则-=-2m=6如果方程产生增根，那么x2-4=0，即x=2或x=-2（1）若x=2，则-10=2m=-4m-110m-1（3）综上所述，当m=-4或6时，原方程产生增根说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根8.某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务求改进操作方法后，每天生产多少件产品？解：设改进操作方法后每天生产件产品，则改进前每天生产件产品依题意有整理得解得或时，舍去答：改进操作方法后每天生产60件产品自我测试1.甲、乙两地相距s千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的

15、速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）a.sba+ba+bb.s-avs-avc.d.2sa+b=1-有增根，则m的值等于（）2.如果关于x的方程word资料2mx-3x-3.a.-3b.-2c.-1d.3（1）+=23.解方程：1111xx+10()+1(x+2)(x+2)(x+3)(x+9)(x+10)（2）+xx2x4x+1-x1+x1+x21+x4=04.求x为何值时，代数式2x+912-的值等于2？x+3x-3x5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数

16、的两队单独完成各需多少天？23，求甲、乙参考答案1.由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为（s-av）千米。又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为s-avb千米/小时，应选b。2.把方程两边都乘以x-3，得2=x-3-mword资料x=5+m.+若方程有增根，则x=3，即53m=m=-2应选b。3.（1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用即用“互为相反数的和为0”将原方程化简111=-n(n+1)nn+1裂项，+-+-+-=2解：原方程可变为1111111x+10x+1x+2x+2x+3x+9x+101x+1=2即2x+2=1x=-12经检验：原方程的根是x=-12（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法解：x(1124+1-x1+x1+x21+x4)=01124因为其中的+1-x1+x1+x21+x4=1+x+1-x24+1-x21+x21+x44.解：由已知得2x+9224=+1