δ函数在物理学中的应用研究

1、毕业论文题 目： 函数在物理学中的应用 学生姓名： 李梅 学生学号： 090841026 系 别： 物理系 专 业： 物理学 届 别： 2013届 指导教师： 潘营利 函数在物理学中的应用研究系别：物理与电子信息系作者: 李梅指导老师：张春早摘 要：研究函数在物理学中的应用是利用数学方法处理物理问题的一个典例。作为奇异函数的一种，它在解决物理问题时显示了其特有的优越性。本文在介绍函数定义及性质的基础上，分析了函数的物理意义，着重讨论了函数在物理学中的应用。列举了它在不同物理学科中的应用，从而对函数有更加全面的认识,以期对物理问题的数学处理有更高层次的理解和认识。关键词：函数；安培环路定理；杨氏

2、干涉；归一化；势The application research of Delta function in physicsDepartment: Physics and Electronic Information DepartmentAuthor：Li MeiTutor：Zhang ChunzaoAbstract: Delta functions is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems i

3、t demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of function, based on analysis of the physical meaning of function, focusing on the function in the application of physics. It cited the application of different physical disciplines, and thus function has a more c

4、omprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.key words: function; Amperes cycle law; Youngs interference; normalization; potential前言在物理学中经常要处理一些包含某种无穷大的量以及不连续函数的微分等问题，因而引入一种特殊的函数。这种函数最初于本世纪三十年代，由英国著名物理学家狄拉克（P.A.Dirac

5、）在量子力学研究中引入和定义的，即是现在的函数。由于函数的一些特殊性质，例如局部无限突变，整体积分有限性等，为我们解决一些抽象的物理问题提供了一种量化模型，从而使复杂的问题变得简单。在电磁学，电动力学，光学，量子力学，电路等物理学的几大分支领域中我们都能看到它的身影。在物理学与数学联系日益密切的今天，大量的物理问题需要借助数学手段辅以解决，这无疑对我们用数学方法处理物理问题提出了更高的要求。本文介绍了函数在物理学中的广泛应用，希望通过这些能够给我们今后解决物理问题提供一种新的思路，使我们能够更加灵活变通的运用知识。1 函数的介绍1.1 函数的定义在经典意义下，函数的传统定义【1】是 （1） （

6、2）即函数的定义必须同时满足（1）和（2）两式。数学性质上函数是很奇异的，没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布。在物理上是一种理想的点模型。函数除有一维形式，还有二维、三维等多维形式，这里只简单介绍二维形式： 1.2 函数的性质函数的性质【1】有：1、是偶函数,它的导数是奇函数 2、研究积分. 从函数的定义易知,当积分上限,积分值为0；当，积分值为1.称为阶跃函数或亥维赛单位函数。从而是的原函数，是的导数，.淮南师范学院2010届本科毕业论文 33、函数的挑选性，证明：对于任何， 根据1.1节（2）式，上式右边第一、三项为0.对中间一项应用中值定理，

7、然后应用1.1节（2）式，即得其中为区间上的某个数值。4、5、函数的归一性，1.3 函数在物理学中的重要意义在物理学和工程技术中，经常要考察质量、能量在空间或时间上高度集中的各种象。例如，在电学中，要研究线性电路受到具有脉冲【2】性质的电势作用后所产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力后的运动情况等。对于这类现象，人们设想了诸如质点、点电荷、偶极子以及瞬时源、瞬时脉冲、瞬时打击力等物理模型，函数就是专门用来描述这类物理模型的数学工具。例一：表示质点密度【3】设有一质量为m的质点，置于轴上的点，则质点沿轴的分布密度可以表示为验证：，且.例二： 表示脉冲电流设在电流为0的电路中，与时刻通入电

8、量为的脉冲，电路中的脉冲电流可以表示为 验证：，且.例三：表示持续力对于的持续力，将时间区间划分为许多小段，其中小段中的力的冲量可以表示为 .由于取得很小，在这时间作用的瞬时力可表示为，所以作用的持续力可以看作是这些瞬时力的积累，即 .2 函数在物理学中的应用2.1 函数在证明电磁学两大定理中的应用高斯定理和安培环路定理是电磁学中的两个重要定理。在教学中，它们既是重点，又是难点。而证明这两个定理【4】的正确性，则是理解和掌握它们的前提。大多电磁学教材中都是用无穷长载流导线的特例得出安培环路定理，然后说这个定理是普遍成立的，但不做证明。只有少数较深的教材给出了证明归结起来有三种：磁壳法，矢位法【

9、5】和立体角法。繁琐而且不易理解。而高斯定理的证明则是通常的立体角法【5】，也较繁琐。本文借助函数的性质，用解析方法简洁证明了两大定理，方法简单，推导严密，便于理解。2.1.1 用函数证明安培环路定理 如图1，在有电流的闭合回路中任一点处的电流密度为，则由毕奥-萨伐尔定律【6】知，该回路中的电流在空间点产生的磁感应强度为 （1） 图1 B沿回路L的积分曲线示意图式中是源点位矢; ,为源点到场点的位矢,把对任意闭合回路求线积分,即得 （2） 由（1）式可得 （3）又因为 由于算符是对的微分算符,与无关,故上式右端第一、四项为0,所以上式右边第一项为0，因为 上式中，由于积分区域包括所有的电流在内

10、，没有电流流过区域的界面，因而上式中面积分为0；由于算符不作用于，故上式右端的体积分也为0.所以， 综上得：这正是安培环路定理。2.1.2 用函数证明高斯定理 如图2，为空间位置处的点电荷，设为空间任一闭合曲面，为上的定向面元，以外法线方向为正向，通过闭合曲面的电通量则为，故有 （注：若为空间某点处的位矢，为到空间任一点处的距离，则有）由此可得，若空间分布有多个电荷，则电场通过任一闭合曲面的电通量等于面内的总电荷除以，即 图2 电通量图这正是高斯定理，证毕。淮南师范学院2010届本科毕业论文 72.2 函数在电动力学中的应用上章我们介绍过了函数的性质，了解了它具有局部无限突变性和整体有限性的基

11、本特点，将电动力学中的点、线、面分布电荷、电偶极子的体电荷密度以及线电流和面电流的电流密度用函数表示出来，使这些抽象的电磁模型能够准确地量化表示。 例：个点电荷构成的体系的电荷密度为： 其中为第个点电荷所处的空间位置矢量。电荷均匀地分布在半径为的球面上的电荷密度： ；半径为总电荷为的带电圆环的电荷密度： ； 为均匀分布在半径为的圆柱上的电荷密度； ，其中为单位长度上的电荷； 电荷均匀地分布有半径为的圆盘面上的电荷密度： ；。 此外，我们还可以利用函数去推证电磁定理。求解达朗伯方程时，可利用函数的性质来验证解的正确性。在电动力学中很多抽象描述产生的局部无限突变而整体有限的问题，原则上都可采用函数

12、的各种对应函数式和积分式来解决。2.3 函数在两大光学实验中的应用 函数在物理学中的引入，可以把物理学中许多“点”、 “线”概念用一个确切的函数表示出来，如光学中的点光源、线光源，以及物点、像点等。点光源所占有的空间体积是很小的，但不能认为它的体积为0.如果体积为0，光源就不存在了。由于点光源具有一定的辐射功率，并且占有的空间体积很小，所以在这小范围内功率密度就会很大。当点光源占有的空间体积趋于0时，功率密度趋于无穷大。这种情形以函数来描述是恰当不过了。2.3.1 函数在杨氏干涉实验中的应用 如图3所示，单位振幅的单色平面波垂直照射开有两个小孔的不透明屏（平面），两小孔的直径很小（故称为针孔）

13、，相距为。为确定起见，取两小孔的坐标分别为 和。观察两小孔产生的杨氏干涉条纹则在平面，在通常的实验布置中它与小孔的距离是。相对于两小孔的宽度而言，这一距离完全可视为小孔衍射的远场。为计算远场平面上的光强分布，可把通过两小孔的光波的复振幅分布以函数表示。在上述坐标下，通过两小孔的光波的复振幅分布为： 它与远场平面上的复振幅分布有一个傅里叶变换关系，即除了一个二次位相因子以外，平面上的复振幅分布就是平面上复振幅分布的傅里叶变换【7】。并且，平面上的光强分布，故淮南师范学院2010届本科毕业论文 9式中是傅氏变换的空间频率，是光波波长，是与平面间的距离。又因为 及，所以上式又可写为 式中是点的光强。

14、上式与一般光学书中计算出的杨氏干涉的光强分布完全相同。 图3 杨氏干涉实验装置2.3.2 函数在夫琅和费衍射实验中的应用图4是一个典型的夫琅和费开孔衍射布置图。其中A是开孔，可以是圆孔、矩孔、狭缝或其他形状孔，L是会聚透镜，F是开孔夫琅和费衍射的接收平面，也是透镜L的焦平面。设开孔受单位振幅的单色平面波垂直照射，那么通过开孔的光波的复振幅分布函数就是开孔函数（亦称光瞳函数），而F平面上的光强分布与开孔函数的傅氏变换的平方成正比，两者只差一个常数因子。众所周知，当开孔是一个圆孔时，F平面上的光强与一个一阶第一类贝赛尔函数的平方成正比，衍射图样为一个爱里斑，周围环绕着一些亮暗圆环形条纹。当圆孔为极

15、大（相应地透镜L也极大），以致可把它视为无穷大时，衍射图样缩小为一点。这一物理过程，我们可以用函数把它确切地表示出来，事实上，当圆孔极大和相应地透镜L也极大时，平面波通过圆孔后的复振幅分布函数可视为1，即=1，而常数1的傅氏变换，正好表示当圆孔和透镜无穷大时衍射图样缩小为一点这一物理过程。 图4 夫琅和费开孔衍射布置图2.4 函数在量子力学中的应用2.4.1 函数在归一化问题中的应用量子力学中最常见的几个力学量是：位置，动量，角动量和能量，其中位置（坐标）和动量的取值（本征值）是连续变化的，角动量的本征值是分立的，而能量的本征值则兼而有之（视边界条件而定）。下面我们将看到，连续谱的本征函数是不

16、能归一化的。以动量本征态为例。一维粒子的本征值为的本征函数（平面波） 可以取中连续变化的一切实数值。不难看出，只要， 即是不能归一化的。这结论是容易理解的，因为描述的状态下，几率密度为常数，即粒子在空间各点的相对几率是相同的。在范围中找到粒子的几率。只要，在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。 为处理连续谱本征函数【8】的“归一化”，如在数学上不过分严格要求，引入Dirac的函数是十分方便的。由函数的定义可知： （1） 或等价地表为：对于在邻域连续的任何函数， . （2） 淮南师范学院2010届本科毕业论文 13淮南师范学院2010届本科毕业论文 11按照Fourier积分公式，对于分段连续函数

17、， ， （3）比较式（2）与（3），函数也可表示成： 因此，若取动量本征态为 则 这样平面波的“归一化”，就用函数的形式表示出来。位置本征态也是不能归一化的，也可类似处理，利用函数的性质即 可以看出正是位置的本征态，本征值为，记为利用函数性质，有同样也用函数来表述其“归一化”。2.4.2 势在量子力学中的应用 通过势的穿透以及势阱中的束缚态的介绍，可以进一步了解函数在物理中的应用。 一、势的穿透 设有质量为的m的粒子（能量E0）从左入射，碰到势垒（图5） （1）定态方程表为 X 0 图5 势垒 （2）是方程的奇点，在该点不存在，表现为在点不连续。对方程（2）积分，可得 （3）所以在点一般是不连

18、续的（除非）。（3）式称为势中的跃变条件。在处，方程化为： （4）它的两个线性独立的解的形式为，考虑到从左入射的假定，与方势垒的穿透相似，本题的解仍可表为 （5）但边界条件有所不同。根据点连续以及跃变条件（3），有 ， （6） （7） 削去R，得淮南师范学院2010届本科毕业论文 13 （8）而 （9） 由于入射波的波幅已取为1，所以透射系数= 反射系数= 显然。讨论： 1、如势垒换成势阱，透射及反射系数的值不变，仍如上式所示。 2、势的特征长度【8】为，特征能量为。透射波的波幅（见式）只依赖于即入射粒子波长与势的特征长度之比。而透射系数只依赖于特征能量与入射粒子能量之比。当时，即高能极限下粒

19、子将完全穿透势垒。 二、势阱中的束缚态 考虑粒子在势阱 （图6） （1）中运动。在处，。所以为游离态，可以取一切实数值，是连续变化的，时则可能存在束缚定态，只能取分立值。以下讨论情况。 图6 势阱定态方程表为： （2） 积分，可得出的跃变条件 （3） 在区域，方程（2）化为 （4） （5）方程的解的形式为。考虑到，要求束缚定态（不简并）具有确定宇称，讨论略。2.5 小结本章通过函数在物理学几个分支学科中的应用举例，使我们对函数在物理学中的应用研究有了更深入的认识。作为一种特殊的函数，它在解决某些问题时有其明显的优势。3 函数解决物理工程问题一、 函数问题的提出直接用下列条件来定义函数 I ，

20、淮南师范学院2010届本科毕业论文 15 II 淮南师范学院2010届本科毕业论文 15之后指出，可以用脉冲 阶跃函数可以看作是函数的积分，即 不能证明表达式是必然的，却仍然承认它是有效的，解题时也证明它是很有用的。以上的叙述说明，我们是在对函数理解并不很充分的情况下，大胆用它去解决问题的。I、II两式作为函数的定义是不严格的。它的优点是定义的引入自然，读者易于接受。也许，这正是它的缺点。物理和工程书刊中强调指出是定义函数，普通函数的性质和定理不能随便应用到函数的运算中去。二、函数定义的剖解 函数是广义函数，现代数学中已有精确的定义。一般非数学类理工科教科书难以作系统的阐述。函数是一类新函数的记号。如果将函数理解为普通函数，那么，作为定义函数