专题数列求和的基本方法和技巧(20210428095819)

1、数列求和的基本方法与技巧、利用常用求和公式求和:解：由log 3 x1log 2 3logaxlog 3 2由等比数列求和公式得Sn X X2 X3xn（利用常用公式）x(11xn)利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列求和公式：Snn(a1 an)na1n(n1)d22ng(q1)2、等比数列求和公式：Sna1(1 qn)a1anq(q1)1 q1qn 1n213、Snk n(n 1)4、Snkn(n 1)(2 n 1)k 12k 165、n 312Snk n(n1)k 12例11已知log3 x，求x23x xnx的前n项和log 2 3例 2设 Sn = 1

2、+2+3+ +n , n N*,求 f (n)解：由等差数列求和公式得Sn1），Sn|(n 1)(n 2)（利用常用公式）f(n)Sn=n(n 32)Sn 1 n2 34n 64n 34648)250丄50当 jn 孚，即 n = 8 时，f（n）max 丄弋850二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项 是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列an bn的前n项和，其中 an卜 bn 分别是等差数列和等比数列。例 设数列an满足內2,ani an 322n1，（ 1）求数列 為 的通项公式；（2 ）令bn nan，求数列的前

3、n项和Sn解：（I）由已知，当n 1时，an 1(a n 1an)(anan 1 )III (a2aj a13(22n 1?2n 3III2) 22(n 1) 12 。而a12,所以数列aIn的通项公式为an22n 1 o(U)由bn rianMn 1n 2知Sn1 22 23 3 25川n?2n 1从而22Sn1 232 253 27III n 22n1-得(122)Sn2 2325 IIIMn 12n22n 12o1即Sn _(3 n2n1)21 29例3求和：Sn1 3x 5x27x3(2n1)xn 1.解：由题可知，（2n 1）xn1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn 1的通

4、项之积设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn（设制错位）2xn 1 (2n 1)xn(错位相减)再利用等比数列的求和公式得：（1 x）Sn 12x1 xn11 x(2n1)xno (2n 1)xn 1(2n 1)xn2(1 x)(1 x)例4求数列2笃，2，,绎，前n项的和。2 22 232n务的通项是等差数列2n的通项与等比数列4歹423一得（1丄02解：由题可知,1二的通项之积2设Sn2Sn222226歹6242n歹2nSn2n2歹1盯n 2.（设制错位）2 22 22n尹2 2nnn 12 2（错位相减）一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4三、倒序相加法

5、求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n个（印an） o例 5求证：Co 3Cn 5C：（2n 1）C； （n 1）2n证明：设 Sn C0 3Cn 5C2(2n 1)C：把式右边倒转过来得Sn (2n 1)C： (2n 1)C： 13C： C0(反序)又由cm c：m可得Sn (2n 1)C (2n 1)C：3C： 1 C： 加） + 得2Sn (2n 2)(C0 C：C；1 C：)2(n1) 2n（反序相Sn (n 1)2n例 6求 sin21 sin22 sin2 3sin2 88 sin2 89 的值解：设 S

6、 sin21sin 2 22sin 32 2sin 88 sin 89将式右边反序得S sin2 89sin2 882c 2 c- 2sin 3sin 2sin（反序）又因为 sin x2 2cos(90x),sin x cos x 1+得（反序相加）2S (si n21cos21 ) (sin2 2 cos2 2 )(sin2 892cos 89 ) = 89 S = 44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。形如:an是等差数列;an n其中bn是等比数列;anf n ,n 2k

7、1, g n , n 2k, k N例已知数列an的通项公式为an2n 3n1,求数列an的前n项和.解：Sna1 a2an212252n 3n2n3n 121 2n1 2n 2 3n 12c n 132=2_n22.例7求数列的前n项和:1解：设 Sn (1 1)(-a4)(1n 1a(丄a3n3n2)将其每一项拆开再重新组合得1 1Sn (12a a1F)(1a3n2)（分组）当a _ 1时，Sn(3n1)n(3n1)nn_2（分组求和）当a 1时，Sn1丄a_1 1a(3n 1)n a a1 n2_ a 1(3n 1)n例 8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和。解：设 ak k(k

8、 1)(2k1) 2k33k2 k111n32(2k3 3k2 k)k 1nSn k(k 1)(2k 1) _k 1将其每一项拆开再重新组合得nSn = 2k 1k3k2k _ 2(13 23n3) 3(1222n2) (1n）（分组）2 2_ n (n 1)_ 2n(n 1)(2 n 1)n(n1)2（分组求和）2 n(n 1) (n2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 .裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从an an 1得其和.适用于类似（其中an是

9、各项不为0的等差数列，c为常数）的数列, 部分无理数列和含阶乘的数列等.用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项方法。通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)Sin1-cos n cos(n” tan(n 1)tan nan1n(n 1)(4)anan n .( 6)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 1 12(2n 1 2n 1)1(7) ann(n 1)(n 2)2 n(n 1) (nG(8) ann 2n(n1)丄2n n(n 1)2(n 1) n 1n缶则Sn 1浪例已知等差数列an满足：a3 7，a5a726 ,an的前n项和为Sn （I）求an及Sn ；1令bn

10、=a（n N*），求数列bn的前n项和Tn .解：（I）设等差数列an的公差为d，因为a37,a5 a726，所以有冃 2d 7 ，解得 a13,d2 ,2a1 10d261所以an 3(n1)=2 n+1 ;Sn=3 n+叫巴222 = n +2n。（U）由（I）知 an 2n+1，所以bF1 = 1(2n+1)21= 4111= ( n(n+1)4 n)，n+1所以Tn = 4 (1-2 + 2 1+|H-薔1 1)=4(1-)=n n+14(n+1)即数列bn 的前n项和=侖。例9求数列解：设an则Sn的前n项和。（裂项）（裂项求和）(32)(- n 1 n)例10 在数列an中，an汁

11、，又 bnanan 1求数列bn的前n项的和.2解:an二 bnn 1 n 12 1 8(- n n 1 n2（裂项）数列bn的前n项和Sn 8(111 1-)( ) 22 311)1(38nn 11)1(-n（裂项求和）例 11cos0 cos1cos1 cos 2cos88 cos89111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1-tan(n 1)tan ncos n cos(n 1)111111解：设Scos1 cos2cos88 cos89cos0 cos1cos1sin21（裂项）（裂项求和）1_ (tan 1 sin 1tan 0 ) (tan 2tan 1 ) (tan 3tan 2 )tan 89 tan 88 1_ (tan 89 sin 11tan0) _ 而cot 1 cos1sin21原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的 和时，可将这些