专题复习一集合与简易逻辑

1、专题一 集合、常用逻辑用语第一讲：4课时高考热点一：集合命题方向：1以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算 2利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围3. 以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算真题感悟，自主突破:1. ( 12年江苏)已知集合 A=1,2,4,B=2,4 ,6,贝U A U B=2. (10年江苏)设集合 A= 1, 1 , 3, B = a +2, a2+4，且 A n B= 3,则实数 a 得，(x x2)2 + (y y2)2 0,3x 4y 0的区域为圆心，半径 为1的圆内部分，如图中阴影部分所示，其 面积为 5+ 6+ 4+

2、 3 +n= 18+n解析：3 B, a+2=3,a=1.3. ( 09年江苏)已知集合 A = 刈og2x w 2 , B= ( a, a)，若A B,则实数a的取值 范围是(c, +a)，其中c=解析：由log 2 x 2得0 x 4,A (0,4 ；由A B知a 4，所以C 4。典型题例，精析巧解:1. (14 年山东)设集合 A= x|x 1|V 2 , B同类拓展，变式训练:1. 设集合 A= (x,y) |y= -4x +6 , B= ( x,y)|y= 3x -8,贝U An B=2. 设集合 M=2 , x2 , N =2 , x,若 M =N ,贝 y x=3. 设集合 A=

3、 x|x a|v 1,x R , B= x|1v x v 5,x R ,若 A n B =y|y= 2x, x 0,2，贝U An B=解析：由 |x 1|v2? 2v x 1 v 2,故 1 v xv 3,即集合A = ( 1,3).根据指数函 数的性质，可得集合 B = 1,4.所以 A n B = 1,3).2. 已知集合 A= x|xv a, B= x|1v xv 2, 且AU (?rB)= R，则实数a的取值范围是 解析：由于A U (?RB)= R, B? A , a 23在平面直角坐标系中，A = (x, y)|x2+ y2w 1 , B= (x, y)|xw 4, y 0,3x

4、 4y 0, 则 P= (x, y)|x= x1 + x2, y = y1 + y2, (x1, y1) A, (x2, y2) B所表示的区域的面积 为解析由 x= x1 + x2, y= y1 + y2,得 x1 = x x2, y1 = y y2 ,因为(x1 , y1) A,所以 把 x1 = x x2 , y1 = y y2 代入 x2+ y2w 1 可，则实数a的取值范围是 4. 已知集合 A= （x,y）|y= 49 x2, B= （x,y）|y = x+ m，且A A BM ?，则实数 m的取值 范围是解析：集合A表示以原点为圆心，7为 半径的圆在x轴及其上方的部分，A A B

5、M ?, 表示直线y= x+ m与圆有交点，作出示意图 可得实数m的取值范围是7, 7 2 高考热点二命题及逻辑连结词命题方向1命题的四种形式及命题的真假判断2 复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何不等式结合.真题感悟，自主突破:1 （12年湖南）命题若a= ，则tan a= 1 ”4的逆否命题是解析：由命题与其逆否命题之间的关系知，逆否命题是：若tan aM1,则aM.42. （14年陕西）原命题为若Z1, Z2互为共 轭复数，则|Z1| = |Z2|”，原命题的逆命题 为,是命题。（填真或假）解析：当z1= 1, z2= 1时，这两个复数 不是共轭复数，所以是假的，故否命题也的P)

6、A(3. （14年辽宁）设a, b, c是非零向量.已知命题 p :若 a b = 0, b c= 0，贝U a c= 0; 命题q:若a / b, b/ c,贝U a/ c.则下列命 题中真命题是 p V q p A q q)pV( q)解析：如图，若 a= A二,b = AB, c= bTb, 则a 0，命题p为假命题；显然命题 q为 真命题，所以p Vq为真命题.典型题例，精析巧解:1. 命题：“若X2v 1,则1V XV 1”的逆否命题是解析：(1) “一 1 VXV 1” 的否定是 x 1,或X 1或X 1.2. 命题A：若函数y= f(x)是幕函数，则函 数y= f(X)的图象不经

7、过第四象限. 那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是解析:易知命题 A是真命题，其逆否命题也是真命题，A的逆与否命题都是假命题.3 .设p：关于x的不等式ax 1的解集是xX V 0 ； q : ax2 x+ a 0 恒成立，若 pV q 是 真命题，p A q是假命题，则实数a的取值范 围是.解析:根据指数函数的单调性， 可知命题 p为真时，设实数a的取值集合为P，则P =a|0V aV 1.对于命题q :当a= 0时，不等式为x 0,解得XV 0，显然不成立；当a工0时，不等式恒成立的条件是a 0,1解得a ;.综上，= 1 2 4a x aV 0,2命题q为真时，

8、设a的取值集合为 Q,则Q1=a|a 2 .由“ p Vq是真命题，p Aq是假命题”可知命题p, q 一真一假，设 U为实数集，当p真q假时，a的取值范围是P n (?uQ)1 1 r=a|0V aV 1 n a|a 2 = a|0V a 1 n a|a? = a|a 1.综一 1上, a的取值范围是 a|0V a 11=0, 2 u 1,+ g).同类拓展，变式训练:1. 命题：“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是2. 有下列命题：p：函数f(x) = sin4x cos4x的最小正周期是nq :已知向量a=(人1), b = ( 1,塔,c= (1,1)，则(a + b

9、)/ c 的充要条件是1;其中所有的真命题是3, 已知p(x)： x2 + 2x m 0,如果p是假命题，p(2)是真命题，则实数 m的取值范围为1解析否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”2 解析 / f(x)= cos 2x, T= n 故 p 是 真命题；a+ b = ( 1, *+ 1)，贝V ?2+ 入 =0，即入=一 1或=0，故q是假命题；3解析：因为p(1)是假命题，所以1 + 2 mW 0，解得m3;又p(2)是真命题，所以4 + 4 m 0,解得mv 8故m的范围是3,8).咼考热点二全称命题与特称命题命题方向1全称命题与特称命题的否定及真假判断.2利用全

10、称命题与特称命题的真假求参数值或范围. 真题感悟，自主突破:2. (14年天津)已知命题p： ? x0,总有(x+1)ex1 ，贝Up为解析：“？ X。0,使得（X0+ 1）ex0W 1”.2下列命题中是假命题的是 n .？ x 0, x sin x .？ x R, sin X0+ cos X0= 2 .？ x R, 3x 0 .？ x R, lg X0 = 0解析：由正弦线的定义易知x sin x,故n? x 0, xsin x,即是真命题； sin x+ cos x= 2 sin x+ n w ,2,所以不存在X0 R,使sin X0 + cos X0 = 2,故是假命题.，由指数函数的值

11、域？ x R,3X0是真命题； 取X0= 1, lg X0= lg 1 = 0,故? x0 R, lg X0= 0是真命题.故是假命题典型题例，精析巧解:1 . (14 年安徽)命题“ ？ x R, |x| + x20”的否定是解析：否定是？ x0 R, |x0| + xV 0.2 .下列命题中的假命题是 .？ x R , ex0.？ x N , x20？ X。 R , ln X0V 1 ？ X0 N* , sin X0= 1 解析：当x = 0 , x2= 0,与x任意性矛盾，3 .已知命题：p： ? X0 R , ax0+ X0+2w 0.若命题p是假命题，则a的取值范围是 .解析：因为命

12、题p是假命题,所以綈p为真2 1命题，即？ x R, ax + x+ 20恒成立.当1a= 0时，x ,不满足题意；当az0时，a 0要使不等式恒成立，则有，解得V 0a 01 11,所以 a3,即 a-, + .a 222同类拓展，变式训练:11 若命题 p： ? x R , x2+x+ 1 0,则其否定是.1解析：隐含条件 0且x2+ x+ 1工0x2 + x + 11x2+ x+ 1v 0，或 x2 + x+ 1 = 0.1 12 .命题 p1: ? x （0 ,+s）, 2 xv 3 x ；p2： ? x（0,1）, log；x log；x ； pa： ? x1 1 （0, +m）,

13、2 x log；x ； p4： ? x 0, 3 ,11 xv logx，其中的真命题是1解析 取 x=?,则 log 1x = 1, log 1x = log321 1v 1 , p2正确；当 x 0,-时，2 xv 1,而 log；x 1, p4正确.3. 若命题? x R , ax2 ax 2b” 是 “a|a| b|b|”的条件(填充分不必要、必要不充分、充要、既不 充分又不必要)解析：构造函数f(x) = x|x|,贝U f(x)在定义域R上为x2, x0,奇函数.因为f(x)=所以函x2, xv 0,数f(x)在R上单调递增，所以ab? f(a)f(b)? a|a| b|b|.充要

14、条件2. (14江西)下列叙述中正确的是 .若 a, b, c R，则“ ax2 + bx+ c0”的充分条件是“ b2 4acw 0” .若a, b, c R，则“ ab2cb2”的充要条件是“ a c” .命题“对任意 x R，有x2 0”的否定是“存在x R,有x2 0” .I是一条直线，a B是两个不同的平面，若I丄a, I丄贝V a / 3解析：由于“若 b2 4acw 0，贝U ax2 + bx+ c 0” 是假命题，所以“ax2+ bx+ c 0”的充分条 件不是 “ b2 4acw 0” ,错；Tab2cb2, 且 b20,.ac.而 ac 时，若 b2 = 0,贝U ab2c

15、b2不成立，由此知“ab2cb2”是“a c”的充分不必要条件，错；“对任意x R，有x20”的否定是“存在x R,有p A q. p Aq解析：命题p是真命题.由 x2? x 1,而x 1 ? / x 2,因此“x 1”是“x 2”的必要 不充分条件，故命题q是假命题，则x2v 0” ,错；由I丄a I丄可得a/ 3,理由是：垂直于同一条直线的两个平面平 行，正确.3. （14重庆）已知命题P：对任意x R，总有2x 0; q :“x 1”是“ x 2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是 . p A q.丄a.而此时平面 a与平面卩不一定垂直,q是真命题，pA綈q是真命题，选典型题例，

16、精析巧解:1.(12 天津)设R,贝V $= 0是 “(x)= cos(x+ Q(x R)为偶函数”的条件解析由条件推结论和结论推条件后判断.若 片0，则f(x) = cos x是偶函数，但是若f(x)=cos (x+妨是偶函数，贝y 0= n也成立.故%= 0是 f(x)= cos (x+(j)(x R)为偶函数”的充分而不必要条件.2.( 12安徽)设平面a与平面B相交于直线m, 直线a在平面a内，直线b在平面B内，且b丄m,贝U a丄是a丄b的【解析】利用面面垂直的性质定理及空间直线的位 置关系，判定充分必要条件.当a丄卩时，由于aA 3= m, b? 3 b丄m,由 面面垂直的性质定理

17、知，b丄a.又Ta? a, .b丄a.a丄3”是a丄b”的充分 条件.而当 a? a且a /m时，：b丄m,.ba丄3”不是a丄b”的必要条件，3. 设集合P= t|数列n2+tn(n N*)单调递 增，集合Q = t|函数f(x)= kx2 + tx在区间1 ,+ s )上单调递增，若“ t P”是“ t Q” 的充分不必要条件，则实数 k的最小值为解析：因为数列n2+ tn(n N*)单调递增，所以(n+ 1)2+ t(n+ 1) n2 + tn,可得 t 2n 1，又n N*，所以t 3.因为函数f(x) =kx2 + tx在区间1 ,+s)上单调递增，所 以其图象的对称轴 x= 2kw

18、 1且k0,故 t 2k,又“t P”是“t Q”的充分不必3要条件，所以一2k?,故实数3k的最小值为.同类拓展，变式训练:1. (12年陕西)设a, b R, i是虚数单位，则ab= 0”是 复数a+ -为纯虚数”i的条件K解析：&+ - = a bi为纯虚数，.必i有a= 0, bK),而ab= 0时有a= 0或 b = 0,.由 a = 0, bK)? ab = 0,反之 不成立.必要不充分条件.372. “ coa= 3”是 “ cos2= ”的_条件525 3【解析】T COS a= 5,二 COS 2a= 2COS1= 7253 由 COS a= 5可推出 COS 2a=又 x2

19、 2x+ 1 m2 = x (1 m)x(1 + m) w0,且 m0,q： 1 mW xw 1 + m.725.由 COS 2a= 25得 COS a= 5, 732 a=亦不能推出COS a= 5.x一 13.已知 p:1 3 w2, q:cosx2 2x+ 1 m20),若 p 是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围【解析】-21-m1 +m 10x p是q的充分不必要条件， q是p的充分不必要条件.由图得1 m 21 + mW 10 m 00v mW 3.1 m 2或 1 + mv 10m 0x一 1解 1亍 2 得 p:- 2 x0.若 AU B=B,贝S c的取值范围是3 集合

20、A= x| x 1|0 ,B= x Z| x2 9，则 An B8. 已知集合 A= x|x2 3x+ 2= 0, x R , B = x|0x5, x N，则满足条件A? C? B的集合C的个数为9. 设集合 A= x|1x4，集合 B= x|x2 2x 3 1 , M n N = 1 , 2 , ?u(M U N) = 0,x 1(?uM)n N = 4 , 5，贝y M =规范解答1 解析 解 x2 2x 30 得1 WxW3,.B= 1,3，则?rB = ( , 1) U (3,+),AQ(?rB) = (3,4).2tA? B,.a + 3= 1,.a = 2.3 解不等式 Iog2

21、xv 1,得 0vxv 2,.A= x| 0 vxv2 . vAU B = B ,.A? B,；c2.x b4解析：由题意得A = x| 1x3 ,0等价于(x b)(x+ 2) 1.故填b 1.2 15 解析 由 2x2 + 7x+ 3v 0,得一3v xv q,又 x Z,.N= 2, 1，又 M A NM ?,.m= 2 或1.x 36解析 根据椭圆的有界性知 M = x| 2x 2，解不等式 0,得N = x| 1vx3.x+ 17解析图中阴影表示的是AA B ,化简集合：A =x Zx x 3 w 0,x Z= x Z| 0W xv 3 = 0,1,2 ,B = x Z| 3 x 1

22、,得 一1 0,即w 0,解得一1 0,若p是q的充分不必要条件，则实数 a的取值范 围是.解析：由题意知，p： x ( g, 1) U (2,+s ), q： (x 1)(x+ a)0,由p是q的充分不必 要条件可知p中不等式的解集是 q中不等式的解集的真子集，从而有一 a= 1或1v av 2, 所以实数a的取值范围是(一2, 1.答案：(2, 13.下列命题中，真命题是A. ? xo R, e0 x2aC. a+ b= 0的充要条件是b= 1D. a 1, b 1是ab 1的充分条件解析应用量词和充要条件知识解决.对于？ x R，都有ex0,故选项A是假命题；当x = 2时，2x= x2

23、,故选项B是aa假命题；当b= 1时，有a+ b = 0,但当a+ b = 0时，如a = 0, b= 0时，无意 义，故选项C是假命题；当a 1, b 1时，必有ab 1,但当ab 1时，未必 有a 1, b 1,如当a= 1, b= 2时，ab 1,但a不大于1, b不大于1, 故a 1, b 1是ab 1的充分条件，选项D是真命题.4设原命题：若a+ b2，则a, b中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假 情况是()A.原命题真，逆命题假B .原命题假，逆命题真C.原命题真，逆命题真D 原命题假，逆命题假解析：原命题的逆否命题：若 a, b都小于1,则a+ bv 2,是真命题，

24、所以原命题为真命题；原命题的逆命题：若 a, b中至少有一个不小于 1,贝U a+ b2，如a= 3, b= 3满答案：A5 (20XX年潍坊模拟)已知命题p： ? x R, mx2 + K 0,命题q： ? x R, (m+2)x2 + 10,若pA q为真命题，贝U实数m的取值范围是()A. ( X, 2)B . 2, 0)C. ( 2, 0)D. (0, 2)解析：若p为真命题，则m0;若q为真命题，则m2.所以，若pAq为真命 题，贝U m 2, 0).6 a 2”是 函数f(x) = ax+ 3在区间1, 2上存在零点”的()A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充分必要条件

25、D. 既不充分也不必要条件解析：当 a 2 时，f( 1)f(2) = ( a+ 3)(2a+ 3)0，所以函数 f(x) = ax+ 3 在区 间1, 2上存在零点；反过来，当函数f(x) = ax+ 3在区间1, 2上存在零点 时，不能得知a 2,如当a = 4时，函数f(x)= ax+ 3 = 4x+ 3在区间1, 2上 存在零点.因此，a 2”是 函数f(x) = ax+ 3在区间1, 2上存在零点”的充分不必要条 件，选A.x 17.o 已知 p： |1|2, q： x2 2x+ 1 m20),若 p 是 q 的必要而2不充分条件，则实数m的取值范围是.解析：由题意知，p是q的充分不

26、必要条件，即p的解集是q的解集的子集.x 1x 1x 1由 p： |1| 2? 2 12? 1 3? 1 x 7,2 2 2q： x2 2x+ 1 m20? x (1 m)x (1 + m)0, (*)不等式(*)的解为1 mx 1 + m,所以1 m 7, 所以实数m的取值范围是6,+x).8. “ x y 0 ”是“ ： 1 ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件xx解析：y 1? (x y)y 0，由 xy 0,得 x y 0, y 0,所以 x y 0? - 1,具有xxyxvyx充分性.由- 1,得或，所以- 1? / xy0,不具有

27、必要性，故选 A.yy0yv0y答案：A9. 已知条件p： x 1,又易知q： xv0或x 1, p是q的充分不必要条件.10. 下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是A. ab+ 1B. ab 1C. a2b2D. a3b3解析tab+ 1 b,：ab+ 1是ab的充分条件，但当ab时不能推出ab+ 1,故选A.111. 已知p： x 10|+ |9x|a的解集为R, q：匚v 1,则綈p是q的aA .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析v|x 10|+ |9x| 1,且|x 10|+ |9 x| a 的解集为 R,P： a 1 ；1解不等式a 1,a p是q的充分不必要条件.答案 A12. 已知命题R:当x, y R时，|x+y|= |x|+ |y|成立的充要条件是xy0p2：函数 y= 2x+ 2-x在 R 内为减函数，则在命题 q1： p1 V p2, q2： p1 A p2, q3： （ p）V p2 和q4： p1 A （ p2）中，真命题是B q2, q3C - q1 , q4D - q2， q4解析 解法一 p1是真命题，事实上：（充分性）若xy0,则x, y至少有一 个为0或两者同号，二|x+ y|= |x|+ |y|定成立.（必要性）若|x+ y|=凶 + |y|,两边平方，得 x