力学竞赛辅导

1、 1 1质点运动的一般描述质点运动的一般描述 1.1 1.1 运动方程与轨道方程运动方程与轨道方程 轨道方程轨道方程 运动方程运动方程 ( ) ( , )0 ( ) t xx t f x y yy t 消去 ( )( )( )rr tx t iy t j r P(x,y) x O y x y ( ) ( ) xx t yy t 1.2 1.2 速度速度 反映质点运动的快慢和方向的物理量反映质点运动的快慢和方向的物理量 r v t dt rd t r v t lim 0 dt dy v dt dx v y x 瞬时速度沿轨道切线方向瞬时速度沿轨道切线方向 1.3 1.3 加速度加速度 反映速度（

2、大小和方向）反映速度（大小和方向） 变化快慢的物理量变化快慢的物理量 加速度与速度的方向一般不同。加速度与速度的方向一般不同。 v a t 2 2 0 lim dt rd dt vd t v a t x O z y vA v vB A B rA rB vA vB (a) (b) 2 2 2 2 dt yd dt dv a dt xd dt dv a y y x x g y v0 O x 2. 2. 抛体运动抛体运动 速度：速度： 0 0 cos sin x y vv vvgt 运动方程：运动方程： 0 2 0 cos 1 sin 2 xvt yvtgt 轨道方程：轨道方程： 2 22 0 ta

3、n 2cos g yxx v 推论推论 1 1）飞行时间：）飞行时间： 0 2sinv T g 2 2）上升高度：）上升高度： 22 0 max sin 2 v Hy g 3 3）射程：射程： 2 0 sin2v s g g y v0 O x 思考思考 甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上 用枪描准甲，乙一开枪，甲就从树上跳下（初速度为用枪描准甲，乙一开枪，甲就从树上跳下（初速度为 零） 。问：甲是否被击中？若被击中，求出被击中的零） 。问：甲是否被击中？若被击中，求出被击中的 时间和地点。时间和地点。 甲 乙 0 v s h 3.1 3.1 圆周运

4、动的加速度圆周运动的加速度 00n aaa n 22 tan n n aaa a a R P x OP0 s 0 n0 a v a an 3. 3. 圆周运动圆周运动 2 n dv a dt v a R 3.2 3.2 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角位置：角位置： = (t) 角速度角速度: : dt d t t lim 0 角加速度角加速度: : dt d t t lim 0 3.3 3.3 角量和线量的关系角量和线量的关系 Rv 2 n aR aR R P x O P0 s 0 rr r 0 vv v aaa 0 x y S O P S O x y r rr0 4.4.相对运动相

5、对运动 4.1 4.1 运动描述与参照系：运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系对物体运动的描述与参照系 有关有关位移、速度、加速度的测量与参照系有关。位移、速度、加速度的测量与参照系有关。 4.2 4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换不同参照系间位移、速度和加速度的变换 绝对速度绝对速度=牵连速度牵连速度+相对速度相对速度 22 tan n n aaa a a 2 : : n dv a dt v a 切向加速度 法向加速度 00n aaa n a an a 1.1.一般曲线运动一般曲线运动 1.1 1.1 一般曲线运动中的加速度一般曲线运动中的加速度 1.2 1.2 曲率半径的物

6、理求法曲率半径的物理求法 椭圆的曲率半径：椭圆的曲率半径： A B y x Oa b 22 22 1 xy ab 轨道方程：轨道方程： cos sin xat ybt 对应运动方程：对应运动方程： A点：点： 22 n n vv a a 2 ,max,max , ynx vvbaaa 22 A n vb aa 2 B a b 同理：同理： 抛物线的曲率半径：抛物线的曲率半径： y x O y v v x v n a a a 2 yAx 轨道方程：轨道方程： 0 2 1 2 xv t yat 对应运动方程：对应运动方程： 22 2 3/2222222 3/2 3/2 00 4 00 ()(14)

7、 (1) 2 n va tvva xA x aavavA 2 0 2 a A v 其中：其中： 0 222 2 0 x y vv vva t vat 0 22 2 0 cos n av aa va t 2. 2. 连体运动问题连体运动问题 解题方法一：解题方法一：运动的分解运动的分解 情形情形1 1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连， 他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。 v2 v1 12 coscosvv 情形情形2 2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。 12

8、 coscosvv v1 v2 情形情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方两直线相交点的运动等于各直线沿对方 直线方向运动的合运动：直线方向运动的合运动： 12P vvv P v1 v2 v1 1 v v2 2 v 12 12 , sinsin vv vv 22 1212 2cos P vvvv v 22 1212 1 2cos sin vvv v 例例 1.1 如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度 0 v匀速前进。求当绳子与水平面夹角为匀速前进。求当绳子与水平面夹角为时，重物上时，重物上 升的速度。升的速度。 h v0 v0 v| |0 c

9、osvvv 解：解： P v0 vP 例例1.2 如图示，一半径为如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向的半圆柱体沿水平方向 以速度以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P 的角位置为的角位置为 时竖直杆运动的速度。时竖直杆运动的速度。 0 sincos P vv解：解： 0 tan P vv R O 例例1.3 水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为R的固定圆圈上以匀速的固定圆圈上以匀速 v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的 交点处小环交点处小环M的速度。的速度。 O M R v0v0 v2 v1 v0

10、 解：解： 0 1 sin M v vv A对对B： ABABAB rva 、 解题方法二：解题方法二：运动的合成（相对运动）运动的合成（相对运动） 一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换： BBB rva 、 、B对地：对地： AABBAABBAABAB rrrvvvaaa 、A对地：对地： 例例1.4 如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光 滑钉子滑钉子A上。今以恒定速度上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向拉绳，当绳与竖直方向 夹角为夹角为 时，求线轴中心时，求线轴中心O的运动速度的运动速度v。设线

11、轴的。设线轴的 外半径为外半径为R，内半径为，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚，线轴沿水平面作无滑动滚 动。动。 A B C rR O v 解：解：情况情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。 A B C rR O v vO B v /2 B点相对于地面的速度：点相对于地面的速度： BBO vvv B点相对点相对O的速度大小：的速度大小： B vr O sinrvvvB沿绳子方向的分量与沿绳子方向的分量与v相等：相等： .（1） 线轴与地面无滑动：线轴与地面无滑动： O vR .（2） 联立（联立（1）、（）、（2）得）得: O sin Rv v r

12、R .（3） 由式（由式（3）可知，情况）可知，情况1出现的条件为：出现的条件为：sinrR 情况情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：线轴座顺时针方向转动。同理可得： O sin Rv v Rr 出现情况出现情况2的条件为：的条件为：sinrR A B C rR O v vO /2 B v 例例1.5 续例续例1.1，求重物上升的加速度。，求重物上升的加速度。 h v0 A B v v| A| a O 以地面为参照系，以地面为参照系，A的加速度的加速度 以以O点为参照系，点为参照系，绳子末端绳子末端A作圆周运动，其加作圆周运动，其加 速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为速度沿绳子方向的

13、分量，即向心加速度大小为 23 0 A| sinv a h AOA aa a A|O|A| aa a 23 0 B sin 0 v a h 23 0 B sinv a h 解：解： 例例1.6 续例续例1.2，求竖直杆运动的加速度。，求竖直杆运动的加速度。 P R O 以圆心以圆心O为参照系，为参照系，P点作圆周运动，点作圆周运动， 其速度大小为：其速度大小为： 0 cos v v P点相当于地面的加速度：点相当于地面的加速度： 向心加速度：向心加速度： 2 0 3 coscos n P av a R 0Ptn aaaaaa 22 0 2 cos n vv a RR vP v 0 v n a

14、t a P a 关键：关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速找出各物体间位移间的关系，进而得到速 度度、加速度之间的关系。加速度之间的关系。 解题方法三：解题方法三：微积分微积分 12 12 12 ( ,)00 dxdxff f x x x dtxdt 2212122 2 112 dvv dvv dxv dx a dtvdtxdtxdt 22112 ( ,)vv v x x 12 12 0 ff vv xx 22 112 12 vv avv xx y h x v0 例例 1.7 如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度 0 v匀速前进。求当绳子与

15、水平面夹角为匀速前进。求当绳子与水平面夹角为时，重物上时，重物上 升的速度升的速度和加速度和加速度。 （1） 22 yxhL 0 00 22 cos v xdydy dxdy vvv dtdx dtdx xh 解：解： （2） 222 3 00 0 22 3/2 sin () v hvdvdv dxdv av dtdx dtdxxhh P v0 vP 例例1.8 如图示，一半径为如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向的半圆柱体沿水平方向 以速度以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P 的角位置为的角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度。时竖直杆运动的速度和

16、加速度。 y R x OA 解：解： 22 yRx 0P dydy dxdy vv dtdx dtdx 0 22 x v Rx 0 tanv 22 0 0 22 3/2 () PPP P R vdvdvdvdx av dtdx dtdxRx 2 0 3 cos v R 例例1.9 水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为R的固定圆圈上以匀速的固定圆圈上以匀速 v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的 交点处小环交点处小环M的速度和加速度。的速度和加速度。 O M R v0v0 x y 解：解： 22 0 sin MMxMy v vvv 0My vv

17、22 xRy 0Mx dxdx dydx vv dtdy dtdy 0 22 y v Ry 0 cotv 0 MxMxMx Mx dvdvdvdy av dtdydtdy 0 My My dv a dt 222 00 22 3/23 ()cos R vv RyR 1.两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别 为为 。冰雹竖直下落，打在。冰雹竖直下落，打在 玻璃上，两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖玻璃上，两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖 直向上运动，求两车速率之比。（假设碰撞前直向上运动，求两车速率之比。（假设碰撞前 后相对速度遵循反射定律）后相对速度遵循反射

18、定律） 15,30 21 v v 0 v r vr v 0 tan(902 ) v v 11 22 tan2tan603 tan2tan301 v v 2. 如图所示，一串相同的汽车以等速如图所示，一串相同的汽车以等速v沿宽度为沿宽度为c的的 直公路行驶，每车宽为直公路行驶，每车宽为b，头尾间距为，头尾间距为a，则人能以，则人能以 最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少？最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少？ v V -v u ()Vuvuv 相对速度：相对速度：V 牵连速度：牵连速度：v 绝对速度：绝对速度：u min /() coscossin ccc ba tu vv ab 13 在掷

19、铅球时，铅球出手时距地面的高度在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度 为为h，若出手时速度为，若出手时速度为v0，求以何角度掷球时，求以何角度掷球时， 水平射程最远？最远射程为多少？水平射程最远？最远射程为多少？ g y v0 O x h (-h,x) 22 2 22 00 tantan()0 22 gxgx xh vv 2 00 2 0 vvgh x g 0 2 0 tan 2 v vgh 2 2 2 0 tan(1 tan) 2 gx hx v 2 2 2 0 tan(1 tan) 2 gx yx v vtvy=gt v0 2 0 2 t vvgh 0 11 cos 22 Sgt vg x 2

20、 max00 11 2 22 g xvvgh 00 2 0 tan 2t vv v vgh 2 00 max 2vvgh x g A BC v A BC O 14A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长三只猎犬站立的位置构成一个边长 为为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v， A犬想追捕犬想追捕B犬，犬，B犬想追捕犬想追捕C犬，犬，C犬想追捕犬想追捕A犬，犬， 为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始 终终“盯盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可住对方，它们同时起动，经多长时间可 捕捉到猎物？捕捉到猎物？

21、 vvv 2 3 30cos as 3 3 v a v s t 3 2 A BC v v v 解法二：在解法二：在AB连线上，相对距离为连线上，相对距离为 a，相对速度为，相对速度为vA对 对B。 vvvv 2 3 60cos BA 对 v a v a t 3 2 2 3 解法三解法三：设在一个极短的时间设在一个极短的时间t内，内， 猎犬做匀速直线运动，正三角形边猎犬做匀速直线运动，正三角形边 长依次变为长依次变为a1、a2、a3、an。 3 0 2 anv t v a tttn 3 2 所以 tvaBBAAaa 2 3 60cos 0 111 tvatvaa 2 3 2 2 3 12 tva

22、tvaa 2 3 3 2 3 23 tvnaan 2 3 15一只狐狸以不变的速度一只狐狸以不变的速度v1沿着直线沿着直线AB逃跑，一逃跑，一 只猎犬以不变的速率只猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐追击，其运动方向始终对准狐 狸。某时刻狐狸在狸。某时刻狐狸在F处，猎犬在处，猎犬在D处，处，FDAB，且，且 FD=L，如图所示，求猎犬的加速度的大小。，如图所示，求猎犬的加速度的大小。 tansin很小时， 2 2 a R 2 vt R 1 vtL 1 2 v v a L 1.1.摩擦角摩擦角 1 1）全反力全反力: :接触面上弹力和摩擦力的合力称为全接触面上弹力和摩擦力的合力称为全

23、反力，也叫约束反力。反力，也叫约束反力。 N R f 2）摩擦角：全反力与界面法线方向所成的最大夹）摩擦角：全反力与界面法线方向所成的最大夹 角叫摩擦角。角叫摩擦角。 m m tan动摩擦角： 2 min 1 sin GGF m G m R m R sm tan静摩擦角： 2.2.刚体平衡条件（一般物体的平衡条件）刚体平衡条件（一般物体的平衡条件） 1 1）物体受力的矢量和为零：）物体受力的矢量和为零： 0 i i F 2 2）对矩心的合力矩为零）对矩心的合力矩为零 0 iii ii MrF 重要推论：重要推论： 刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个

24、力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。交于一点。 3.3.刚体平衡的稳定性刚体平衡的稳定性 满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳稳 定平衡定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定不稳定 平衡平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡随遇平衡。 稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随遇平衡随遇平衡 由下式决定的位置矢量由下式决定的位

25、置矢量 C r 位置坐标 （位置坐标 （xC, yC） 所对应所对应 的点的点 C，称为质点系的质心：，称为质点系的质心： y x C O M rm r ii C ii C ii C xdm m x x MM ydm m y y MM 4. 4. 质心质心 5 5质心运动定理质心运动定理 C aMF 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小 成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿 合外力的方向。合外力的方向。 内力不影响系统质心的运动。内力不影响系统质心的运动。 例例2.1 匀质杆匀质杆OA重重P1，长为

26、，长为l1，能在竖直平面内，能在竖直平面内 绕固定铰链绕固定铰链O转动，此杆的转动，此杆的A端用铰链连另一重端用铰链连另一重 为为P2、长为、长为l2的均匀杆的均匀杆AB，在，在AB杆的杆的B端加一水端加一水 平力平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度。求平衡时此两杆与水平线所成的角度 与与 的大小，以及的大小，以及OA与与AB间的作用力。间的作用力。 P1 P2 F O A B 2 22 sincos 2 l FlP 解：解： 以以AB为研究对象，有为研究对象，有（1） 以以OA+AB为研究对象，有为研究对象，有 12 12112 cos( coscos)( sinsin) 22 ll P

27、P lF ll 2 tan 2 P F 12 2 tan 2 PP F P1 P2 F O A B 22 2 NFP 以以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此为研究对象，其所受的合力为零，因此（2） 2 tan P F P2 F A B N N 的方向与水平线的夹角的方向与水平线的夹角 满足：满足： 例例 2.2 有有 6 个完全相同个完全相同 的刚性长条薄片的刚性长条薄片 AiBi（i=l， 2，6） ，其两端下方各有） ，其两端下方各有 一个小突起。薄片及突起一个小突起。薄片及突起 的重量均可以不计。现将的重量均可以不计。现将 此此 6 个薄片架在一只水平个薄片架在一只水平 的碗口上，使

28、每个薄片一的碗口上，使每个薄片一 端的小突起端的小突起 Bi恰在碗口恰在碗口 上。另一端小突起上。另一端小突起 Ai位于位于 其下方薄片的正中，由正上方俯视如囹所示。若将一质量为其下方薄片的正中，由正上方俯视如囹所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片的质点放在薄片 A6B6上一点， 这一点与此薄片中点的距离上一点， 这一点与此薄片中点的距离 等于它与小突起等于它与小突起 A6的距离，求薄片的距离，求薄片 A6B6中点所受的（由另中点所受的（由另 一薄片的小突起一薄片的小突起 A1所施的）压力。所施的）压力。 Pi Pi-1 Bi-1Ai-1 Ai P1 P6 mg B6A6 A1 C 解：解：

29、 设任一小突起设任一小突起Ai对其的压力为对其的压力为Pi，则，则 1 2 ii PP （i=2 6） 21 2PP 2 321 22PPP 5 611 232PPP 考虑薄片考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得，根据力矩平衡条件可得 16 3 0 24 l PmglPl 61 32PP代入可解得：代入可解得： 1 1 42 Pmg 例例2.3 用用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长，横截面是边长 为

30、为hl/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。 H h l L 1 x 2 x 3 x 1 2 3 4 10 l 1 2 l x 解：解： 11 121 (/2) 24 mxm xll xxx m 2 4 l x 1212 12312 ()(/2) 26 m xxm xxll xxxxx m 3 6 l x 2 n l x n 1010 11 1 22 n nn Ll x n 10 1 1 n Ll n 9 9 4 Hhl 10 11/ 1.258 9/4 n n L H 例例2.

31、4 有一半径为有一半径为R的圆柱的圆柱A，静止，静止 在水平地面上，并与竖直墙面相接在水平地面上，并与竖直墙面相接 触。现有另一质量与触。现有另一质量与A相同，半径相同，半径 为为r的较细圆柱的较细圆柱B，用手扶着圆柱，用手扶着圆柱A， 将将B放在放在A的上面，并使之与墙面的上面，并使之与墙面 相接触，如图所示，然后放手。己相接触，如图所示，然后放手。己 知圆柱知圆柱A与地面的静摩擦系数为与地面的静摩擦系数为 0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为，两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后，两圆柱体能保持。若放手后，两圆柱体能保持 图示的平衡，问圆柱图示的平衡，问圆柱B与墙面间的与墙面间的 静

32、摩擦系数和圆柱静摩擦系数和圆柱B的半径的值各的半径的值各 应满足什么条件？应满足什么条件？ B A r R mg 2 N 3 F 3 F 3 N 3 N A mg 1 F 1 N 2 F B 133 sincos0mgNNF 对对A球：球： 对对B球：球： 解：解： 联立（联立（1）（6）解得：）解得： 1 2cos2sin 1cossin Nmg 1232 cos 1cossin NFFFmg 3 1sin 1cossin Nmg 133 cossin0FNF 13 F RF R （1） （2） （3） 233 sincos0mgFNF 233 cossin0NNF 32 F rF r （4

33、） （5） （6） 圆柱圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：与墙面的接触点不发生滑动： 2222 1FN 圆柱圆柱A在地面上不发生滑动：在地面上不发生滑动： 111 FN 2 2 sin1cos Rr Rr 1 9 rR 两圆柱的接触点不发生滑动：两圆柱的接触点不发生滑动： 333 FN 综合上述结果，可得到综合上述结果，可得到r满足的条件：满足的条件： 0.29RrR 1 1 1 cos 2cos2sin F N cos, Rr Rr 3 3 3 cos 1sin F N 2 7 0.29 13 rRR 第一定律：第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间定性反映了物体的运动与其受力之间 的关系

34、，引入惯性参照系的概念。的关系，引入惯性参照系的概念。 第二定律：第二定律：定量性反映了物体的运动规律与其受定量性反映了物体的运动规律与其受 力之间的关系：力之间的关系： 第三定律：第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相反映了力的来源：力来自物体间的相 互作用。互作用。 amF 正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状 态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。 1牛顿运动定律牛顿运动定律 2自然界中的力自然界中的力 2.1 2.1 万有引力万有引力 2 r mM FGe r m M F r 任何物体之间都存

35、在的相互吸引力：任何物体之间都存在的相互吸引力： 112-2 6.6726 10N mkgG 2.2 2.2 重力：重力：使物体产生重力加速度的力。使物体产生重力加速度的力。 重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的 惯性离心力，则惯性离心力，则 2 mM PGmg R 2 M gG R 重力加速度与物体质量无关重力加速度与物体质量无关 2.3 2.3 弹力：弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产物体由于形变而对引起形变的物体产 生的作用力。生的作用力。 2.4 2.4 摩擦力：摩擦力：相互接触的物体间产生的一对阻止相相互接触的物体间产生的一对阻止相 对

36、运动或相对运动趋势的力。对运动或相对运动趋势的力。 滑动摩擦力滑动摩擦力： k fN 摩擦力总是阻止摩擦力总是阻止相对运动。相对运动。 Fkx （在弹性范围内）（在弹性范围内）弹簧：弹簧： 接触面接触面: :沿法线方向沿法线方向 N 1关于弹力关于弹力 1.1 1.1 弹力的大小弹力的大小 2 121 ( )NN xk xk xk x 微小形变微小形变 微小振动为简谐振动微小振动为简谐振动 1.2 1.2 弹力的方向弹力的方向: :弹力的方向总是与形变方向相反弹力的方向总是与形变方向相反. . 杆：杆：较复杂较复杂 绳子：绳子：沿绳子方向沿绳子方向 T F Fn F 1.3 1.3 弹簧的串联

37、与并联弹簧的串联与并联 F k1 k2 k1 k2 F 12 111 kkk 12 kkk 2关于摩擦力关于摩擦力 2.1 2.1 摩擦力的大小摩擦力的大小 两接触物体相对滑动的条件：两接触物体相对滑动的条件：fs=N 无滑动：无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：决定于物体的运动和所受的其他力： = ss fFmafmaF 其他其他 有滑动：有滑动： k fN 摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。 2.2 2.2 摩擦力的方向摩擦力的方向 N f 无滑动：无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：决定于物体的运动和所受的其他力： s fmaF 其他 有滑动：有

38、滑动：与与相对运动速度相对运动速度方向相反。方向相反。 2.3 2.3 摩擦力的作用时间摩擦力的作用时间 fN fN tt tt 可能有两种情况：可能有两种情况： h v M m V0 V0 v0=0 例例 3.1 如图所示，有一固定的斜面，其倾角如图所示，有一固定的斜面，其倾角 =300，一一质质 量为量为 m=0.5kg 的物体的物体置于斜面上，置于斜面上， 它它与斜面之间的摩擦系与斜面之间的摩擦系 数为数为 =0.8。起初物体静止在斜面上。现用一起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边与斜面上边 缘平行的力缘平行的力 F 作用在物体上作用在物体上，F 从零逐渐增大从零逐渐增大。问：。问：F

39、 为为 多大时，物体开始运动，开始运动的方向怎样？多大时，物体开始运动，开始运动的方向怎样？ 解：解： 22 max (sin )cosFmgfmg 222 min cossinFmg 0 max sintan sin0.72246.2 mg f F sinmg F f 2.40()N 例例 3.2 如图所示，有一如图所示，有一质量为质量为 m=20kg 的钢件，架在两根的钢件，架在两根 相同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在相同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在 同一水平面内。圆柱的半径为同一水平面内。圆柱的半径为 r=0.025m，钢件与圆柱间的，钢件与圆柱间的 动

40、摩擦因数动摩擦因数 =0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转 动，角速度动，角速度 =40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢 件作速度件作速度 v0=0.050m/s 的匀速运动， 推力为多大？设钢件左的匀速运动， 推力为多大？设钢件左 右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。 1 2 fmg 0 v r v ff F 222 0 vvr 0 222 0 cos v vr 0 222 0 mgv F vr 2.0(N) 解：解： 2cosFf h v M m

41、V0 例例3.3 一质量为一质量为M的平板沿光滑水平面以速度的平板沿光滑水平面以速度V0运运 动。质量为动。质量为m的小球从的小球从h处落下，与平板发生碰撞处落下，与平板发生碰撞 后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小 与碰撞前速度大小之比为与碰撞前速度大小之比为e，球与平板间的摩擦系，球与平板间的摩擦系 数为数为 。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。 解：解： (1) 2 ffx N Nf ftN tmv N tm egh tt 情况情况1： tf= tN 0 2 y vgh 0 2 yy vevegh

42、tan (1) y x v e ve 0 x MVMVmv tf = tN的条件：的条件：vx V，即，即 2 0 1 2() (1) MV h gMme h v M m vx vy V (1) 2 x vegh 00 (1) 2 x mm VVvVegh MM 情况情况2： tf tN 0 tan(1) 2 y x v em gh vVM 2 y vegh tf tN的条件：的条件： 2 0 1 2() (1) MV h gMme h v M m vx vy V 0 x MV vV mM 0 x x vV MVMVmv 3. 3. 非惯性参照系的动力学问题非惯性参照系的动力学问题 惯性系惯性

43、系: 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作 匀速直线运动的参考系也是惯性系。匀速直线运动的参考系也是惯性系。 非惯性系非惯性系: 相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性 系内牛顿定律不成立。系内牛顿定律不成立。 3.1 3.1 惯性参照系与非惯性参照系惯性参照系与非惯性参照系 3.2 3.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律非惯性参照系中的牛顿第二定律 I FFma I0 Fma 例例 3.4 如图，设所有的接触面都光滑，求物体如图，设所有的接触面都光滑，求物体 m 相相 对于斜面对于斜面 M的加速度和的加速度和

44、斜面斜面 M相对于地面的加速度相对于地面的加速度。 m M 01 01 0 sin 0sincos cossin MaN mamgN mamamg a gM 1 N 2 N 0 a 0 am mg N1 x yY X 2 0 2 sin cossin sin sin)( mM mg a mM gmM a 解：解： 例例3.5 在光滑的水平桌面上有质量为在光滑的水平桌面上有质量为m的小车的小车C，车，车 上有质量为上有质量为4m和和m的立方块的立方块A和和B，它们与小车表面，它们与小车表面 之间的摩擦系数之间的摩擦系数 =0.5。今用一恒力。今用一恒力F 沿水平方向作沿水平方向作 用在滑轮上。求

45、用在滑轮上。求A、B、C的加速度。的加速度。 m m 4m F A B C 解：解： AF/2fA BF/2fB 第一种情况：第一种情况：A、B与小车间均无相对滑动。与小车间均无相对滑动。 AB 6 C F aaa m AAA 1 23 F fmafF BBB 1 4 26 F fmafF A、B与小车间无相对滑动的条件：与小车间无相对滑动的条件： A B 1 3 2 2 42 fmgmg Fmg fmgmg 第二种情况：第二种情况：F 大于大于 3mg/2，使得，使得 A 相对于小车滑动，但相对于小车滑动，但 B 与小车间无相对滑动。与小车间无相对滑动。 BF/2fB B 4224fmgmg

46、Fmg A /21 22 FmgF ag mm BC /21 51010 FmgF aag mm BBB 12 4 2105 F fmafFmg B 与小车间无相对滑动的条件与小车间无相对滑动的条件 m m 4m F A B C 第三种情况：第三种情况：F 大于大于 24mg，A、B 与小车间均相对滑动。与小车间均相对滑动。 A /21 22 FmgF ag mm B /241 482 FmgF ag mm C 45 2 mgmg ag m m m 4m F A B C 结论：结论： AB ABC ABC 3 () 62 113 ,(24) 2210102 115 ,(24) 22822 C

47、F aaaFmg m FF ag aagmgFmg mm FF ag ag agFmg mm A O a 例例 3.6 一小环一小环 A 套在半径为套在半径为 a 的竖直大圆环上，的竖直大圆环上， 小环与大环之间的摩擦系数为小环与大环之间的摩擦系数为 ，证明：当大环，证明：当大环 以匀角速以匀角速 绕它自己水平轴绕它自己水平轴 O 转动时，如果转动时，如果 4/122/1 )/11 ()/(ag 则小环与大环之间无相对运动。则小环与大环之间无相对运动。 gm N f a O 2 cos sin0 Nmgma fmg 解：解： 2 (cos ) sin Nm ag fmg 无滑动条件：无滑动条件

48、：fm1 ， 问， 问： 对上面的木块必须施加多大的压力对上面的木块必须施加多大的压力， 以便在以便在突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使 下面的木块提离地面？下面的木块提离地面？ m2 m1 F m1在平衡位置时，弹簧的压缩量在平衡位置时，弹簧的压缩量: 01 /xm g k m2 m1 A F x O x0 A xm 解：解：F 撤去后，撤去后， 1 m围绕其平衡位置围绕其平衡位置 O 作简谐振动。作简谐振动。 m1作简谐振动的振幅作简谐振动的振幅: /AF k m1上升到最大高度时，弹簧的伸长量上升到最大高度时，弹簧的伸长量: 01 ()/ m xAx

49、Fm gk 由此可得由此可得: 12 ()Fmm g m2刚好能被提起的条件：刚好能被提起的条件： 21m m gkxFm g A B k O x l 例例 7.4 如图所示，在一个劲度系数为如图所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球的小球 A 和质量为和质量为 2m 的小球的小球 BA 用用 细线拴住悬挂起来， 系统处于静止状态，细线拴住悬挂起来， 系统处于静止状态， 此时弹簧长度为此时弹簧长度为 l。 现将细线烧断， 并以。 现将细线烧断， 并以 此时为计时零点， 取一相对地面静止的、此时为计时零点， 取一相对地面静止的、

50、竖直向下为正方向的坐标轴竖直向下为正方向的坐标轴 Ox， 原点， 原点 O 与此时与此时 A 球的位置重合（如图） 。试求球的位置重合（如图） 。试求 任意时刻两球的坐标。任意时刻两球的坐标。 在质心坐标系在质心坐标系 O x 中，中，A、B 球作简谐振动球作简谐振动。 A B O x l x O C 2 /3l /3l 1 k 2 k 解：解： 0 0 2 2() mg mgk llk ll 21 , 33 ACl BCl 12 12 1 2 111 3 ,3 12 2 kkk kk kk k k 两球相对于质心的位移：两球相对于质心的位移： 10111 20222 2 cos() 3 1

51、cos() 3 xlAt xlAt 1 100 11 0 2 2 () 3 3 0 t t xl All v 2 200 22 0 1 1 () 3 3 00 t t xl All v 100 0 223 ()cos() 33 g xlllt ll 200 0 113 ()cos() 33 g xlllt ll A B O x l x O C 2 /3l /3l 1 k 2 k A B O x l x O C 2 /3l /3l 在坐标系在坐标系Ox中，任意中，任意t时刻质心的位置坐标：时刻质心的位置坐标： 2 21 32 C xlgt 由此可得在坐标系由此可得在坐标系Ox中，任意中，任意t时

52、刻时刻A、B 球的位置坐标：球的位置坐标： 2 110 0 123 () 1 cos() 23 C g xxxgtllt ll 2 220 0 113 () 1 cos() 23 C g xxxlgtllt ll 例例 9.5 如图所示， 定滑轮如图所示， 定滑轮 B、 C 与动滑轮与动滑轮 D 组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩 擦、滑轮的质量均不计在动滑轮擦、滑轮的质量均不计在动滑轮 D 上，上， 悬挂有砝码托盘悬挂有砝码托盘 A，跨过滑轮组的不可，跨过滑轮组的不可 伸长的轻线的两端各挂有砝码伸长的轻线的两端各挂有砝码 2 和和 3 一 一 根用轻线（图中穿过

53、弹簧的那条竖直线）根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线） 拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底 上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放 有砝码有砝码 1（两者未粘连） 已知三个砝码（两者未粘连） 已知三个砝码 和砝码托盘的质量都是和砝码托盘的质量都是 m，弹簧的劲度，弹簧的劲度 系数为系数为 k，压缩量为，压缩量为 l0=3mg/k，整个系统，整个系统 处在静止状态现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝处在静止状态现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝 码码 1 向上运动，直到砝码向上运动，直到砝码 1 与弹簧分离假设砝码

54、与弹簧分离假设砝码 1 在以后的运动过在以后的运动过 程中不会与托盘的顶部相碰求自烧断轻线至砝码程中不会与托盘的顶部相碰求自烧断轻线至砝码 1 再次与再次与弹簧弹簧接触接触 所经历的时间所经历的时间 1 B 2 D C 3 A l0 x0 O -x E x 1 1 1 0 2 () Tmgma NmgTma Nmamgma Nk xx 0 mg x k 1 4 , 33 kk ax ax mm mg 2T N a1 ma1 21 3 mgmgmg T TN a1 a1 a 4 cos() 3 k xAt m 00 0 0 2 2 () 0 t t mg mg xlx A k k v 解：解：第一阶段：自烧断轻线至砝码 第一阶段：自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。脱离弹簧。 24 cos() 3 mgk xt km 设设tt1时，砝码时，砝码1与弹簧分离，则与弹簧分离，则 1 1 1 0 1 41 cos() 32 44 0 2sin()0 33 t t t t k