全等三角形全等三角形与旋转问题学生版

1、 全等三角形与旋转问题知识点睛基本知识把图形 绕平面上的一个定点 旋转一个角度q ，得到图形 ，这样的由图形 到 变换叫做旋转变换，goggg点 叫做旋转中心，q 叫做旋转角， 叫做 的象； 叫做 的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，ogggg象与原象是全等形很明显，旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同

2、时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，hl 的判定是整个直角三角形的重点例题精讲【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是()【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 aefg 可以看成是把菱形 abcd 以 a 为中心(a顺时针旋转 60得到c逆时针旋转 60得到)b顺时针旋转 120得到d逆时针旋转 120得到gdf【例3】 如图，c 是线段 bd 上一点，分别以 bc、cd 为边在 bd 同侧作等边abc 和等边 cde

3、ad ce 于 f，be 交 ac),交g于 ，则图中可通过旋转ae而相互得到的三角形对数有(a1 对 b2 对c3 对d4 对bceakgfbdc【例4】 已知：如图，点c 为线段 ab 上一点， dacm 、 dcbn 是等边三角形求证： an = bm nmfedacb【例5】 如图， b ，c ， e 三点共线，且dabc 与 ddce 是等边三角形，连结 bd， ae 分别交 ac ， dc 于m ， n 点求证：cm = cn admnbec【补充】已知：如图，点c 为线段 ab 上一点， dacm 、 dcbn 是等边三角形求证：cf 平分afbnnmffheedgacbacb【

4、补充】如图，点c 为线段 ab 上一点，dacm 、 dcbn 是等边三角形请你证明： an = bm ； deab；cf 平分 afb nmfedacb【例6】 (2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形、abcd defg都是正方形，连接、 求ae cg证：ae cg=gfabedc【例7】 如图，点c 为线段上一点， dacm 、 dcbn 是等边三角形， 是 an 中点， 是e bm中点，求ab证： dcde 是等边三角形dnmdeacb【例8】 如图，等边三角形 dabc 与等边 ddec 共顶点于c 点求证： ae = bdaecdb 【例9】 如图， 是等边 dabc

5、内的一点，且一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由=， ，dbp = dbc=，问bpd的度数是否dbd ad bp abaappddbcbc【例10】 如图，等腰直角三角形定值中， = 90 ，ab a o ac= ， 为中点，eo of求证：be bf+为abcbaaeeoo1324bfcbfc【补充】如图，正方形oghk 绕正方形 abcd中点o 旋转，其交点为 e 、 f ，求证： ae + cf = ab ad3o452hbcfk 【例11】(2004 河北)如图，已知点 是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且cbeabcdcdfea af 求证：de bf=adefcb【

6、补充】如图所示，在四边形abcd中，adc = abc = 90 ， ad = cd ，dp ab p于 ，若四边形abcd的面积是 16，求 dp的长ddeccbbaapp【例12】 e 、 f 分别是正方形 abcd的边 bc 、cd 上的点，且eaf = 45 ， ah ef ， 为垂足，求证：hah = ab adadffhhbecg bec 【例13】(1997 年安徽省初中数学竞赛题)在等腰 rtdabc 的斜边上取两点 、 ，使n= 45 ，记abmmcnam = m mn x bn n，= ，= ，则以 、 、 为边长的三角形的形状是(xmn)a锐角三角形b直角三角形c钝角三角

7、形d随 、 、 的变化而变化xmnccdamn bamn b【巩固】如图，正方形求证：的边长为1，点 在线段f上运动，平分 交 边于点 baf bc eabcdcdaeaf df be=+设= (0 1)，ddf xadf 与 dabe的面积和 是否存在最大值？若存在，求出此时 的值及s xx若不存在，请说明理由saaddffbecgbec【例14】请阅读下列材料：已知：如图 1 在 rtdabc 中， bac = 90 ， ab = ac ，点 d 、 e 分别为线段 bc 上两动点，若dae = 45探究线段 bd、 de 、 ec 三条线段之间的数量关系小明的思路是：把 daec 绕点

8、顺时针旋转90 ，得到 d，连结 ，abe e da使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；、bd de ec 当动点 在线段 上，动点 运动在线段 延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探究cbebcd的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明aaccdebbde图1图2 【例15】如图所示， dabc 是边长为 的正三角形， dbdc是顶角为120 的等腰三角形，以 为顶点作一个d160的 mdn ，点 、 分别在mn、ab ac上，求 damn 的周长aannmmcbcbedd【例16】在等边 dabc 的两边 a

9、b，ac 所在直线上分别有两点 m，n，d 为 dabc 外一点，且mdn 60= ，bdc =120 ， bd = cd ，探究：当点 m n 之间， 分别爱直线 ， 上移动时， ， ，ab ac bm nc mn的数量关系及 damn 的周长与等边dabc 的周长 l 的关系如图，当点 m，n 在边 ab，ac 上，且 dm=dn 时，bm，nc，mn 之间的数量关系式_；q此时 =_l dn如图，当点 m，n 在边 ab，ac 上，且 dm你的猜想并加以证明；时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出如图，当点 m，n 分别在边 ab，ca 的延长线上时，若 an=x，则 q=_(用 x，

10、l 表示)【补充】(1)如图，在四边形 abcd 中，abad，bd90 ，e、f 分别是边 bc、cd 上的点，且1eaf= bad求证： ef be+ fd;2 adfbce(2) 如图，在四边形 abcd 中，abad，b+d180 ，e、f 分别是边 bc、cd 上的点，且1eaf= bad， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明2abdefc【例17】平面上三个正三角形 acf ， abd， bce 两两共只有一个顶点，求证： ef 与cd 平分bcefda 【例18】已知：如图，dabc 、dcde也是等边三角形、dehk都是等边三角形，且 、 、 共线，ad = dk 求证：dh

11、bda d keeccbbkakamddhh【例19】(1997 年安徽省竞赛题)如图，在 abc 外面作正方形 abef 与 acgh ， ad 为 abc 的高，= cfmf = mh;(2)其反向延长线交 fh 于 m ，求证：(1) bhfhegbdc【补充】以abc 的两边 ab、ac 为边向外作正方形 abde、acfg，求证：ce=bg，且 cebggeafodbc 【例20】( 北 京 市 初 二 数 学 竞 赛 试 题 ) 如 图 所 示 ， 在 五 边 形中 ， = = 90 ，abcdebeab = cd = ae = bc + de =1，求此五边形的面积ccbbdda

12、aeef【例21】 在五边形中，已知ab ae bc de cd= ，+=，abc + aed =180 ，连接求证：abcdeadad 平分cdeaafeebbcdcd家庭作业【习题1】 如图，已知dabc 和 dade都是等边三角形，b 、c 、d 在一条直线上，试说明ce 与 ac + cd相等的理由eabdc【习题2】 (湖北省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试)已知：如图，点 e 是正方形 abcd的边 ab 上任意一点，过点 d 作 df de 交 bc 的延长线于点 f 求证： de = df adebfc【习题3】 在梯形 abcd中，ab cd， = 90 ，ab= 2 ，bc = 3 ，cd =1， 是 中点，试判断ec 与e adaeb的位置关系，并写出推理过程dcfcdeaeabb【习题4】 已知：如图，点c 为线段 ab 上一点， dacm 、dcbn 是等边三角形cg 、ch 分别是dacn 、dmcb 的高求证：cg = ch ngacb月测备选【备选1】 在等腰直角 dabc 中， acb = 90 ， ac = bc ， m 是 ab 的中点，点 p 从 b 出发向 c 运动，mq mp 交 ac 于点q ，试说