初中二次函数知识点总结材料

1、 二次函数知识点= ax + bx + c a，b，c（a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元1二次函数的概念：一般地，形如 y2 0二次方程类似，二次项系数 a= ax + bx + c的结构特征：2. 二次函数 y2是常数， 是二次项系数， b 是一次项系数， 是常数项acx 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0= 00减小； xx 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而a 0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0= 0减小； x时， y 有最小值 c a h 时， y 随 x 的增大而增大； x 0，0h0而减小； xx h 时，

2、y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大( )a h 时， y 随 x 的增大而增大；x 0，kh而减小； xx h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 随 x 的增大a 0)【或向下(k0)【或下(k -xx = -时， y 随 的增大而增大；当时， y 随 的增大而减小；当时， y 有最小值 bbb-，x 0 在 ab 0= 0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；bbb 0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧，即抛物线的对称轴就是 y 轴；时， 0= 0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；bbb 0时，- 0 当 c时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物

3、线与 y 轴交点的纵坐标为正；yy0时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负yx总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要 a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 实用文案3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标

4、相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称+ bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax - bx - c ；22( )2( )2y = a x - h + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a x - h - k ；+ bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax - bx + c ；22( )2( )2y = a x - h + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a x + h + k ；+ bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是

5、y = -ax22( )2( )2y = a x - h + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a x + h - k ；b2+ bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y22( )2( )2y = a x - h + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a x - h + k ( )，5. 关于点 m n 对称( )2( )(y = a x - h + k 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y = -a x + h - 2m + 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时

6、，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：y = 0当函数值 时的特殊情况.22图象与 x 轴的交点个数：( ) ( )a x ，0 ，b x ，0 (x x )x ，x 当2时，图象与 x 轴交于两点121212( )b2ax + bx + c = 0 a 0 的两根这两点间的距离 ab221a时，图象与 x 轴只有一个交点；时，图象与 x 轴没有交点.a 0x时，图象落在 x 轴的上

7、方，无论 为任何实数，都有x时，图象落在 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 = ax + bx + cy(0 c)的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ；2. 抛物线 y23. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；= ax + bx + c中 a ，b ， c 的符号，或由二次函数中 a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要 根据图象的位置判断二次函数 y2 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.2抛物线与 x 轴有两 二次三项式的值可正、可个

8、交点 零、可负抛物线与 x 轴只有 二次三项式的值为非负抛物线与 x 轴无交 二次三项式的值恒为正x22x2y= -2 y=2x2+2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2y=2x2y=2(x-42)刹车距离y=2(x-42)-3二次函数考查重点与常见题型m2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：y = kx + b的图像在第一、二、三象限内，那么函数b3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题

9、和选拔性的综合题，如：5x =，求这条抛物线的解析式。3= ax2 + bx + c已知抛物线 y（a0）与 x轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y轴交点的纵坐标是2 实用文案5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号c= ax2 + bx + cm例 1 （1）二次函数 yab第二象限 c第三象限d第四象限（2）已知二次函数 y=ax +bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b同号；当 x=1和 x=3 时，函数值相等；2例 2.已知二次函数 y=ax +bx+c的图象与 x轴交于点(-2，o)、(x，0)，且 1x aco?若

10、存在，请你求出 m点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由122x o，x 0b. b - 4ac = 0c. b - 4ac 0， n 0， p 0（）b. m 0， p 0c. m 0， n 0-112x二、填空题：10. 将二次函数 y = x - 2x + 3 配方成2y = (x - h) + k 的形式，则 y=_.211. 已知抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的情况是2_.12. 已知抛物线 y = ax + x + c 与 x 轴交点的横坐标为-1，则a + c =_.213. 请你写出函

11、数 y = (x + 1) 与 y = x + 1具有的一个共同性质：_.2214. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线 x = 4 ；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15. 已知二次函数的图象开口向上，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_.16. 如图，抛物线的对称轴是 x =1，与x轴交于a、b两点，若b点坐标是( 3,0) ，则a点的坐标是_.y1abo1x16 题图三、解答题：1. 已知函数 y

12、 = x + bx -1的图象经过点（3，2）.2（2）当 x 0 时，求使 y2 的 x 的取值范围. a(1, 0)，与 y 轴交于点 b.2. 如右图，抛物线 y = -x + x + n 经过点（1）求抛物线的解析式；（2）p 是 y 轴正半轴上一点，且pab 是以 ab 为腰的等腰三角形，试求点 p 的坐标.y1x-11. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水20m，如果水位上升 3m 时，水面 cd 的宽是 10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时 40km 的速度

13、开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 cd 处，当水位达到桥拱最高点 o 时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？2.3.4. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为 270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高 10 元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20 元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租