向量及其线性运算[向阳教学]

1、数量关系数量关系 第八章第八章 第一部分第一部分 向量代数向量代数 第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中: 空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面 基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法 坐标坐标, , 方程（组）方程（组） 空间解析几何与向量代数 1基础教学 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节 一、向量的概念一、向量的概念 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章 2基础教学 向量：向量：既有大小又有方

2、向的量既有大小又有方向的量. . 向量表示：向量表示： 以以 1 M为起点，为起点， 2 M为终点的有向线段为终点的有向线段. 1 M 2 M a 21M M 模长为模长为1 1的向量的向量. . 21M M 00 a 零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0 |a 21M M | |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. . 单位向量：单位向量： 一、向量的概念一、向量的概念 或或 或或 或或 3基础教学 自由向量：自由向量： 不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. . 相等向量：相等向量： 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. . 负向量：负向量： 大小

3、相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. . a 向径：向径： a b a a 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点 构成的向量构成的向量. . OM M 4基础教学 规定: 零向量与任何向量平行 ; 平行向量：平行向量： 若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反, a 与与 b 平行, ab ;记作 则称 向量共线：向量共线： 当两个平行向量的起点放在同一 点时，它们的终点和公共起点应在一条直 线上 .因此，两向量平行又称两向量共线. 时，如果 个终点和公共起点在一个平面 上 . 就称这 个向量共面. 向量共面：向量共面： 当把 个向量的起点放在同

4、一 点(3)k k k k k 5基础教学 二、向量的线性运算 1. 1. 向量的加法向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . abba cba )()(cbacba a b c ba cb )(cba cba )( a a ba ba b b 6基础教学 s 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 54321 aaaaas 7基础教学 2. 2. 向量的减法向量的减法 ABAOOBOBOA 三角不等式 ab)( ab aa )( aa baba ab a b ab a 0 baba 有时特别当,ab AB 一般地，一般地，任

5、给向量任给向量 及点及点O 8基础教学 设设 是是一一个个数数，向向量量a 与与 的的乘乘积积a 规规定定为为 , 0)1( a 与与a 同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反向，反向，|aa a a 2 a 2 1 3 3、向量与数的乘法、向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律： （1 1）结合律：）结合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( 9基础教学 例例1. 设 M 为 M B A C D 解解: ABCD 对角线的交点, b a ,aAB ,bDA ACMC2MA2

6、BDMD2MB2 ba ab )( 2 1 baMA)( 2 1 abMB )( 2 1 baMC)( 2 1 abMD .,MDMCMBMAba表示与试用 10基础教学 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa 0 按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， 0 |aaa . | 0 a a a 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. 0 . ， ， aba ba 定定理理设设向向量量那那么么向向量量平平行行于于的的充充 分分必必要要条条件件是是：存

7、存在在唯唯一一的的实实数数使使 两个向量的平行关系两个向量的平行关系 11基础教学 证证充分性显然；充分性显然； 必要性必要性a b 设设, a b 取取 取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab 取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab .ab 即即有有 .同同向向与与此此时时ab aa 且且a a b .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a ，故故0 . 即即 12基础教学 x y z 三、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.

8、. 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴 x x轴轴( (横轴横轴) ) y y轴轴( (纵轴纵轴) ) z z 轴轴( (竖轴竖轴) ) 过空间一定点过空间一定点 o o , o 坐标面 卦限卦限( (八个八个) ) 面xoy 面yoz zox面 1. 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 13基础教学 2. 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 沿三个坐标轴方向的分向量分向量. kzjyixr ),(zyx 此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 , ,xiy j zkr 称称为为向向量量 任意向量 r 可用向径 OM 表示. OCOBOA , ixOA

9、, jyOB kzOC x y z o A B C N Q R rM O NMONOM 14基础教学 x y z o 向径 在直角坐标系下在直角坐标系下 11 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点点 M 特殊点的坐标 : 有序数组),(zyx 11 )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ),(zoxC (称为点 M 的坐标坐标) 原点 O(0,0,0) ; r r M 15基础教学 坐标轴 : 轴x 0 0 z y 0 0 x z 轴y 轴z 0 0 y x 坐标面 : 面yox0 z 面zo

10、y0 x 面xoz0 y x y z o 16基础教学 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 设 ),( zyx aaaa , ),( zyx bbbb 则 ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab 0,a 当当时时 ab xx ab yy ab zz ab x x a b y y a b z z a b 平行向量对应坐标成比例: 为，实实数数 17基础教学 例2.已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解解: 设 M 的坐标为, ),(zyx如图所示 A B M o 1 1 M A B , ),( 111 zyxA),( 222 zyx

11、B及实数 , 1 得 ),(zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx 即 .MBAM AMMB AMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA( 18基础教学 说明: 由 得定比分点公式: : , 1 21 xx , 1 21 yy 1 21 zz ,1时当点 M 为 AB 的中点 ,于是得 x, 2 21 xx y, 2 21 yy z 2 21 zz A B M o M A B ),(zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx xy z 中点公式: 19基础教学 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 1. 向量的模与两点间的距离公式

12、向量的模与两点间的距离公式 222 zyx ),(zyxr 设则有 OMr 222 OROQOP x o y z M N Q R P 由勾股定理得 ),( 111 zyxA因 A B 得两点间的距离公式: ),( 121212 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx 对两点与, ),( 222 zyxB OMr OROQOP BABA OAOBBA , rOM 作 20基础教学 例3.在 z 轴上求与两点)7, 1 ,4(A等距 解解: : 设该点为, ),0,0(zM,MAMB 因因为为 2 )4( 2 1 2 )7(z 2 3 2 5 2 )2(z 解得, 9

13、 14 z 故所求点为 及 )2,5,3(B . ),0,0( 9 14 M 思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 21基础教学 提示: (1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得 ,028814 yx (2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得 014947zyx 且0z 例4. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B 解解: : 求 14 1 )2,1,3( 14 2 , 14 1 , 14 3 . BA BA BA BA 22基础教学 解解所求向量

14、有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向 a 222 )6(76| a ,11 |a a 0 a, 11 6 11 7 11 6 kji 或或 0 a |a a . 11 6 11 7 11 6 kji 23基础教学 o y z x 2. 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦 设有两非零向量 ,ba 任取空间一点 O , ,aOA 作 ,bOB O A B 称 =AOB (0 ) 为向量 ba ,的夹角. ),(ab 或 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),( zyxr给定与三坐标轴 r r 称 方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba 特殊

15、地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 的夹角 , , 为其方向角方向角. 24基础教学 o y z x r cos r x 222 zyx x cos r y 222 zyx y cos r z 222 zyx z 1coscoscos 222 方向余弦的性质方向余弦的性质: : r 向向量量的的单单位位向向量量 r r r (cos,cos,cos ) ( , , )rx y z 25基础教学 例6. 已知两点已知两点)2,2,2( 1 M和, )0,3, 1( 2 M 的模 、方向余弦和

16、方向角 . 解解: : ,21,23)20 计算向量 )2, 1, 1( 222 )2(1) 1( 2 , 2 1 cos, 2 1 cos 2 2 cos , 3 2 , 3 4 3 21M M ( 21 MM 21M M 26基础教学 例7. . 设点 A 位于第一卦限, , 解解: 已知 角依次为, 43 求点 A 的坐标 . , 43 则 222 coscos1cos 4 1 因点 A 在第一卦限 , 故,cos 2 1 于是 (6, 2 1 , 2 2 ) 2 1 )3,23,3( 故点 A 的坐标为 . )3,23,3( 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且 OA OAA

17、O 27基础教学 解解 设向量设向量 21P P的方向角为的方向角为 、 、 , 3 , 4 , 1coscoscos 222 . 2 1 cos , 2 1 cos , 2 2 cos 28基础教学 . 3 2 , 3 设设 2 P的坐标为的坐标为),(zyx, 1 cos x 21P P 2 1 x 2 1 , 2 x 0 cos y 21P P2 0 y 2 2 , 2 y 3 cos z 21P P2 3 z , 2, 4 zz 2 P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2( 2 1 29基础教学 M P 3. 3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影 空间一点在空间

18、一点在 轴上的投影轴上的投影x o y z x r OPxi cosxr 30基础教学 u O M M 空间向量在空间向量在 轴上的投影轴上的投影u r OM 称为向量在 轴u 上的分向量分向量. e ,OMe 设 数 称为向量在 轴上的投影，记作u 或Pr u j r ( )ur 31基础教学 Pr, xx aj a Pr, zz aj a Pr, yy aj a kajaiaa zyx 设 则 或记作( ) ,( ) ,( ) xxyyzz aaaaaa 向量投影的性质向量投影的性质 性质性质1 1( )cos u aa 其中 为向量 与 轴的夹角 a u 性质性质2 2()( )( )

19、uuu abab 性质性质3 3 ()( ) uu aa 32基础教学 例8 一向量的终点在点 ，它在 轴、 )7,1,2( Bx y 轴、 轴上的投影依次为 .求这向量的 z 4,4, 7 起点 的坐标.A 解 设 的坐标为 , ),(zyxA(2,1, 7)ABxyz 由已知可得24,14, 77xyz 所以2,3,0.xyz ( 2, 3, 0)A 即 解 2 Prcos( , )3 2 b j aab a 例例9 9 已知已知 ，它与，它与 的夹角为的夹角为 ，求，求 . .(2,1, 2)a b 4 Pr b j a 33基础教学 解解pnma 34 )853(4kji )742(3

20、kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 x a, 在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j 7. 34基础教学 向量的概念向量的概念 向量的加减法向量的加减法 向量与数的乘法向量与数的乘法 （注意与标量的区别）（注意与标量的区别） （平行四边形法则）（平行四边形法则） （注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向） 四、小结四、小结 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. （注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别） 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. 向量在轴上的投影与投影定理

21、向量在轴上的投影与投影定理. 35基础教学 思考题思考题 1 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线 AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba , 解答解答 BCAD AM MD).( 2 1 ba DC AB AM MB ).( 2 1 ba A B C D M a b 36基础教学 思考题思考题 2 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量 nm ,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度. 解答解答 对角线的长为对角线的长为 |,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm 1, 3 , 1 nm ,

22、 3| nm ,11| nm 平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3. m n 37基础教学 一、一、 填空：填空： 1 1、 向量是向量是_的量；的量； 2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模； 3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量； 4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量； 5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量； 6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _； 7 7、两两向向量量

23、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等； 8 8、两两个个模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互为为逆逆向向量量； 9 9、把把空空间间中中一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的始始点点，则则终终点点 构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 练练 习习 题题 1 38基础教学 1010、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点，则终点构成始点，则终点构成_； 1111、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba ,应满

24、足应满足_ _ _； 1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba , 应满足应满足_ _ _ _ . . 二、二、 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形行四边形 . 三 、 把三 、 把ABC的的BC边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为 4321 ,DDDD， 再 把 各 分 点 与 点， 再 把 各 分 点 与 点A连 接 ， 试 以连 接 ， 试 以 aBCcAB ,表示向量表示向量ADADADAD 4321 ,和和 . . 39基础教学 练习题练习题1答案答案 一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起点；、起点； 6 6、共线向量、共线向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半径为、半径为