含参数的一元二次不等式的解法(讲)[教学文书]

1、1课堂教育 2 -3+19 -60 xx如：求不等式的解集 2 3-19 +60 xx 3 -1)( -6)0 xx（ 如何求解一元二次不等式？如何求解一元二次不等式？ 复习回顾复习回顾 分析分析： 12 1 3 -1)( -6)=0 3 xxxx相对应方程（的根 = , =6 1 6 3 不等式的解集（ , ） 2课堂教育 2 +( -1) - 0( 0)xa xaa解不等式 3课堂教育 4课堂教育 12 1 ,xxa 00aa -a1 - )(1,+ )a不等式的解集为（， 相对应一元二次方程的两根 1)() 0 xx a（ 解析：原不等式等价于 5课堂教育 2 +( -1) -0()xa

2、x aaR变式：解不等式 6课堂教育 -a1-a(-a) (1)-a1（ ） 12 1,xxa 1)()0 xxa（解析解析：原不等式等价于 相对应一元二次方程的两根 7课堂教育 2 +( -1) -10()xaxaR解不等式a 二次项含有参数应二次项含有参数应如何求解如何求解？ 8课堂教育 含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式考点考点 x1 x2 x y O 2 +( -1) -10()xaxaR解不等式a x x1x2 y O 9课堂教育 若不等式若不等式ax2bx20的解集为的解集为 则则ab 的值为的值为() A.14 B.15 C.16 D.17 11 , 23 xx 解关于

3、 的不等式: x 2 20 xkxk 10课堂教育 例题讲解例题讲解 例3:解关于 的不等式: x 2 20 xkxk 原不等式解集为 解： 22 88 44 kkkkkk xx 由于 的系数大于0,对应方程的根只需考虑的符号. 2 x 2 8kk （）当即时， 2 80kk80k 原不等式解集为 （）当时得 2 80kk 08kk或 0 x x 解集为： 2x x 解集为： 分析分析: （)当 即 时, 2 80kk08kk或 (a)当 时,原不等式即为 0k 02 2 x (b)当 时,原不等式即为8k 0882 2 xx 11课堂教育 (3)当 时,不等式解集为80k 0 x x (4)

4、当 时,不等式解集为0k (2)当 时,不等式解集为2x x 8k 综上所述综上所述，(1)当 时,不等式解集为8k 22 88 44 kkkkkk xx 22 88 44 kkkkkk xx (5)当 时,不等式解集为 0k 12课堂教育 解不等式04 2 axx 解：解：16 2 a 4,40a 当即时R 原不等式解集为原不等式解集为 ； 40a 当即时, 2 a x xRx 且原不等式原不等式解集为解集为 ； 440aa 当或即时， , 此时两根分别为此时两根分别为 2 16 2 1 aa x 2 16 2 2 aa x ， 显然显然 21 xx , 原不等式的解集为：原不等式的解集为：

5、 2 16 2 16 22 aa x aa xx或 例例4： 例题讲例题讲 解解 13课堂教育 成果验收成果验收 相信我能行！相信我能行！ 2 1-a)460-3 4的解集为的解集为x|xb, (1)求求a，b的值；的值； (2)解不等式解不等式ax2(acb)xbc0. 知能迁移知能迁移1 15课堂教育 (2)不等式不等式ax2(acb)xbc0， 即即x2(2c)x2c0，即，即(x2)(xc)2时，不等式时，不等式(x2)(xc)0的解集为的解集为x|2xc； 当当c2时，不等式时，不等式(x2)(xc)0的解集为的解集为x|cx2； 当当c2时，不等式时，不等式(x2)(xc)2时时,

6、原不等式的解集为原不等式的解集为x|2xc； 当当c2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|cx0的解集是全体实数的的解集是全体实数的 条件是条件是_. a0时，时，b-4ac0 19课堂教育 练习练习. .1 1若集合若集合A A=x x| |axax2 2- -axax+10=+10= , ,则实数则实数a a的取值范围的取值范围 是是 （ ） A. A.a a|0|0a a4 B.4 B.a a|0|0a a44 C. C.a a|0|000时，相应二次方程中时，相应二次方程中 的的=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4, 综上得综上得 a a|0|0a a4.

7、 4. D a 20课堂教育 【2】如果如果a0, 函数函数 的定义的定义 域为域为R, 则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是_. 1 2 a 2 3 ( )log ()f xaxxa 2 0axxa 对一切实数对一切实数 x 恒成立，恒成立， 2 0, 140. a a 或或 0, 11 , 22 a aa 21课堂教育 【例例2 2】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10.+10. （1 1）若对所有的实数）若对所有的实数x x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m m的取值范的取值范 围；围； （2 2）设不等式对于满足）设不等式对于满足|

8、 |m m|2|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, , 求求x x的取值范围的取值范围. . （1 1）由于二次项系数含有字母，所以首）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论先讨论m m=0=0的情况，而后结合二次函数图象求解的情况，而后结合二次函数图象求解. . （2 2）转换思想将其看成关于）转换思想将其看成关于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 利用其解集为利用其解集为-2-2，2 2，求参数，求参数x x的范围的范围. . 思维启迪思维启迪 22课堂教育 解解 （1 1）不等式）不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10+10恒成立，即函数恒成立，即函数f f

9、( (x x)=)= mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方. . 当当m m=0=0时，时，1-21-2x x0, 时，不等式恒成立时，不等式恒成立, ,不满足题意；不满足题意； 3 3分分 当当m m00时，函数时，函数f f( (x x)=)=mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1为二次函数，为二次函数， 需满足开口向下且方程需满足开口向下且方程mxmx2 2-2-2x x- -m m+1=0+1=0无解，即无解，即 综上可知不存在这样的综上可知不存在这样的m m. 6. 6分分 2 1 ., 0)1 (44 0 无解则m m

10、m m 23课堂教育 (2)(2)从形式上看，这是一个关于从形式上看，这是一个关于x x的一元二次不等式的一元二次不等式, , 可以换个角度，把它看成关于可以换个角度，把它看成关于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 并且已知它的解集为并且已知它的解集为-2,2,-2,2,求参数求参数x x的范围的范围. 7. 7分分 设设f f( (m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),), 则其为一个以则其为一个以m m为自变量的一次函数为自变量的一次函数, ,其图象是直线其图象是直线, , 由题意知该直线当由题意知该直线当-2-2m m22时线段在时线段在x

11、 x轴下方，轴下方， 分即9 0122 0322 , 0)2( 0)2( 2 2 xx xx f f 24课堂教育 分分的的取取值值范范围围为为 分分得得由由 得得解解 或或得得解解 12 2 31 2 71- 11 2 31 2 71- 2 31 2 31 2 71 2 71 .| . ., , xxx x x xx 25课堂教育 13xx 或或 2 ( )(2)44g axaxx ( 1)0 (1)0 g g 此题若把它看成关于此题若把它看成关于x的二次函数的二次函数,由于由于a, x都要都要 变变,则函数的最小值很难求出则函数的最小值很难求出,思路受阻思路受阻.若视若视a为主元为主元,

12、则给解题带来转机则给解题带来转机. 26课堂教育 则问题转化为则问题转化为mg(x)min 解：解：m- -2x2+9x在区间在区间2，3上恒成立，上恒成立， （1）变量分离法）变量分离法(分离参数分离参数) 例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_. 2 290 xxm 9m 2 ( )29 ,2,3,g xxx x 记 min( ) (3)9,gxg 9.m 【评注评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不

13、不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题为解关于参数的不等式的问题 27课堂教育 问题等价于问题等价于f(x)max0, 解：构造函数解：构造函数 2 ( )29,2,3,f xxxm x 2981 ( ) 2(),2,3, 48 f xxmx max( ) (3)90,fxfm 9.m 23 y . . xo （2）转换求函数的最值）转换求函数的最值 例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m

14、的取值范围是的取值范围是_. 2 290 xxm 9m 28课堂教育 (2)0 (3)0 f f 则则 100 90 m m 解：构造函数解：构造函数 2 ( )29,2,3,f xxxm x 9.m 23 y . . xo 例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_. 2 290 xxm 9m （）数形结合思想（）数形结合思想 29课堂教育 解：解： 数，数， 30课堂教育 还有什么方法呢？还有什么方法呢？ 31课堂教育 【1】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于 x

15、 R恒成立恒成立,则实数则实数m 的取值范围时的取值范围时( ) A.(,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.(, 2 2 ( )(2)2(2)4,f xmxmx令令 (2)0 2 0 m m 或 22m C 32课堂教育 【2】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于 m - -1,1恒成立恒成立,则实数则实数x 的取值范围是的取值范围是_. 2 ( )2)2(2)4(g mmxmx 22 (2 )244xx mxx ( 1)0 (1)0 g g 33课堂教育 【3】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40

16、对于对于 x - -1,1恒成立恒成立,则实数则实数m 的取值范围是的取值范围是_. 2 ( )(2)2(2)4,f xmxmx令令 20 0 2 ( 1)0 (1)0 m m f f 或 34课堂教育 一、选择题一、选择题 1.1.(2009(2009陕西理陕西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集为的解集为M M, ,函函 数数f f( (x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)的定义域为的定义域为N N, ,则则M MN N为为 ( ) ( ) A. A.0,1) B.(0,1)0,1) B.(0,1) C. C.0,10,1 D.(-1,0)D.(

17、-1,0) 解析解析 不等式不等式x x2 2- -x x00的解集的解集M M=x x|0|0 x x1,1,f f( (x x)= )= ln(1-| ln(1-|x x|)|)的定义域的定义域N N=x x|-1|-1x x1,1, 则则M MN N=x x|0|0 x x1.1. 定时检测定时检测 A 35课堂教育 2.2.已知不等式已知不等式axax2 2- -bxbx-10-10的解集是的解集是 则不等则不等 式式x x2 2- -bxbx- -a a00的解集是的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+)A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. C. D

18、. 解析解析 由题意知由题意知 是方程是方程axax2 2- -bxbx-1=0-1=0的根的根, ,所所 以由韦达定理得以由韦达定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5,不等式不等式x x2 2- -bxbx- -a a00即为即为x x2 2-5-5x x+60,+62,)2,则实数则实数t t的取值的取值 范围是范围是 （ ） A.A.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+) B.(-,2)(3,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) D.(-,0)(3,+) 解析解析 由题意知由题意知t t2 2-

19、2-2t t-12-12且且t t0,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0. 0. . 0, 62 , 0, 12 2 xx xxx D 37课堂教育 4.4.设命题设命题p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q: : 则则p p是是q q的（的（ ） A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 不等式不等式|2|2x x-3|1-3|1的解是的解是11x x2,2, 不等式不等式 的解是的解是11x x2. 0,0,y y00满足满足f f

20、( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y),),则不等式则不等式f f( (x x+6)+ +6)+ f f( (x x)2)2f f(4)(4)的解集为的解集为_._. 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x+6)+6)+f f( (x x)=)=f f( (x x+6)+6)x x, , 2 2f f(4)=(4)=f f(16).(16).根据单调性得根据单调性得( (x x+6)+6)x x16,16, 解得解得-8-8x x2.0,+60,x x0,0,所以所以00 x x2. 2. (0,2)(0,2) 39课堂教育 6.6.若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1=0-1=0有一正根和一负根，有一正根和一负根， 则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 令令f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1,-1, 二次函数开口向上，若方程有一正一负根，二次函数开口向上，若方程有一正一负根， 则只需则只需f f(0)0,(0)0,即即a a2 2-10,-10, -1 -1a a1. 1. -1-1a a10)0恒成立恒成立, ,则则b b的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 依题意，依题意，