2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第I卷12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符一、选择题：本大题共 合题目要求的.(2013课标全国n,理A. 0,1,2 B(2013课标全国n,理A. 1 + i B1.2.21)已知集合 M= x|( x 1) v 4, x R , N= 1,0,1,2,3，贝U MP N=().D . 0,1,2,3). 1,0,1,2 C . 1,0,2,32)设复数z满足(1 i) z = 2i，贝U z=(.1 I C . 1 + i D . 1 i3.(2013课标全国n,理 3)等比数列an的前n

2、项和为S.已知S=比+ 10a1, a5= 9, 1A.3 B .(2013课标全国n,).则 a1=().4.I B ,则(A.C.1 13 C . 9 D理4)已知m n为异面直线,ml平面a , n丄平面卩.直线I满足aB与B相交，且交线垂直于I Da/B 且 I aa丄B 且I丄Ba与B相交，且交线平行于I5. (2013课标全国n,理5)已知(1 + ax)(1 + x)5的展开式中X2的系数为5,则a =(A. 4 B . 3 C . 2 D . 16 . (2013课标全国n,理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 =(N= 10,那么输出的1 + 11 L1A.2310,11

3、,11+ -LB.2!3!10!,11 ,11 + -LC.23111111 +LD.2!3!11!).).S7.(2013课标全国n,(0,1,1) ,(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(理7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O- xyz中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0),).& (2013 课标全国n,理 8)设 a= log 36, b= log 510, c= log 714,则().2013全国新课标卷2理科数学 第1页x1,9. (2013课标全国n,理9)已知a0, x, y满足约束条件xy 3, 若z = 2x

4、+ y的最小值为1，则ya x 3 .a=().1 1A. 4B . 2C. 1D. 2A. cba B . bca C . acb Da b c10. (2013课标全国n,理10)已知函数f(x) = x3+ ax2+ bx+ c,下列结论中错误的是 (A. x0 R, f(x0) = 0B. 函数y= f(x)的图像是中心对称图形C. 若x0是f(x)的极小值点，贝U f(x)在区间(g, x0)单调递减D. 若x0是f(x)的极值点，贝U f (x0) = 011. (2013课标全国n,理11)设抛物线c：y2=2px(p 0)的焦点为F,点M在C 上,| MF = 5，若以MF为直

5、径的圆过点(0,2)，则C的方程为().A. y2 = 4x 或 y2 = 8x B . y2 = 2x 或 y2 = 8xC. y2 = 4x 或 y2 = 16x D . y2 = 2x 或 y2 = 16x12. (2013 课标全国n,理 12)已知点 A 1,0) , B(1,0) , C(0,1)，直线 y = ax+ b(a 0)将厶 ABC分 割为 面积相等的两部分，则b的取值范围是().A. (0,1)B本卷包括必考题和选考题两部分，第1亠2 21亠231 1C.D32第n卷13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题

6、：本大题共4小题，每小题5分.uur uuu13. (2013课标全国n,理13)已知正方形 ABCD勺边长为2, E为CD的中点，则AE BD =14. (2013课标全国n,理14)从n个正整数1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之1和等于5的概率为一，贝U n =.14n 115. (2013课标全国n,理15)设B为第二象限角，若tan ，则sin 0 + cos 0 =.4216. (2013课标全国n,理16)等差数列an的前n项和为S,已知S= 0, $5= 25，贝U nS的最小值 为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (2013课标全国n,

7、理 17)(本小题满分12分) ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a =bcos C+ csin B.(1)求 B;若b= 2,求厶ABC面积的最大值.18. （2013课标全国n,理 18）（本小题满分12分）如图，直三棱柱 ABC- ABC中，D, E分别是AB BB的中点，AA = AO CAAB.2（1）证明：BC/平面ACD 求二面角D- A J E的正弦值.19. （2013课标全国n,理19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内， 每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每 1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需

8、求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t该农产品.以X（单位：t,100 b b2x20. (2013课标全国n,理 20)(本小题满分12分)平面直角坐标系 xOy中，过椭圆 M a 0)右焦点的直线x y 3(1) 求M的方程；(2) C, D为M上两点，若四边形10交M于A, B两点，P为AB的中点，且 OP的斜率为丄.2ACBD勺对角线CDL AB,求四边形ACB面积的最大值.21. (2013课标全国n,理 21)(本小题满分12分)已知函数f(x) = ex ln( x + m).(1)设x= 0是f (x)的极值点，求 m,并讨论f (x)的单调性

9、；当mC2时，证明f (x) 0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. （2013课标全国H,理 22）（本小题满分10分）选修4 1 :几何证明选讲如图，ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线 CD于点D, E F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC- AE =DC- AF, B, E, F, C四点共圆.（1）证明：CA是 ABC外接圆的直径； 若DB= BE= EA求过B, E, F, C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值.23. （2013课标全国H,理 23）（本小题满分10分）选修44 :坐标系与参数方程x 2c

10、ost,已知动点P, Q都在曲线C:（t为参数）上，对应参数分别为t =%与t = 2a（0 VaV 2n ）,y 2s in tM为PQ的中点.（1）求M的轨迹的参数方程；将M到坐标原点的距离 d表示为a的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点.24. （2013课标全国n,理 24）（本小题满分10分）选修4 5 :不等式选讲 设a， b， c均为正数，且 a+ b+ c = 1,证明：1（1） ab+ bc+ acw32 , 2 2 L 1.b ca2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II) 第I卷一、选择题：本大题共 合题目要求的.12小题，每小题5分，

11、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1.答案：A解析：解不等式（x 1）2V 4,得一1vxv 3,即卩 M= x| 1 vXV 3.而 N= 1,0,1,2,3，所以 MT N= 0,1,2，故选 A.2.答案：A解析：2i2i 1 i2 2id .z= = = 1 +1.1 i 1 i 1 i23.答案：C解析：设数列an的公比为q,若q= 1，则由a5= 9,得a1 = 9，此时S?= 27,而a2 + 10a1 = 99，不满足题意，因此1.时，S= a1（1_口 = a1 q+ 10a1,1 q2=q+ 10,整理得 q = 9. a5= a1 q4 = 9,即 81 a1 = 9

12、, a1=.94.答案：D解析：因为mL a , l丄m, 1怕a ,所以I / a .同理可得I /卩 又因为m, n为异面直线，所以 a与卩相交，且I平行于它们的交线故选D.5.答案：D解析：因为(1 + x)5的二项展开式的通项为 C；xr(0 r N,输出S,234L102!3!10!所以B正确.7.答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.&答案:解析:根据公式变形，a lg 3，所以竺lg7lg2lg5lg6 1lg3更，即lg3lg2 b lg10 1 lg2 lg 3 lg5 lg 5cv bv a.故选

13、 D.9.答案:解析:由题意作出x 1,所表示的区域如图阴影部分所示,3作直线2x + y= 1,(1 , 1)，结合题意知直线1a ，所以210.答案：C解析：/xo是f(x)的极小值点，贝y y = f(x)的图像大致如下图所示，则在 (8, xo)上不单调，故 C不正确.因为直线2x+ y = 1与直线x= 1的交点坐标为y = a(x - 3)过点(1 , - 1)，代入得11.答案：C 解析：设点M的坐标为(Xo, y。)，由抛物线的定义，得IMF = Xo+卫=5,则Xo= 5-卫.2 2又点F的坐标为 ,0 ，所以以MF为直径的圆的方程为(x xo) x + (y-yo) y=

14、0.2 22将 x = 0, y= 2 代入得 pxo+ 8 4yo = 0, 即卩 4yo + 8= 0，所以 yo= 4.2由 yo2 = 2pxo,得 16 2p 5 p，解之得 p= 2，或 p= 8.所以C的方程为y2= 4x或y2 = 16x.故选C.12.答案：B本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13. 答案：2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则点 A的坐标为(0,0) , UU B的坐标为U0)，点D的

15、坐标为 (02)山点 E 的坐标为(1,2)，则 AE = (1,2) , BD = ( 2,2)，所以 AE BD 2.14. 答案：8解析：从1,2，n中任取两个不同的数共有 C2种取法，两数之和为 5的有(1,4),(2,3)2 种，2所以21，即一241解得n= 8C：14nn 1n n 114215.答案：105n1 tan111解析：由tan得ta ne =，即 sine =cos e41 tan233将其代入 sin 2 B + cos2 e = 1，得 10 cos21 .9因为 e 为第二象限角，所以cos e = _10 , sin e = -1 , sin e + cos

16、 e =10 1016.答案：49、10 9解析：设数列an的首项为a1,公差为d,则So= 10a1d = 10a + 45d= 0,21514S5 = 15a1 d = 158+ 105d= 25.2联立，得a1 = 3, d23，所以s=3n 3 21 2 n10n23331 3 10 2 令 f(n) = nS,则 f(n) n n , f(n)3 320 令 f ( n) = 0,得 n= 0 或 n3220n n 3202020当n 时，f(n) 0, 0 n2 ac, 故 ac ，当且仅当 a= c时，等号成立.2 V2因此 ABC面积的最大值为、2+1 .18.解：连结AC交A

17、C于点F,则F为AC中点.又D是AB中点，连结DF,贝U BC/ DF因为DF?平面AQD BCM平面ACD所以BC /平面AQD近由 AC= CB=AB 得，ACL BC2 uur以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.uuuUJUUUTCE = (0,2,1) , CA, = (2,0,2)设 CA= 2，则 Q1,1,0) , E(0,2,1) , A(2,0,2) , CD = (1,1,0)设n= (X1, y1, zd是平面 ACD的法向量,uuu“ nCD0,即则UULTnCA0,可取n=(1,1,X1y10,2% 2乙0.1).同理，设m

18、是平面AQE的法向量， uuum CE 0,则 uur 可取 m= (2,1 , 2).m CA10,从而 cos n, nn m|n|m|故sinn,即二面角 A AQ E的正弦值为319.解：(1)当 X 100,130)时，T= 500X 300(130 X) = 800X 39 000, 当 X 130,150时，T= 500X 130= 65 000.匸 800X 39000,100 X 130,所以T65000,130 X 150. 由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120W XW 150.T不少于57 000元的概率由直方图知需求量 X 120,150的频率为0.7，所

19、以下一个销售季度内的利润 的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 ET= 45 000 X 0.1 + 53 000 X 0.2 + 61 000 X 0.3 + 65 000 X 0.4 =59 400.20.解: (1)设 A(X1,y,B(X2, y,F(xo,y。)，2222则X12V1 .2=1 ,X22y?_=1V2V1= 1,ababX2X1由此可得b22X2X1y2y1=1.ay2yx2x1Vn1因为 X1+ X2= 2x0, y1 + y2= 2yo,0X02所以 a2= 2b2.又由题意

20、知，M的右焦点为(.3 , 0)，故a2 b2= 3.2 2因此 a = 6, b = 3.2 2所以M的方程为=1 .63x y .30,由x2 v2XTX解得V因此| AB|4、3丁,或込3 ,4.63 .0,.3.y2X6由题意可设直线CD)的方程为y= x n设 C(X3, y3) , D(X4, y4).x n,22y2得 3x + 4nx+ 2n 6 = 0.13于是 X3,4 =2n、29 n2因为直线CD的斜率为1,所以 |CD = ,2 |x4 x3| 4 9 n2 .3由已知，四边形 ACB的面积S -|CD | | AB|氏6 9 n2 .29当n= 0时，S取得最大值，

21、最大值为 8-6 .3所以四边形ACBDT积的最大值为丄6 .321.解：(1) f (x) = ex.x m由x = 0是f (x)的极值点得f (0) = 0，所以m= 1.于是 f (x) = ex- ln( x +1)，定义域为(1 ,+s), f ( x) = ex1函数f(x) = ex 在(一1,+s)单调递增，且 f (0) = 0.x 1因此当 x ( 1,0)时，f (x) v 0; 当 x (0 ,+8)时，f(x) 0.所以f (x)在(1,0)单调递减，在(0,+)单调递增.当 me 2, x ( m + )时，In(x + m 0.1当m= 2时，函数f (x) = ex 在(一2,+)单调递增.x 2又 f ( 1) v 0，f (0) 0，故 f(x) = 0 在(2，+)有唯一实根 X0,且 X0 ( 1,0).当 x ( 2, X0)时，f (x) v 0;当x (X0,+a )时，f (x) 0，从而当x= X。时，f (x)取得最小值.1由 f (X0) = 0 得 e* =, ln(