微积分II第5章不定积分

1、章节名称： 5.1 原函数与不定积分的概念教学目的与要求：理解并掌握不定积分及原函数的概念，能由定义求一些简单的不定积分,理解不定积分的几何意义.教学重点：不定积分的概念及几何意义 教学难点：不定积分的概念，积分曲线 教学方法：讲练结合作业安排：P158 1 (1) (3) 5.1原函数与不定积分的概念5.1.1 原函数的概念定义1 :设f(x)是定义在区间D上的已知函数，若存在一个函数F(x),对任何 X D有F (x)二 f(x)或 dF(x)二 f(x)dx则称函数F(x)为已知函数f(X)在区间D上的一个原函数。定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间D内连续，那么在区间 D内

2、必存在可导函数F(x)，使得对每一 xD都有F (x)二f(x),即连续函数必定存在原函数。定理2如果函数f (x)在区间D内有原函数F(x)，那么对于任意常数 C,有F(x) C =F (x)二 f(x)即函数F(x) C也是f (x)在D内的原函数。这说明函数f(x)在D内存在原函数的话，则必有无穷多个原函数。定理3区间D内函数的所有原函数中，任意两个原函数之间只差一个常数。5.1.2不定积分的定义定义2在区间D上，函数f (x)带有任意常数项的原函数成为 f (x)在区间D上的不定积分，记为.f (x)dx其中，x是积分变量，f(x)是被积函数，f (x)dx称为被积表达式，.称为积分号

3、。若F (x)是f (x)的一个原函数，则由定义有.f (x)dx = F(x) C，C为积分常数。例2求下列不定积分：2(1)x dx5.1.3不定积分的几何意义通常把f(x)的一个原函数F(x)的图像，叫做函数f(x)的积分曲线，它的方程是y =F(x)。这样，不定积分.f (x)dx = F(x) V ,在几何上就表示一族曲线y = F(x) C，叫做f (x)的积分曲线族。章节名称： 5.2不定积分的性质及基本积分公式教学目的与要求：熟练掌握不定积分的性质及基本积分公式，能使用直接积分法计算不定积分。教学重点：不定积分的性质，基本积分公式，直接积分法教学难点：不定积分的性质，直接积分法

4、教学方法：讲练结合作业安排：P159 3 ( 3)( 4)( 5) 5.2不定积分的性质及其基本积分公式5.2.1不定积分的性质由不定积分的定义和导数运算法则，可以得到以下不定积分的性质。性质1求不定积分与求导或求微分互为逆运算。(1) f (x)dx-f (x) 或 d f (x)dx =f (x)dx( 1) F (x)dx =F(x) C 或 dF (x) =F(x) C ( 2)也就是，不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式)；一个函数的导数(或微分)的不定积分与这个函数相差一个任意常数。性质2设函数f (x)和g(x)的原函数存在，则f (x) _g(x)dx 二 f (

5、x)dx g(x)dx性质3在求不定积分时，非零常数因子可以提到积分号外面，即kf(x)dx = k f(x)dx (k=0)5.2.2 基本积分公式(见课本)例 1 求 x(x2 -5)dx5.2.3直接积分法直接积分法是指直接(或把被积函数通过简单的恒等变形后)利用不定积分的运算性质和积分基本公式求出不定积分的方法。例2求下列不定积分：(3ex 1)dx;x tan2 xdx.章节名称： 5.3换元积分法教学目的与要求：熟练掌握第一换元积分法，理解第二换元积分法，能用换元积 分法积分教学重点：第一换元积分法教学难点：凑微分，第二换元法教学方法：讲练结合作业安排：P159 4 ( 1)( 3

6、)( 4)( 13) P160 1(4) 5.3 换元积分法5.3.1 第一换元积分(凑微分)法对于复合函数 F(x)，令u = (x)，若F (u)二f (u)，有dF (x) = f (x)d(x) = f (x)(x)dx那么f (x) : (x)dx 二 f (x)d (x)二 dF :(x) = F (x) C此式告诉我们，如果某积分的被积表达式为fL (x)p: (x)dx的结构形式，则可先计算:(x)dx 二 d (x)，并令 u 二(x)，则有.f (x)： (x)d . f (x)d (x f(u)du再利用基本积分公式求得积分结果。此方法称为第一换元积分法，又称凑微分法x2

7、x22u例如，求.2xe dx，这里可把e 看作通过中间变量 u=x复合而成的复合函数 e ，而被积表达式的剩余部分 2xdx可凑成x2的微分，即2xdx =d(x2)，于是有xx 22xe dx 二 e d(x )222由积分基本公式 eudu =eu C，可得：.2xex dx 二 ex d(x2) =exC例3+ ,cos仮求dxJxex例4 求dx1例5+ -ln2 x求dxx例 6 求 ta nxdx可以看出，用凑微分法求解不定积分时，关键问题是要熟练掌握一些常见的凑微分形式, 做到根据中间变量的具体形式而灵活运用。常见的几种基本凑微分形式如下(其中求dx.2 -5x例 2 求 x

8、x2 -6dx .a,b,m是常数,且a = 0):11 dx d(ax) d(ax 二 b)aa(2) xmdx =1 dxm 1- d(axm1 二 b) (m-1)m +1a(m +1)11特别是:2 dx = _d (_)，xx11 dx=d(ln x) d(aln x 二 b) xa1 exdx = dexd(aex - b)a(5) sin xdx =-d(cosx)(6) cosxdx =d(sin x)dx = sec2 xdx = d (tan x) cos x(8)2厂 dx =csc xdx - -d(cotx) sin x早节名称： 5.4分部积分法教学目的与要求：掌握

9、分部积分法，用分部积分法计算不定积分教学重点：分部积分法教学难点：分部积分法及公式推导 教学方法：讲练结合作业安排：P159 5 (1) (2)(3) 5.4 分部积分法若某个积分的被积函数可以表示为两个因子的乘积，且其中一个恰是某函数的导数，即为u(x)v(x)的形式，而u(x)v(x)dx又难以用直接积分法或凑微分法求解，往往要使用分部积分法进行求解。设函数u = u(x),v = v(x)具有连续导数，根据乘法微分公式有d(uv) = udv vdu即udv = d(uv) - vdu对该式两边冋时积分得udv = uv - vdu此公式称为分部积分公式。分部积分的关键是首先明确适应于分

10、部积分的被积函数类型、u的选择及凑成 dv。常见的分部积分类型共有五种：(1)xn sin axdxnu 二 X1dv 二 sin axdx 二 d ( cosax) a或 xn cosaxdxnu = x1dv 二 cosaxdx 二 d( sin ax) a(2)xneaxdxnu 二 X1dv = eaxdx 二 dGeax)a1xn ln(ax 二b)dxu = ln( ax 二 b)dv = xndx = d( xn 1)n +1xn arcsin axdxu = arcs inaxdv 二 x dx = d(x )n +1eax sin bxdxaxu 二 e1dv = s in bxdx = d ( cosbx) b也可令u = sinbxdv =eaxdx = d(丄 eax)a或eax cos