08年真题及答案

1、2008 年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试 高等数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并 将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 、单项选择题 :本大题共 10 小题,每小题 4分, 共 40分，在每小题给出的四个选项中，

2、 只有一项是符合题目要求的。 1 下列极限正确的是 A. lim x 1 sinx x 1 B. lim x xtan1 x 1 C. lim 4 x 0 x D. lim x x e 2. 当 x 0时，与 1 x2 1等价的无穷小是 A B. 2 2 12 x x C. 2 x D. x 2 3. 设函数 f x ,g x 在（ , ） 内可导且 g x 0, 又f x g x f x g x ,则当 a xb（其中 a,b为常数 ）时, 有 A. f x g x 1时, 下列不等式成立的是 C. D. A ln 1 x x B. x e x 9. 设周期函数 f x 在 内可导 , 周期

3、为 4,且 lxim0 1x 1, 则曲线 2x y f x 在点 5, f 5 处的切线斜率为 A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 10. 下列微分方程中 , 通解是 ex C1 cos2x C 2 sin2x 的方程为 A. y 2y 3y 0 B. y 2y 5y 0 C. y y 2y 0 D. y 6y 13y 0 2008 年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试 高等数学 第卷 （ 非选择题 共 110 分） 题号 二 三 总分 （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 得分 注意事项： 1. 答第卷前，考生须将密封线内的项目填写清

4、楚。 得分 评卷人 11. 求极限 : lim x x 2考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 、填空题 : 本大题共 6小题 ,每小题 4 分, 共 24分，把答案填在 题中横线上 . 1 cos 2 x2 12. 已知点 1,3 是曲线 ax3 bx2的拐点 , 则常数 a, b的值分别为 13. 设f 2x sinx, 0, 0 2 f x 1 dx的值为 0 14. 曲线 2 y2 2 z 2 0 1, 1,绕 Y 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为 15. 函数 f x,y e2x 2 y 2 2y 的驻点为 16. 1y f x,ydx 2 0 交换积分次序 : dy 1

5、三、解答题 : 本大题共 8小题,共 86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 得分 评卷人 17（本小题满分 10 分） . 设 k 为常数且函数 f x 2 xx1 xk e 0 x 1 在点 x 1 处连续 , 求 k 的值 . x1 得分 评卷人 18 本小题满分 10 分） x t1 求曲线 txey t1y 0相对应的点处的切线方程 10 分) 10 分) 已知点 A 1,2,3 和直线 L1 x3 7 y2 8 9 ,直线 L2 : 4 yz 56 得分 评卷人 19(本小题满分 设 f x dx ex C,并且 f 1 0 . x (1) 求 f x 的表达式 ; (2)

6、 求不定积分 xf x dx. 得分 评卷人 20(本小题满分 (1) 求过点 A 且垂直于直线 L1的平面 的方程； (2) 求过点 A和直线 L2 垂直且平行于平面 的直线方程 得分 评卷人 21 本小题满分 10 分） 设区域 D :0 22 x,x2 y2 2x , 计算二重积分x xy y ,求全微分 dz和二阶偏导数2z x2 y 2 dxdy . D 得分 评卷人 22 本小题满分 12 分） 设二元函数 z 1 得分 评卷人 23(本小题满分 12 分) 已知函数 f x 在区间 a,b 上连续 ,且 f x 0, 设函数 xx 1 F x f t dt dt , x a,b

7、. ab f t (1) 证明 F x 2 ; (2) 证明方程 F x 0 在区间 a,b 内有且仅有一个根 得分 评卷人 24（本小题满分 12 分） 求微分方程 xdy x 2y dx 0的一个解 y y x ,使得由曲线 y y x 与 直线 x 1,x 2及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所围成的旋转体体积最小. 2008 年天津市高等院校“高职升本科” 招生统一考试 、选择题 1B 6. A7. A 二、填空题 11. 1 2 14. y2 三、解答题 高等数学参考答案 2. D 3. C 8. C 9. C 12. 4. D 5. B 10. B 13. cos1 1 ln

8、 2 2 z2 1 15. 16. 2 dx 1x f x, y dy x1 2 2 因为 lim f x lim x x 1 lim 1x 1 x 1 x1 x1 x1 又因为 f1 1k e ，所以 2 e 1k e ，因此 解 : 因为 dx 1 tt 0 ，所以 dx 1 2t dt dt 因为 ey te y dy dy 0 所以 dy e dt dt dt 1 17. 解 : 因为 f 在点 x 1处连续， 所以 lim 1 x x 2 e k 18. y tey ey 因此 dy dx dy dt dx dt 2t 1 tey 当 t 0 时， x 0,y 1所求的切线方程的斜率

9、为 故所求的切线方程为 y 1 e 1x 19. 解: （1）由已知，得 2 f ex C 所以 2f x exC 因此 f x 1C 2 fx 1 x2 e 2 1C 2 20. 21. 22. 因为 2) xf x dx xe ex2 0， 所以 C 1e 2 x2 x2 1e 2 exdx ex2 dx xdx 解: （1） 直线 L1的方向向量为 s 于是所求平面 的方程为 7 2）所求直线的方向向量为 7x 7,8,9 8y 8y 9z 3i 36 6j 9z 3k 30 故所求直线的方程为 x 1 解: 在极坐标下，区域 D为 所以 解 : （1）因为 所以 z3 1 ,0 2co

10、s ， 2 y2 dxdy 1 sin2 y ln 1 e yln 1 e xy xy 4d 0 2cos 2d 3 cos d dsin 1 1 xy 10 2 12 2 y 1 xy xy dz 2) 2 z 2 x 23. 证明： 2) zdx x xy yln 1 xy e ln1 xy 1 y 1 xy x y xy 2 yy 2 1 xy 1)因为 所以 因为 F ln1 xy xy 1 1 xy y xy zdy y 2 y2 dx 1 xy 2 y 1 xy y xy f x 0， ln1 xy xy 1 xy dy 2 y 1 xy 2 y xy a f t dt a y x

11、y 2 y 1 xy fx a1 b dt t xy xy 43 y y y 2 1 xy b1 a 2 fx dt 0 ， a 且 F x 在区间 a,b 上连续 . 所以由零点定理知 F x =0 在区间 a,b 内至少有一个根 . 由(1) 知 F x 20, 所以 F x 在 a,b 上单调增加 ,从而方程 F x =0 在区间 a,b 内至多有一个根 . 故方程 F x =0 在区间 a,b 内有且仅有一个根 2 2 2 31 2 15 7 dV 62 15 VC x Cx dx C2 C 于是 C 1 5 2 3 dC 5 2 惟一极小值点 , 因此也是最小值点 , 故所求曲线为 y 75 x2 x . 24