微积分复习附解题技巧

1、微积分复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：综合练习第二大题之2二、求函数的定义域:（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表 示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就就是使这个式子有 意义的自变量x的取值范围（集合）主要根据： 分式函数：分母工0 偶次根式函数：被开方式0 对数函数式：真数式0 反正（余）弦函数式：自变量 1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成 不等式组解之。典型例题：综合练习第二大题之11补充:求y= 2 x的定义域。（答案：2 x ）V1 2x2三、判断函数的奇偶性：典型例题：综合练习第一大题之3、4第二章极限与连续求极限主

2、要根据：1、常见的极限：sin xlim 11lim 厂 （）x X2、利用连续函数：lim f（x） f（x）X x初等函数在其定义域上都连续。例：1阮13、求极限limxf（x）g（x）的思路:lim f（x）C1 （C1 常数）lim g（x）C2（C2 常数）可考虑以下9种可能:0型不定式（用罗彼塔法则）2=C2C2-= C1=OOC2型不定式（用罗彼塔法则）特别注意：对于f(x)、g(x)都就是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：综合练习第二大题之3、4;第三大题之1、3、5、7、8.2补充 1：若 lim s2n

3、(x 1)1,则 a= -2X i x ax b,b=1、x1?兰x2x 1x 1.12补充 2:lim x 1lim 1xxx 1e2补充3:1 1 11, 1.111 lim 1.lnm 23 3 51 1lnm 1 33 5 5 7 .(2n1)(2 n 1).2n 1 2n 11lim 1 -242n 12补充-4:ln xlimx 1x 10型10lim1x 1X 11(此题用了“罗彼塔法则”)第三章导数与微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题：典型例题：综合练习第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P123 2、求导的四则运算法则：教

4、材P110-111 3、复合函数求导法则（最重要的求导依据） 4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分:dy=y/ dx即可典型例题：综合练习第四大题之1、2、7、2arctgx1 x2补充:设 y二、x2 1 （arctgx）2,求 dy、解:T y -,_ 2x 2arctgx dy= y dx2arctgx1 x22 4T71 x2；1 x2)dx第四章 中值定理 ,导数的应用 一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题 : 典型例题 :综合练习第一大题之 16、19 二、利用导数的几何意义 ,求曲线的切、法线方程 : 典型例题 :综合练习第二大题之 5

5、 二、函数的单调性 （增减性 ）及极值问题 : 典型例题 :综合练习第一大题之 18,第二大题之 6,第六大题之 2第五章不定积分第六章 定积分I理论内容复习：1、原函数:F (x) f (x)则称F(x)为f(x)的一个原函数。2、不定积分：概念:f(x)的所有的原函数称f(x)的不定积分f(x)dx F(x) C注意以下几个基本事实：f(x) Cf(x) Cf (x)dxf (x)f (x)dxd f(x)dx f (x)dxdf(x)性质:a f (x)dx a f (x)dx(注意a 0)f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx基本的积分公式：教材P2063、定积分：定

6、义几何意义性质:教材P234235性质1 3求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式H习题复习：一、关于积分的概念题： 典型例题：综合练习第一大题之22、24、25、第二大题之11、14、求不定积分或定积分可供选用的方法有一一直接积分法：直接使用积分基本公式 换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法分部积分法 典型例题：综合练习第五大题之2、3、5、6关于“换元积分法”的补充题一：dx2x 11 12 2x 1d(2x1)-ln2x 1 C2关于“换元积分法”的补充题二xdx解:设 x - 3=t2, 即，x 3 =t,则 dx=2tdt、2- xdx = (t 3) 2t 21 严 1

7、 C dt = 2 t 6t C、x 3t2 12 32 3 =t6t C = (. x 3)6：x 3 C33关于“换元积分法”的补充题三：8 dx013 x解:设 x=t3，即 3 xt ,则 dx=3t2dt、当 x=0 时,t=0;当 x=8 时,t=2、 所以8 dx 2 3t 2dto1 3 x =0 Tr2 3(t 1)丄 dt 3(t 1)2ln1 t，即变量x换01 t2 =3ln3 （此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限” 成变量t后，其上、下限也从0、8变为0、2）关于“分部积分法”的补充题一：xexdxxdexxexexdx (x 1)ex关于“分部积分法”

8、的补充题二 :arctgxdx xarctgx关于“分部积分法”x 7 dx arctgx 1 x的补充题三：exln xdx1 -x2l(e221e21)2 21 in xdx21 x2l nxee 2x d l n x-x2lnxe exdx1 2 -e1 2 -x2 121 121 122e11（此题为定积分的分部积分法）三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：典型例题：综合练习第六大题之4注意:此题若加多一条直线y=3x,即求三线所围平面图形的面积，则解法为一一（草图略）132132S= o（3x x）dx 1 （3x x ）dx= Q2xdx 1 （3x x ）dx=21x212 03x22!x3331=127=13 （平方单位）使用指南本 复习参考资料 应当与人手一册的 综合练习题 配套使用并服从于 综合练习题 。另外 ,请 注意如下几点 :本 复习参考资料 中的蓝色字体的“补 充”题就是以往年级的部分应试复习题 ,对今年 9 月份考试的同志来说 , 仅仅作为参考补充。 综合练习题就是我们复习重点中的重点, 请对照答案将 所有题目完整地做一遍 （使题目与 答案相结合而不要相分离 , 以便需要时加快查 找的速度与准确度 ）。 请将上述做好的综合练习题 随身携带 ,经常 复习、记忆