微积分知识点总结9-4-2

1、第四节 多元复合函数的求导法则I.常数和基本初等函数的导数公式 (1) (0 = 0.(3) (sin 卫)=cos x (5 ) (tan jt ) = sec3 工 *(7) (sec j? ) = sec j.*tan jc t (9)(/) = a In a ,(2)(宀=”(4) (cos 艾)=一 sin jc T(6) (cot jcY - csc(16) (arccot jt ) = _ -_-_丫x t(8) (esc- esc jrcot 工,(10) (ex) = e(12) (n j:)=丄，x微积分（上）P952.函数的和差积曹商的求导法则微积分（上）P95设 u-（

2、jr）tv-V（jr）都可导侧(1U卷，(13) (arcstn xY z ,v 1 _ jc(14) (arccos xY -I - x2(15) (arctan xY -tf + jr*（1） J 士小 1/讥（2） （CuY = Cuf （C 是常数）.(3) ( WU uv UVU VUVv一元复合函数的链式求导法则:连线相乘d?* dx连线相乘口诀：分段用乘，分叉用加。多元函数与多元函数复合的情景口诀：分段用乘，分叉用加dy dy du dv d ? dx du dv dw dt一元复合函数的链式求导法则为：多元复合函数的链式求导法则为：:：zXV7口诀：分段用乘，分叉用加。温故知新

3、f x, y, z = e2 22x2y2 z2,而 z= x2siny .分析：函数Ux、y禾口 z ；而函数2 +2十 2=f x, y, z = ex y z的自变量为z=x2siny的自变量为x和y。图示如下:所以，根据“口诀：分段用乘，分叉用加。”有:而实质上函数u二x2 y2 x4 sin2 y是一个二元函数。所以最后结果只让它含解:x2 + v2+z22xex y zx2 + v2 + z22ze y2xsin yx2 + v2 + z22xex yx y z4xze sin y2ye2 2 2 x2 y2 z22 2 22zex y zx2cosy2 y x4sin ycosy

4、 exy2 x4 sin2 yf X y乙xyz , f具有二阶连续偏导数.2W分析：令u 二 x y z, v 二 xyz，贝y w= f u,v这时，抽象函数 W= f u,v的自变量为u和v；而具体 函数u二x y z和v= xyz的自变量都是 x、y和z。图示如下：为表达简便起见，引入以下记号：fx (u fv)- fu(u .V)ttv) = /uv( W f f2八 f2/ u,v 二 fv u,v ,二 f21 u,v 二 fvu u,v . fll二fiiU,V 二fuuu,v ,f22二 f22 U,V 二fvvu,v .这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个

5、变量“求偏导P64如果函“心y）在区域D内每一点（工仔）处对j的偏导数都存在, 那么这个僞导数就是,y的西数，它就称为函数 S对自变量工的偏 导西数36作务辛,気或 仏,y）.类似地，可以定义函数z = /（）对自变憧y的侗导函数，记作务务*,或加）個导数记号丄也记成龙;下面高阶倔导敷的记号也有类佩的悌形.P67设函数zf（x.y）在区城D内具有偏导数岸=以“）特=几（），x,y* 64 那么在D内J,y）都是工理的函数如果这两个函数的偏导数也 存在，则称它们是函数2 = /（z,j）的抱|塾按照对变蛋求导次序的不同 有下列四个二阶16辱数：_3_/3z齐齐厂于以5dfB打护r 3 I3z彩僅

6、卜盘=/*a仇卜券=打（“）其中第二、三两个偏导数称为混合倫导数.同样可猖三阶、四阶、以及阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.P68定理如果画数的两个二阶混合偏导数洗及話在区域D内连餌那么在该区1S讷这两个二阶混合偽导数必相執-这定理的证明从略”对于二元以上的函畝也可以类彼地定义高阶偏导瓶而且髙阶混合偏导数 在偏导数连续他条件下也与求导的次序无关.例4设w二f x y z, xyz , f具有二阶连续偏导数r rfuf1 f2 yz求負“2ww負和为刊.xX z解：令u 二 x y z, v 二 xyz,贝y w= f u,vuxf1 u,vyzf2 u,v11II/|12fr u

7、,vf2yf2 yz 2/1112xy/fnxyf12/yzf21/11y x z f12、1. (11-7)xy21722yzf2 u,vg yz f2xy zf22/21/xy2zf22/1f22 xyyf?yf?已知函数z二f (x * y,xy)，其中f具有二阶连续的偏导数,分析：令 u 二 x y, v = xy，则 z f u,v这时，抽象函数 z f u,v的自变量为u和v ；而具体 函数u二x y和v二xy的自变量都是 x和y。图示如 下：VF*xyxy+解：令 u 二 x y , v = xy，则 z 二 f u,vfii fzy二 f1 u,v yf2 u,v.2B zcf

8、1 cu 曲vr(cf2cf2点v 1| , + 1+ t+y* + * 1cxyfff12cyw細)L cu cyCV cy 丿nnnn1112f212211xf12yf21xyf22/11y f12xyf22下面是原来做的，复制过来的。三、1.(11-7)已知函数 z f (x y, xy)，其中f具有二阶连续的偏导数,2z设m f才)(4)苗数的和、畫釈、商的求导法则v(x)都可导則(2) CuYCu (C 是常数),解：本题考查的知识点是：多元复合函数的高阶偏导数则z二f u,v（这个属于抽象函数）对）式，把y看作常数，由链式法则得Z : f : u f v= + ：X u :x v ： X对）式，把X看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得:f