微分方程的积分因子求解法

1、常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法 ，并推广到较一般 的形式。关键词：全微分方程，积分因子。一、 基本知识定义1、1 对于形如M(x, y)dx N(x, y)dy 0(1、1)的微分方程，如果方程的左端恰就是x,y的一个可微函数U(x,y)的全微分，即d U (x, y) = M (x, y)dx N(x, y)dy ,则称(1、1)为全微分方程、易知，上述全微分方程的通解为 U(x, y) = C , (C为任意常数)、定理1、1 (全微分方程的判别法)设M (x, y) , N (x, y)在x, y平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，

2、则(1、1)就是全微分方程的充要条件为M(x, y)yN(x, y)x(1、2)证明见参考文献1、定义1、2对于微分方程(1、1),如果存在可微函数(x, y),使得方程(x, y) M (x, y)dx (x, y)N(x, y)dy 0(1、3)就是全微分方程，则称(x,y)为微分方程(1、1)的积分因子、定理1、2可微函数(x,y)为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为N(x, y)ln (x, y) -M (x y) In (x, y)_ M (x,y) N(x,y) x(1、4)证明：由定理1、1得,(x,y)为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为展开即得:(x, y)M(x

3、,y)( (x,y)N(x,y)（x,y）（x, y）_ M （x, y） N（x, y）N（x, y）- M （x,y）=（x,y）、xyyx上式整理即得（1、4）、证毕注1、1若（x,y）0,则（1、3）与（1、1）同解。所以，欲求（1、1）的通解，只须求出（1、3）的通解即可，而（1、3）就是全微分方程，故关键在于求积分因子(x,y)。为了求解积分因子 （x, y），必须求解方程（1、4）。一般来说,偏微分方程（1、4）就是不易求解的；但就是，当（x, y）具有某种特殊形式时还就是较易求解的。二、特殊形式的积分因子的求法情况1当（x, y）具有形式（x）时，方程（1、4）化为N(x,y)

4、dln(X)-(3)dxN(x,y)xd ln (x) =1dx N(x, y)M(x,y)yN(x,y)x于就是得到：定理2、1微分方程（1、1）具有形如（x）的积分因子的充要条件为1 M (x, y) N(x,y)xN (x, y) y只就是x的连续函数，不含y、此时易得,1叮竺2竺丄dx(x) e N(x,y) y x类似地定理2、2微分方程（1、1）具有形如（y）的积分因子的充要条件为1 M(x, y) N (x, y)y xM(x,y)只就是y的连续函数，不含x、并且,1 M (x,y) N (x, y) dy M (x,y) yx(y) e322求(2x 3x y y1N(x,y)

5、 M(x,y)M(x,y)yN(x,y)xd(xy)1M(x,y)N(x, y)”, 、 p(x)dx解：因=P(X),故(x) e 、N(x,y) yxp( x)dx , p( x) dxp(x) dx方程两边同乘以(x) e 得e p(x)y q(x)dx e dy 0,即dp(x)dxyep(s)dsj(x)edxp(x)dx0,故通解为yep(s)dsq(x)edx = C ,p(x)dxp(s)ds即yeCq(x)edx ,（C为任意常数）、情况2如果（1、1）具有形如（x y）的积分因子，令z x y,贝 U (xy)(z)、由（1、4）得d In一1M (x, y)N(x,y)d

6、zN (x, y) M (x, y)yx于就是得到：定理2、3微分方程（1、1）具有形如 （xy）的积分因子的充要条件为1M (x, y)N（x,y）只就是zxx y的连续函数，此时积分N (x, y) M (x, y)y因子为故方程具有形如（X y）的积分因子，取C 1得，（x y）1(x y)y3)dx (2y3 3xy1 2 x2 x3)dy 0 的积分因子、情况3如果（1、1）具有形如（xy）的积分因子，令z xy,贝U （xy）= （z）、 由（1、4）得d ln (z) =1M (x, y) N(x, y)dz yN(x,y) xM (x, y) yx于就是得到：定理2、4微分方程

7、（1、1）具有形如（xy）的积分因子的充要条件为yN(x, y)1xM (x,y)巴也N（x, y）只就是z xy的连续函数，此时积分y x因子为(xy)1叱竺丄dzCe yN(x,y) xM (x,y) yx,（C为任意非零常数）、求ydx（x 3x3y2）dy 0的积分因子、3xyM(x,y) N (x, y)yN (x, y) xM (x, y) yx故方程具有形如（xy）的积分因子,取C 1得(xy)3d(xy)xye1(xy)3情况4 一般地，如果方程（1、1）具有形如/ m(x）的积分因子,令m n m【/ mn、z x y ,贝U (x y )(z)、由（1、4）得dln (z)

8、=dz = mxm 1N (x, y) nyn1M(x,y)M(x,y)yN(x,y)x于就是得到定理2、5微分方程（1、1）具有形如（xm yn）的积分因子的充要条件为N（x,y）只就是z xm yn的连续函数,x此时积分因子为m(xn、y )1M (x,y) N(x,y),11dzmxmN(x,y) nyn 1M (x, y) yxCe(C为任意非零常数）、类似地，我们有定理2、6微分方程（1、1）具有形如（x*M(x,y)m1z 、n 1. . z 、mx N (x, y) ny M (x, y) y）的积分因子的充要条件为kxk 1ylN(x, y) lxy1 1M(x, y)響晋只就

9、是zxW的连续函数,此时积分因子为k(xy1)M (x,y) N(x,y) dzCe kxk 1ylN(x,y) lxkyl 1M(x,y) y(。为任意非零常数）、y3dx2(x2xy2）dy 0的积分因子、M (x, y) N (x, y) kxk 1ylN(x, y) lxkyl 1M(x,y) yx5y2 4xxkyl2kx (2k l)y2易知,欲使上式仅就是z Xk/的函数,只须2kx5y（；k4：）y2等于常数即可、为此，令2k 4, 2k l5,得k 2, l 1、此时 丝空；=-1、 取2kx (2 k l)y2C 1得（xW e丹2y)三、般理论定理3、1如果（x,y）就是

10、微分方程（1、1）的积分因子,（1、1）乘以（x,y） 后得到（1、3）、设（1、3）的左端为 dU （x, y）,则（x, y） （U （x, y）仍就是（1、1） 的积分因子、 其中，（?）就是任何可微函数、定理3、2 在（1、1）中,若M（x,y）与N（x,y）在长方形区域 Q上连续，且N（x,y）在Q上处处不为零、对于（1、1）的任何两个在Q上处处连续且恒不为零的积分因子1(x,y),2(x,y)(从而1(x,y),2(x,y)在Q上不变号),设dUjx, y) 1(x, y)M (x,y)dx N(x, y)dydU2(x, y)2(x, y)M (x, y)dx N(x,y)dy、

11、则在Q内任一点（x,y）,可定出一邻域，在此邻域内，七只就是U,x, y）的函数、上述两定理的证明可参见参考文献3、注3、1由定理3、1与定理3、2即知,设（x,y）就是（1、1）的积分因子,（1、3）的左端为dU （x, y）,则（1、1）的积分因子通式为（x, y） （U （x, y） （?）就是任何可微函数、例3、1求（5xy 3y3）dx （3x5337程的两边可求得通积分为 x2y2 x2y2 C , （C为任意常数）、 7xy2）dy 0的积分因子及通解、解：重新组合：(5xydx 3x2dy) (3ydx 7xy2dy) 0,对于前一个括号内可求得一个积分因子15,乘之得- dxx3dyydln x5y3、故前一个括号内可取积分因子通式为1(x/37、2(x y )、12，使