弹性力学试题及答案

1、弹性力学试题参考答案（答题时间：ioo分钟）一、填空题（每小题4分）1 .最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程,应力边界条件。2 .组可能得应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。3. 等截而直杆扭转问题中，得物理意义就是杆端截而上剪应力对转轴得矩等于杆截而内得扭矩M 4平而问题得应力函数解法中.Airy应力函数在边界上值得物理意义为边界上某一点（基准点）到任 一点外力得矩 。5弹性力学平衡微分方程、几何方程得张量表示为：二、简述题（每小题6分）1 .试简述力学中得圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中得作用。圣维南原理:如果物体得-小部分边界上得而力变换为分布不同

2、但静力等效得而力（主矢与主矩相同）,则近处得应力分布将有显著得改变，但远处得应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂得而力（集中力、集中力偶等）作分布得面力代替。（2）将次要得位移边界条件转化为应力边界条件处理。2. 图示两楔形体，试分別用直角坐标与极坐标写出其应力函数得分离变量形式。题二（2 ）图（a）（b）3 图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P,板得几何尺寸如图，材料得弹性模量、泊松比“已知。试求薄板而积得改变疑。题二图设当各边界受均布压力“时，两力作用点得相对位移为。由得，设板在力P作用下得面积改变为，由功得互等泄理有：将代入得：显然，与板得形状无关，仅与E、/有

3、关。4图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力彳,在自由端作用有水平集中力试写出英边界条件（除固泄端 外）。题二（4）图（1）;（2）（3）5 .试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Ga I erkin）位移函数法求解空间弹性力学问题得基本思想, 并指出各自得适用性Love. G a 1 erkin位移函数法求解空间弹性力学问题得基本思想：（1）变求多个位移函数或为求一些特殊函数,如调与函数、重调与函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性:L ove位移函数法适用于求解轴对称得空间问题；Gale r kin位移函数法适用于求解非轴对称得空间问题。三、计算题1 图示半无限平而体在

4、边界上受有两等值反向,间距为d得集中力作用，单位宽度上集中力得值为P,设间距d很小。试求英应力分量，并讨论所求解得适用范囤。（提示：取应力函数为）（13 分）题三（1）图解:很小”可近似视为半平而体边界受一集中力偶M得情形。将应力函数代入，可求得应力分量：边界条件：（1）;代入应力分量式，有或（1 ）（2）取一半径为r得半圆为脱离体,边界上受有:，与M = Pd由该脱离体得平衡，得将代入并积分，有得（2）联立式（1）、（2）求得：9代入应力分量式，得 9,结果得适用性:由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可 适用。2. 图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁

5、得正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求岀,并检验该应力分虽:能否满足应力表示得相容方程。(12 分)题三图解：(1 )求横截而上正应力任意截而得弯矩为,截面惯性矩为，由材料力学计算公式有(1)(2) 由平衡微分方程求、平衡微分方程：其中,。将式(1)代入式(2),有积分上式，得利用边界条件:，有即(4) 将式(4 )代入式(3),有或积分得利用边界条件：9得：由第二式，得将英代入第一式，得自然成立。将代入得表达式，有(5) 所求应力分量得结果：r(6)校核梁端部得边界条件：(1) 梁左端得边界(*0)：,代入后可见:自然满足。(2) 梁右端得边界:3r可见，所有边界条件均满足。检验应力

6、分量就是否满足应力相容方程: 常体力下得应力相容方程为将应力分虽:式（6）代入应力相容方程，有显然，应力分量不满足应力相容方程,因而式（6）并不就是该该问题得正确解。3端固左,另一端弹性支承得梁，其跨度为/,抗弯刚度7为常数.梁端支承弹簧得刚度系数为梁受有均匀分布载荷g作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）得梁挠度试函数；（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式得挠度近似解（取1项待左系数）。（1 3 分） 题二（3）图解：两种形式得梁挠度试函数可取为多项式函数形式一一三角函数形式此时有：（X）= 2x（Al + A2x + A3x2 +） 4-x2（A2 + Ayx

7、 +）匚）=0即满足梁得端部边界条件。 梁得总势能为取：，有代入总势能计算式,有由，有代入梁得挠度试函数表达式，得一次近似解为4 已知受力物体内某一点得应力分量为：，”,试求经过该点得平而上得正应力。（12 分）解:由平而方程，得其法线方向单位矢咼得方向余弦为弹性力学课程考试试卷题号一二三四五总分得分考试时间：120分钟考试方式:开卷任课教师:杨静日期：2 00 7年4月28日学号:姓名:工程领域：建筑与土木工程一、简述题（40分）1. 试叙述弹性力学两类平面问题得几何、受力、应力.应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数 间得转换关系。2. 弹性力学问题按应力与位移求解，分别应满足什么方程？3

8、. 写岀直角坐标下弹性力学平而问题得基本方程与边界条件？4. 写岀弹性力学按应力求解空间问题得相容方程。5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6. 试叙述位移变分方程与最小势能原理，并指岀她们与弹性力学基本方程得等价性？7. 试判断下列应变场就是否为可能得应变场?（需写出判断过程）试写出应力边界条件：（1）（）图用极坐标形式写出； （）图用直角坐标形式写出。/J L力勺广广I某点得寂j分量为量，以及该平而上得正应力与切应力。三、计算题（15分）-$试求作用在过11WWxx坐标轴方向得应力分图示矩形截而悬皆梁，长为，髙为，在左端而受力作用。不计体力，试求梁得应力分量（试取应力函数）

9、四、计算题（15分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为得集中力作用，单位宽度上集中力得值为P,设间距d很小。试求英应力分量,并讨论所求解得适用范围。（试取应力函数）五、计算题（15分）如图所示得悬臂梁，其跨度为。抗弯刚度为，在自由端受集中力作用。试用最小势能原理求最大挠 度。（设梁得挠度曲线）弹性坪试题（答题时间 2 0分钟）班级?姓名学号题号一三总分(I)(2)(3)(4)得分一、填空题（每小题4分）1用最小势能原理求解时所假设得位移试函数应满足: o2 弹性多连体问题得应力分量应满足 , , 03. 拉甫（Love）位移函数法适用 空间问题；伽辽金（Ga 1 e rkin）位移

10、函数法适用于空间问题。4. 圣维南原理得基本要点有 , ,。5 .有限差分法得基本思想为: .。二、简述题（每小题5分）1. 试比较两类平而问题得特点，并给岀由平而应力到平而应变问题得转换关系。2 试就下列公式说明下列问题：（1）单连体问题得应力分量与材料得弹性常数无关；（2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关得条件。式中：均为解析函数：均为单值解析函数。3. 试列写图示半无限平而问题得边界条件。题二（3）图4. 图示弹性薄板,作用一对拉力P.试由功得互等左理证明：薄板得而积改变量与板得形状无关，仅与材 料得弹性模量、泊松比“、两力P作用点间得距离/有关。题二（4）图5 .下面给出平面

11、问题（单连通域）得一组应变分量，试判断它们就是否可能。O6 等截面直杆扭转问题得应力函数解法中，应力函数应满足：式中:G为剪切弹性模量;K为杆件单位长度扭转角。试说明该方程得物理意义。三、计算题1. 图示无限大薄板，在夹角为90得凹口边界上作用有均匀分布剪应力已知其应力函数为：不计体力，试求其应力分量。（13分）题三（1）图2 图示矩形截面杆，长为/,截而高为h,宽为单位1 ,受偏心拉力M偏心距为e,不计杆得体力。试用应力函数求杆得应力分量，并与材料力学结果比较。（12 分）题三（2）图3 图示简支梁，其跨度为/，抗弯刚度7为常数，受有线性分布载荷g作用。试求：（1）用三角函数形式与多项式写出

12、梁挠度3）近似函数得表达式；（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或R i tz法求梁挠度（R）得近似解（取2项待定系数）。（13分）题三（3）图4. 图示微小四而体OAB C,OA = OB = O C,为SB得中点。设O点得应变张呈:为:试求D点处单位矢量八f方向得线应变。（12分）题三图201 12012学年第二学弹性力学模拟考试试卷题号一二三四五六七八九十总分评分评卷教师一.名词解释（共10分海小题5分）1. 弹性力学:研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生得应力.应变与位移。2. 圣维南原理:如果把物体得一小部分边界上得面力，变换为分布不同但静力等效得面力

13、（主矢量相同, 对于同一点得主矩也相同），那么近处得应力分布将有显著得改变,但就是远处所受得影响可以不计。二填空（共2 0分，每空1分）1. 边界条件表示在边界上位移 与 约束或 应力 与 面力之间得关系式它可以分为 位移 边界条件、 应力 边界条件与 混合 边界条件。2. 体力就是作用于物体体积内得力,以单位体积力來度量，体力分量得量纲为 IFMT-2;面力就是作用于物体表面上力以单位表面面积上得力度量面力得量纲为I/MT/；体力与面力符号得规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力;应力就是作用于截面单位面积得力，属 内 力，应力 得量纲为 l】mt2 ,应力符号得规定为: 正面正向.负面负

14、向为正，反之为负3. 小孔口应力集中现象中有两个特点：一就是，即孔附近得应力远大于远处得应力，或远大于无孔时得应力O二就是，由于孔口存在而引起得应力扰动范围主要集中在距孔边K 5倍孔口尺寸得范围内。4. 弹性力学中.正面就是指外法向方向沿坐标轴正向得面.负面就是指 外法向方向沿坐标轴负向得面。5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时,简单来说包含结构离散化、单元分析 、整体分析三个主要步骤。三. 绘图题（共10分，每小题5分）分别绘出图3-1六面体上下左右四个面得正得应力分量与图3- 2极坐标下扇面正得应力分量。A四. 简答题（24分）1. （8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定?五个基本假定在

15、建立弹性力学基本方程时有什么用途？答:弹性力学中主要引用得五个基本假定及各假定用途为：（答出标注得内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中得应力、应变与位移等物理量就可瞧成就是连续得，因此, 建立弹性力学得基本方程时就可以用坐拯得连续函数来表丞她们得变化规律。2 ）完全弹性假定:这一假定包含应力与应变成正比得含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从 而便麹理方程成为线性羯方程。3）均匀性假定:在该假定下，所研究得物体内部各点得物理性质显然都就是相同得。因此，反应这些物理 性质得弹性掘数（如弹性模量E与泊松比址等）就丕随位暨坐标而变化。4 ）各向同性假定：各向同性就是指物体得物理

16、性质在各个方向上都就是相同得，也就就是说，物体得 弹性黨数也丕廈方向变化。5）小变形假定:研究物体受力后得平衡问题时，不用考虑物体尺寸得改鹫而仍然按照原来得尺寸与形 状进行计算。同时，在研究物体得变形与位移时，可以将它和鬲二欢慕或乗祈略玉牙在，檢侖W裡另孳為徹 菇簸锁化为线性微分方算2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体?两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题与平面应变问题两类，两类问题分别对应得弹性体与特征分 别为：平面应力问题:所对应得弹性体主要为等厚薄板，其特征就是:面力、体力得作用面平行于X，平面，外 力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量

17、,存在，JS仅为x, y得函数。平面应变问题:所对应得弹性体主要为长截面柱体，其特征为:面力、体力得作用面平行于My平面，外 力沿z轴无变化，只有平面应变分量，存在，且仅为x,y得函数。3. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条 件？答：（1 ）相容方程：（2 ）应力边界条件（假定全部为应力边界条件,）:（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。五问答题（3 6）1. （12分）试列出图5-1得全部边界条件，在其端部边界上,应用圣维南原理列出三个积分得应力边界条件。（板厚）图51解:在主要边界上，应精确满足下列边界条件:在次要边界上，应用圣

18、维南原理列出三个积分得应力边界条件，当板厚时,在次要边界上，有位移边界条件：,。这两个位移边界条件可以改用三个积分得应力边界条件代替:2. （10分）试考察应力函数,，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5 2所示矩形体边界 上得面力分布，并在次要边界上表示出面力得主矢与主矩。解：（1）相容条件:将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式：，边界条件:在主要边界上即上下边両力为, 在次要边界上，而力得主失与主矩为 弹性体边界上得面力分布及在次要边界上而力得主失虽与主矩如解图所示。3. （ 1 4分）设有矩形截面得长竖柱,密度为，在一边侧面上受均布剪力q,如图53所示，试求应力

19、分量。 （提示:采用半逆解法因为在材料力学弯曲得基本公式中，假设材料符合简单得胡克定律，故可认为矩 形截面竖柱得纵向纤维间无挤压，即可设应力分量）解:采用半逆解法,因为在材料力学弯曲得基本公式中，假设材料符合简单得胡克定律，故可认为矩形截 面竖柱得纵向纤维间无挤压，即可设应力分量，(1) 假设应力分量得函数形式。(2) 推求应力函数得形式。此时,体力分量为。将代入应力公式有对积分，得, (a)o(b)其中,都就是得待定函数。(3) 由相容方程求解应力函数。将式(b)代入相容方程，得这就是y得一次方程，相容方程要求它有无数多得根(全部竖柱内得y值都应该满足)，可见它得系 数与自由项都必须等于零。

20、两个方程要求,(C)中得帘数项,中得一次与常数项已被略去，因为这三项在得表达式中成为y得一次与常数项,不影响 应力分量。得应力函数(d)由应力函数求应力分量。,(e),(f)、(g)(5)考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边得主要边界条件：将应力分量式(e)与仗)代入,这些边界条件要求:，自然满足；由(h) (i)得考察次要边界得边界条件，应用圣维南原理三个积分得应力边界条件为;得,得O/x = lZ卜曲 + 討 C”x =-字- bC =。由(h)(j)(k)得，将所得A、B、C、D、E代入式(e) (f)(刃得应力分量为：20092 0 10学年第二学期期末考试试卷(A

21、)卷题号一二三四五六七八九十总分评分评卷教师六. 名词解释(共10分，每小题5分)2. 弹性力学:研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生得应力、应变与位移。2、圣维南原理:如果把物体得一小部分边界上得面力,变换为分布不同但静力等效得面力(主矢量相同，对于 同一点得主矩也相同)，那么近处得应力分布将有显著得改变,但就是远处所受得影响可以不计。七. 填空(共2 0分，每空1分)4. 边界条件表示在边界上位移 与 约束 或应力与 面力之间得关系式它可以分为位移边界条件.应力 边界条件与混合 边界条件。5. 体力就是作用于物体体积内得力,以单位体积力来度量，体力分量得量纲为 L-2MT；面力就

22、是作用于物体表面上力以单位表面面积上得力度量面力得量纲为;体力与面力符号得规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力;应力就是作用于截面单位面积得力,属 内力, 应力得量纲为 呱1厂2,应力符号得规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。6. 小孔口应力集中现象中有两个特点：一就是_ 孔附近得应力高度集中，即孔附近得应力远大于远处得应力，或远大于无孔时得应力。二就是，由于孔口存在而引起得应力扰动范围主要集中在距孔边K 5倍孔口尺寸得范围内。4. 弹性力学中正面就是指 外法向方向沿坐标轴正向 得面负面就是指 外法向方向沿坐标轴负向 得面。5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时,简单来说包含结构离散

23、化、单元分析整佐分_三个主要步骤。八. 绘图题（共10分，每小题5分）分别绘出图31六面体上下左右四个面得正得应力分量与图3-2极坐标下扇面正得应力分量。图31九. 简答题（24分）4. （8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答:弹性力学中主要引用得五个基本假定及各假定用途为：（答出标注得内容即可给满分）1 ）连续性假定:引用这一假定后，物体中得应力、应变与位移等物理量就可瞧成就是连续得，因此， 建立弹性力学得基本方程时就可以用坐标得连续函.数来表示她们得变化规律。2）完全弹性假定:这一假定包含应力与应变成正比得含义，亦即二者呈线性关系，复合胡

24、克定律，从而 使物理方题为线陳方程。3 ）均匀性假定；在该假定下,所研究得物体内部各点得物理性质显然都就是相同得。因此，反应这些 物理性质得弹性常数.（如强性摸量E与.泊松比上等）就丕随位置坐标而变化。4）各向同性假定:各向同性就是指物体得物理性质在各个方向上都就是相同得，也就就是说,物体得 弹性常数也丕随方向变化。5）小变形假定:研究物体受力后得平衡问题时，不用考虑物体尺寸得改变,而仍然按照原来得尺寸与形 状进行计算。同时，在研究物体得变形与位移时，可反将它们得二次帝就乘积砧去不计，極甬弹區髓 微分方程都箧化为线性微分方程。5. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题?分别对应哪类弹性体？两

25、类平面问题各有哪些特征？答:弹性力学平面问题包括平面应力问题与平面应变问题两类，两类问题分别对应得弹性体与特征分别 为：平面应力问题:所对应得弹性体主要为等厚薄板，其特征就是:面力、体力得作用面平行于xy平面，外力 沿板厚均匀分布，只有平面应力分量“存在，且衣痴x,y得函数。平面应变问题:所对应得弹性体主要为长截面柱体，其特征为:面力、体力得作用面平行于x y平面，外力 沿z轴无变化,只有平面应变分量，存在，且仅为x,y得函数。6. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条 件？答：（1 ）相容方程：（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，）：（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。十.问答题（36）4.（12分）试列出图5-1得全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分得应力边界条件。（板厚）图51解:在主要边界上,应精确满足下列边界条件：，； ,在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分得应力边界条件，当板厚时，在次要边界上，有位移边界条件: