线性代数第34讲总复习上(20210517104853)

1、线性代数第44讲复习（4）本章知识结构二.本章自测题(一)选择题1. 若 B = (0,k, k2)能由a = (1+k,1,1), a? =(1,1 + k,1), a3 = (1,1,1 + k)唯一线性表示，则k等于().(A ) k = 0(B) k = -3(C) k = 0 且 k = -3(D) k 任意.(选C .解法提示：依题意知Xi a + X2 a2十X3 a3 = B 有唯一解，所以其系数行列式1 + k 1111 + k1=k2(k 十 3)0,111 +k故有k = 0且k = - 3.因此应填k = 0且k = -3.)2. 设向量组B : b, 6, b r能由

2、向量组A : a1 , a 2,，a m线性表示,则().(A) 当r : m时，向量组A必线性相关(B) 当r m时，向量组A必线性相关(C) 当r : m时，向量组B必线性相关(D) 当r m时，向量组B必线性相关(选D .解法提示：用反证法排除其余三种可能)x1 x 03. 四元齐次线性方程组 x 1 x 0的一个基础解系是().x? X4 二 U21(A) (0, -1,0,2)t,(B) (0,-1,0,2)丁 和(0,2,0,1)t(C) (0, 0, 0, 0)T,(D) ( - 1,0,1, 0)T和(0,-1,0,2)丁(选D .解法提示：系数矩阵Aj0101c”c1 ,r(

3、A)=2,010丿，_ 2故基础解系由两个线性无关的解构成从而(A),(C)都不对。1但(B)中(0, 2,0,1)t代入方程验证不是解，故应选(D).(二) 判断题4. 给定向量组A: a1, a2,，a m，如果存在数匕匕,心 使得k1 ak2 a2a o,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关()(X)解法提示：定义中要求*2,，心 不全为零)(三) 填空题5. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解等于（ ）.（答案：（基础解系的全体线性组合）（四）计算题6. 设 a | 2 ,3= |2 , Y =厂 2，若 a 俨 X = B Y X + 3 （3,试求此方程组的通解.

4、（解由于n_ 12kla 3 =2【1 2 k】=242k7-1-2-kJn_0-2们2I0 -2 1】=0-42 ,Lk_0-2kkJ故所给的线性方程组可改写为_ 14k-1 131282k-2X =61 2k-2-2k _13kJ对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵 14k-13 1j4k-13 1A =282k-26(r) 02k + 2-k-1 3k+3=B.-12k-2-2k3k 一P00 0 一14 k-1 31当kT时，此时A可化为矩阵Bb 2-13.0 0 0 0易知r（A）=r（BJ-2 ：3.故线性方程组有无穷多解:乂 1-k-11-3113X =X2X3 一=C1

5、2+2，其中C1为任意常数.11-1 一1_0 一当k = -1时，此时A可化为矩阵B 2 =1_14-2 30 0 0 00 0 0 0_,易知r(A)=r(B2)=1w3.故线性方程组有无穷多解：X*-41_23x =x2 | = c11+ C20+0,其中C1，C2为两个任意常数.)1X3_|_0 一167设A, B都是n阶矩阵，且 A2 - AB二E, 求矩阵(AB-BA 2A)的秩.(答案：r ( AB-BA 2A )= r(2 A )= r (A) = n.)8. 已知向量组-nai =2 , a2_3J1-01a1B =1,债2一1_.1bl仓=| 1 与向量组 0j-91a3

6、=6有相同的秩，且L-7J窗可由ai ,线性表出，求a,b的值.(答案：因为a , a2线性无关，而久3 = 3 a +2 a?, 所以r ( a, a?,宠)=2,因此r( B,馆，经)=2 ,从而0 a b12 1 =3b-a=0, = a=3b,再由条件禽可由 a， a2, a-1 1 0线性表出，可求出b = 5, a =15.)9. 已知a是齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，其中1211 3aA =|a 1_1 ,求 a 的值.2 60 一(答案：因为A是4 3矩阵，基础解系中仅有一个解向量a,故3-r(A)=1,即r(A)=2.而1 21 3 a 1 g 61【aT-10_12

7、1101-1,可见a = 0.)00a卫04a12310.已知矩阵A =0 4a中a 刀 ai jj工i证明矩阵A的列向量n)aj = ai j , a2j, anj(j=1,2,线性无关.(答案：可用反证法.若存在不全为零的数ki,k2,，kn,使得ki a + k2 口2 + + kn an = 0,然后，设ki = max ki, k?，,kn ,显然 ki 0.由 ki半0,知a可以由其余n-1个a线性表出，且a = kl ai -一2 仆一昭小一一 kn %.kikikiki那么，其第i个分量就满足关系式:aiiki *21a i1kiki 1kia i i _1ki 1kiai i

8、 1kiai而有kjkja i i EkjaijLra i j Eai j.这与j右kij右ki已知条件矛盾，所以a, a2,，an线性无关.）17. 设A是n阶矩阵，a , a?,，a是齐次方程组Ax = 0的基础 解系，若存在6 ,使A B二a, i = 1, 2，t,证明向量组a , a,，a,6,直，,6t线性无关.（解：若存在不全为零的数kk2,，kt,h,丨2，It,使得kia+k2 a+ kt a + l6+ + lt 6 = 0,（ 1）用A左乘上式，并把A a = 0, A 6 = ai, i = 1, 2 , t代入，得丨1 a + I2 a + + It a 二 o,（2

9、）因a , a,，a是齐次方程组Ax = 0的基础解系，它们线性无 关，故对（2）必有h = 0,丨2 = 0，It = 0. （1）式，有匕 a + k2 a + + kt a 二 o,即向量 a , a,，a, 6, 6,，6 线性无关.）18. 设A是m xn矩阵,对矩阵A做初等行变换得到矩阵 B,证明矩 阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性.（证法提示：因经初等行变换由 A可得到B ,故存在初等矩阵P1, P2, , Pk使PkP2 P1 A二B.把矩阵A , B写成列向量形式：A = a aan , B = 6 66 , P = Pk P2 P1 则有P a a a =

10、 6 血6 ,于是 P a = 6 （i = 1,2，n）. A 的x 1列向量a ,知,ajk线性相关二a , aj2,妳X2=0有非零解I一Xk 一X 1X】Xx二p a , a?,a：2 =0有非零解二%处 处2 =0 “儿有非零解二b的列向量 %弘线性相关.)19. 已知A是n阶矩阵，且矩阵A中各行元素对应成比例.a , a,，a是Ax = 0的基础解系，而B不是Ax = 0的解. 证明任何一个n维向量都可由a , a,，a , B线性表出.(解法提示：因为矩阵A中各行元素对应成比例，故r(A) = 1,因此 t = n -1.因为a , a,，a_i是Ax = 0的基础解系，故 a

11、, a,，an_i线性无关.若k1 a + k2 a + + kna + sP = 0,用A左乘，并把A ai = 0 (i = l 2,，n-1 )代入上式，得sA %= 0.由于A B m 0,故s = 0,于是k1 a+k2 a + knan = 0.从而 k1 = 0, k2 = 0,_,kn 1=0, s=0，即有 a, a厂，线性无关，故知任一 n维向量丫必可由a , a,，a, B线性表出.k = 0, k2 = 0, kn 1 =0, s=0)20. 已知向量组 a , a,a线性无关，若|心二=0, s= 0,B = k1 oq + k2 a + kt a ,其中至少有ki M 0,证明用B替换a后所得向量组as厂、a aa, a, , a-1, B , a + 1, , a线性无关.(解法提示：如果a + h2 血 + + h 丄 a -1+ h B +a+1 + + A a =0.将已知条件B = k1 a + k2 a + kt a代入，并整理有(h1+ h kJ a + (h2 + h k2)a + (g + hkj _J a 一1 + h a(hi 1 hki 1)a + 1 + (h