考研试题线性代数部分

1、Useful Documents 考研试题（线性代数）部分汇编 05 年 一、选择题 （）设 1, 2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1, 2，则 1,A（ 1 2） 线性无关的充分必要条件是（ ）。 （A ） 1 0（B） 2 0（C） 1 0（D） 2 0 （）设 A 为 （n 2） 阶可逆矩阵，交换的第一行与第二行得到矩阵 B， A* ,B* 分别是矩 阵 A ，B 的伴随矩阵，则（）。 （A）交换 A*的第一列与第二列得 B*（B）交换 A* 的第一行与第二行得 B* （C）交换 A*的第一列与第二列得 B* （D）交换 A* 的第一行与第二行得 B* 二、填空题

2、 （ ） 设1, , 2 是 三 维 列 向 量 ， 记 矩 阵 A （ 1, 2, 3） ， B （ 1 2 3, 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3） ，如果 A 1，则 B。 三、解答题 （）已知二次型 f（x1,x2 ,x3） （1 a）x12 （1 a）x 22 2x32 2（1 a）x1x2 的秩为 求 a的值；求正交变换 X QY ，把二次型 f （ x1, x 2 , x3）化成标准形；求方程 f （x1,x2,x3） 0 的解 23 4 6 （k 为常数）， 6k 1 （）已知阶矩阵 A 的第一行是 （a,b,c），a,b,c不全为零，矩阵 B 2 3 且 AB 0 ，

3、求线性方程组 AX 0 的通解 06 年 一、 选择题 （11 ）设a1, a2, , a,均为n维列向量， A是m n矩阵，下列选项正确的是 （A）若a1,a2, , a,线性相关，则 Aa1, Aa2, , Aa,线性相关. （B）若a1,a2, , a,线性相关，则 Aa1, Aa2, , Aa,线性无关. （C）若a1,a2, , a,线性无关，则 Aa1, Aa2, , Aa,线性相关. Useful Documents Useful Documents (D )若a1, a2, , a,线性无关，则 Aa1,Aa2, , Aa,线性无关. 【】 12)设A为3阶矩阵，将 A的第2行

4、加到第 1行得B，再将B的第1列的 1倍加到第 2 0 1 0 ，则 B） C PAP 填空题 C）C PT AP D） C PAP T 【】 记P 07 年 一、选择题 （7） （A ） 1 2 , 2 3, 3 1 （C） 1 2 2, 2 2 3 , 3 2 1 2 1 1 （）设矩阵 A 1 2 1 1 1 2 B）1 2, 2 3, 3 1 （D ） 1 2 2, 2 2 3, 3 2 1 100 ， B 0 1 0 则 A 与（ ） 000 Useful Documents (4 )点(2,1, 0)到平面3x 4y 5z 0的距离 z= (数一) (4 )已知a1, a2为 2

5、维列向量，矩阵 A (2a1 a2,a1 a2)，B (a1, a2) 。若行列式 |A| 6， 则 |B|= (数四) 21 ( 5 )设矩阵 A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵 B满足BA B 2E，则 B= . 12 三、解答题 x1 x2 x3 x 4 1 20 已知非齐次线性方程组 4 x1 3 x2 5 x3 x4 1 有3个线性无关的解 ax1 x 2 3 x3 bx4 1 证明方程组系数矩阵 A 的秩1 r A2 23求4a, b的值及方程组的通解 (数一) 20 设 4 维 向 量 组 a1 (1 a,1,1,1)T ， a2 (2, 2 a, 2,2)T ， a3 (3, 3,

6、 3 a,3)T ， a4 (4,4,4,4 a)T ，问a为何值时 a1 , a2 , a3 , a4线性相关？当 a1 a2 a3 a4线性相关时，求其一个 极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出。 (数四) 21 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1 1,2, 1T , 2 0, 1,1 T是线性方程 组 A x=0 的两个解 ,()求 A 的特征值与特征向量 ()求正交矩阵 Q 和对角矩阵，使得 QT AQ. 设向量组 1, 2, 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( Useful Documents A ）合同，且相似 B ）合同，但不相似 （

7、 C）不合同，但相似 （ D ）即不合同，也不 相似 、填空题 ）设矩阵 三、解答题 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ，则 A3 的秩为 x1 x2 x3 0 （）（分）设线性方程组 x1 2x2 ax3 0 与方程 x1 2x2 x3 a 1 2 x1 4x2 a x3 0 有公共解，求 a的值及所有公共解 1 2 3 ）（分）设阶对称矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2， 1 （1, 1,1）T是 A 的属于特 征值 1的一个特征向量，记 B A5 4A3 E ，其中 E为阶单位矩阵 验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值和特征向量

8、 求矩阵 B 08 年 一、选择题 （5）设A 为n 阶非零矩阵， E为n阶单位矩阵，若 A3 0 ，则（）。 （A）E A不可逆， E A不可逆（B）E A不可逆， E A 可逆 （C） E A可逆， E A 可逆（D）E A可逆， E A 不可逆 x （）设 A 为阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 （x, y,z）A y 1在正交变换下的标准方程的 图形如图，则 A 的正特征值个数为（）（图形为单叶z双曲面） （A）（B） （C） （D ） （数一） 12 （）设 A 1 2 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（ ） 21 21212112 （A）1212（B）2121（C）1212（D）1

9、212（数四） 二、填空题 （ 1 ）设A为阶矩阵， 1, 2为线性无关的二维列向量， A 1 0，A 2 2 1 2，则A 的 非零特征值为 （数一） （ 2 ）设阶矩阵 A 的特征值互不相同，若行列式 A 0，则 r（A）（数四） （）设阶矩阵 A 的特征值 1，2，2，则 4A 1 E （数三） Useful Documents Useful Documents 三、解答题（） （分） A T T ， , 是三维列向量， T是 的转置， T是 的转置 证 r(A) 2 ； 2若a ，1 线性相关，则 r（A）2. （数一） ）（分）设矩阵 A 2a 2a 1 ， 现矩 阵 A 满 足 方

10、程 AX B ， 其 中 X (x1,x2, ,xn)T，B (1,0, ,0)T 求证：a2 A2a(nn n1)an ； a为何值时， 方程组有唯一解， 求 x1 ； a 为何值时，方程组有无穷多解，求通解 （数一）（数四的题） ）（分设 A 为阶矩阵， 1, 2 为 A 的分别属于 ，的特征向量，向量 3 满足 证明 1, 2, 3线性无关； 令 P （ 1, 2, 3）， 求 P 1AP 数四的题） 09 年 数学一 选择题 5）设 1, 2, 3 是三维向量空间 1 2, 2 3, 3 1 101 2 2 0 (B) 设0 A,3B均3为 2阶矩阵 （A） （6） OA B（AO）

11、的过渡矩阵为（） 120 0 2 3 （ C） A0 , B3分别为 A, ，1 则由基 1 4 1 B的2伴随4矩阵，6若 1 1 1 1 1 2 4 1 1 1,1 2,1 3 到基 23 1 1 1 2 2 2 1 1 1 AD）2，B 43，4则分块矩4阵 的伴随矩阵为 （ O 3 B ） O 2 B 24 O63A 66 O6 2A （B） （C） （D） 2 A O 3A O 2BO 3B O T的非零特征值为 ， 满足 T 2，其中 T 为 的转置，则矩阵 1 1 1 、填空题 13）若3维向量 三、解答题 20）（ 11分） 求满足 A 2 1 -1 -1 1 -1 1 1 -

12、1 30 1-的4 所有-2向 量 2， 2 3 1，A2 设 A 对中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3线性无关 。 2 2 2 21)( 11分)设二次型 f (x1,x2,x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x2 2x2x3 ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； ）若二次型 f 的规范形为 y12 y22，求 a的值 . Useful Documents Useful Documents 数学二 一、选择题 （7）设A,B均为2阶矩阵， A , B分别为 A, B的伴随矩阵，若 A 2，B 3，则分块矩阵 O A 的 B（OA） 伴O随矩阵3B为（ 2A O ）

13、B） O 2B 3AO C） O 2B 8）设A，P均为3阶矩阵， PT为P的转置矩阵，且 PTAP Q ( 1 22, 12, 03),则 Q T AQ1为(1 A) 1 1 0 、填空题0 02 B） ) 10 0 2 C） D） 1 0 0 1 0 0 3A O0 1 0 0 2 0 0 （D ） O 2A 3BO 0 ，若 P ( 1, 2, 3), 14）若3维向量 ， 满足 2， 其中 T 为 的转置，则矩阵T的非零特征值为 解答题 1 -1 0 对中的任意向量 2， 22）（ 11分）设 A -1 -1 11 -4 -2 ，证明 1， 2， -1 1 求满足 A -23线性无关

14、2 1，A 2 3 1的所有向量 23)( 11分)设二次型 f (x1,x2,x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x2 2x2x3 ）求二次型 f的矩阵的所有特征值； （）若二次型 f的规范形为 y12 y22，求 a的值. 数学三 一、选择题 （5）设 A,B均为2阶矩阵， A , B分别为 A, B的伴随矩阵，若 OA B（AO） A 2，B 3，则分块矩阵 的伴O随矩阵3B为（ 2AO B） O 2B 3AO C） O 2B 3A 1O0 0（D） O 2A 3BO 0 ，若 P ( 1, 2, 3), 22, 12, 03),则QTAQ1为 （1 0） 2 0 0 0 1 0 0 2 0 11 0 （B） 1 2 0 （C） 0 1 0 （D） 0 2 0 00 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 6）设A，P均为3阶矩阵， PT为P的转置矩阵，且 PTAP 0 1 Q ( 1 A） 13)设(1,1,1)T ,(1,0,k)T ,若矩阵T相似于 解答题 则 k 。 1 -1 -1 -1 -1 1 1 ， 1 0 -4 -2