对数概念及其运算

1、知识点1对数 1. 对数的定义 如果a a 0,a1的b次幕等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作loga N b,其 中a叫做对数的底数，N叫做真数。在对数函数log a N b中，a的取值范围是 a 0,且a 1，N的取值范围是 N 0, b的取值范围是b R。 【注意】根据对数的定义可知 （1） 零和负数没有对数，真数为正数，即NO （2 ）在对数中必须强调底数 a 0且a 1 2. 常用对数 （1 ）定义：以10为底的对数叫做常用对数，log10 N记做|g n。 （2 ）常用对数的性质 10的整数指数幕的对数就是幕的指数，即|g10n n n是整数 3. 自然对数 （1 ）定义：

2、以e 2.71828 为底的对数叫做自然对数，loge N通常记为InN。 （2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数 之间的关系：InN 酬，即InN 2.303lg N。 lg e 0.4343 4. 指数式与对数式的互化 （1） 符号loga N既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幕，求其 指数的算式。对数式loga N b的a、N、b在指数式abN中分别是底数、指数和幕。 （2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则： 在loga N b中，必须N 0，这是由于在实数范围内，正数任何次幕都是正数，因而 ab N中的N总是正数

3、，须强调零和负数没有对数。 因为a01，所以loga10。 因为a1 a,所以log a a 1。 因为ab N，所以log a N b，所以 al0gaN 【例1】下列说法错误的是() (A)负数和零没有对数 (B)任何一个指数式都可以化为对数式 (C)以10为底的对数叫做常用对数 （D） 以e为底的对数叫做自然对数 【例2】(1)把下列指数式写成对数式 x 1 1 3x 丄；164; 274 1 . 16； (2)把下列对数式写成指数式: 砸3 92; |g 0.001 3； 1 log232 知识点2对数的运算 对数的运算性质 如果 a （ 0且a 1， M 0， N 0，那么， （1）

4、lo ga 1 MN log a M log a N; （2） log M a log aM 呱 N; N （3） log aMn n logn M n R ； （4） log aMn n 叽 M m, n R, m 0 。 m 用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商的 对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n次方的对数，等于这个正数的对数的n倍。 ab 【例3】下列各式与lg相等的是() c 【例4】计算: 1 lg 0.012; 2 log4 42 ：4; 3 log 2 3 log 2 5; log5| log5 2. 知识点3换底公式 1. 换

5、底公式 logb N loga N a 0,a1,b0,b1,N0 logab 2. 换底公式的推论 1 logab 1 a logb a 0,a1,b0,b1 0,m 2 logab logam bm a 0,a1,b0 3 log m bn log a b a 0, a 1,b a m 【例5】计算: 1 log8 32; 2 log 25 4 log 8 5; 3 log 4 3 log 8 3 log 3 2 log 9 2 ; 1 1 1 4log2怎 log38log59; 也、2 log 7 9 51 log53 log7 3 4 【例6】（1）已知lg 2 a,lg3 b,用a

6、,b表示lg . 45的值; (2)已知 log18 9 a,18b 5,用 a,b表示 log 36 45 的值。 反函数的概念 知识点反函数 1. 定义 对函数y f x x D，设它的值域为 A，如果对A中任意一个值 y，在D中总有唯一确 定的x值与它对应，且满足y f x ，这样得到的x关于y的函数叫做y f x的反函数, 记作x f 1 y，习惯上，自变量常用 x来表示，而函数用 y表示，所以把它改写为： y f 1 x x A . 2. 反函数存在的条件 函数y f x存在反函数的充要条件是函数y f x是定义域到值域上的一一映射所确 定的函数。注意：单调函数必有反函数。 3. 反

7、函数与原函数的关系 （1）反函数和原函数互为反函数：如果函数y f x有反函数 y f 1 x，那么函数 1 1 y f x的反函数是y fx，则y fx与y f x互为反函数； （2 ）反函数和原函数的定义域与值域互换 函数y f x 反函数y x 定义域 A C 值域 C A （3）互为反函数的函数的图像间的关系 函数y f x的图像和它的反函数 y f 1 x的图像关于直线 y x对称。函数y f x 的图像与x f 1 y的图像是同一个函数图像。 4. 求反函数的步骤 （1） 求函数y f x的值域（若值域显然，解题时常略去不写）。 （2）反解：由y f x写出x关于y的关系式； （3

8、 ）改写：在x f 1 y中，将x，y互换得到y f 1 x ； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【例1】下列函数没有反函数的是： y 3x2 5 1 ; 1 y 2； x 1 y 3 2x 12 1; 2 x 3( x 0) y丿 3x x 0 （A） （B） （C） （D） 【例2】求下列函数的反函数： (1) y 2x 1(x 2）； x 2 (2) y 2 x 4x 1 5x2 (3) y 、x2 x x 1； 2 x 1 0 x 1 (4) y 2 x 1 x 0 对数概念及运算与反函数总结 1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化） (1) log a MN

9、 log a M loga N (2) log a M loga (3) log a M n n log a M (4) lOg a : M -loga n 2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的 3、几个常用的对数结论 log al 0 log a a 1 loga alogab b logam an m logam bn - logab m logab log ba 4、换底公式：log a b log。b logc a lg b lg a 5、常用对数与自然对数 6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数 7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发 8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得 9、求反函数的基本步骤，分段函数