对角化矩阵的应用本科

1、XXX学校 毕业论文（设计） 对角化矩阵的应用 学生姓名 学 院 专 业 班 级 学 号 指导教师 2015年4 月25日 毕业论文（设计）承诺书 本人郑重承诺： 1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相 关文献，进行分析研究，独立撰写而成的. 2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料 均是真实的 3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包 含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果 4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况， 切后果自负. 学生（签名） 2015年4月25日 对角化矩阵的应用 摘 要 矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可 对角

2、化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高 次幕，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩 阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限， 求行列式的值. 【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换 Application of diagonalization matrix Abstract Matrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagona

3、lization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diag on alizati on method we study some applicati ons of diag on alizati on matrix, in clud ing for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix

4、, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of gen eral term formula and limit, the determ inant of value. Key words The diag on alizati on; Eige nv alue; Feature vector; Similar; Lin ear tran sformatio n 目 录

5、 引 言1. 1矩阵对角化1. 1.1矩阵对角化的几个条件 1. 1.2对角化矩阵的性质 3. 1.3矩阵对角化的方法 5. 2对角化矩阵的应用5. 2.1求方阵的高次幕5. 2.2反求矩阵.6. 2.3判断矩阵是否相似7. 2.4求特殊矩阵的特征值 7. 2.5在向量空间中应用7. 2.6在线性变换中应用7. 2.7求数列通项公式与极限 8. 2.8求行列式的值11 2.9对角化矩阵在其他方面的应用 12 参考文献14 15 现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地 方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的，其原理是指在某一组基的作用下这个 线性变换可以变为对角阵

6、（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵 是可对角化的），当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角 化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的当然本篇文章我们主要是研究和探 索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来 把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在 其他方面一些重要的运用. 1矩阵对角化 我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换 （指：行、列变换）后，就能够得到一个特殊的矩阵，其特殊性在于只有在其主对角 线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的

7、矩阵就可以 被我们称为对角阵），这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我 们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的， 这个是有条件限制的. 1.1矩阵对角化的几个条件 引理1设A, B Pnn,且 2 2 A= A, B= B, AB 二 BA, 则存在可逆矩阵P,使代B可同时对角化. 引理22如果P二diag（ s，2,） Pn n的n个对角元互不相同,矩阵B Pnn, 那么PB二BP当且仅当B本身就是对角阵. 因为任何一个幕等矩阵A（A2=A） 定相似于一个对角矩阵 任0|,所以任何 .0 0 一 n 一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即A = i A：,其中 i是矩阵A

8、的特征值, i =1 矩阵A为幕等矩阵，那么是否任意有限个幕等矩阵的线性组合都可以对角化呢？有 如下结论： A = ki . ： 1 k2 ： 2 亠 亠 kn ： n , k1,k2 ,kn是n个数,亠，丄2,，丄n是n个幕矩阵，并且他们两两可替换 Lh -= j), 则矩阵A可对角化. 证明 若街，也2,，也n是n个幕矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵P， 使得 厶1，厶2,，厶n J 可同时对角化. 创=P/D1R,，An =PDnPn (D1,，Dn 是对角矩阵), A* k2kn：n=P(k1D1)P P(k2D2)P rKDn)P P(KD 十2。2飞 3)P , 由D1，D

9、n是对角矩阵知 k1 D1 k2 D knDn 同样是对角矩阵，即矩阵A为对角化的矩阵. 定理24如果A Pn n, 1，2是它两个不相同的特征值,那么矩阵A可对角化 =一定有幕等矩阵:,满足 A = 1E (丿”2 - 1)=. 证明 必要性：如果A是一个对角化的矩阵，那么就一定会有一个可逆的矩阵 P, 满足 PAR = 1E1 是一个对角阵. A=PAh=pkE+|J 丫亠视巳卩4怕為-人)匸鼻亠人巳协厲-人)匸匸, V2E2i Ri 并且厶相似于 一 E2 PAP -E2 p- J 若/为幕矩阵，则一定有一个幕矩阵/满足 A = iE ( 2 热). 充分性：若存在厶使得 A = 1E(

10、2-=, 因为/是幕矩阵,所以一定会有一个T,满足厶二T T , E2 Tg+P ，2 - 1 E T, 因此, T, 即矩阵A为可对角化的. 定理35设矩阵A Pn n存在n个不同的特征值，则对于矩阵B Pn n, AB 二 BA, 当且仅当矩阵代B同时可以对角化. 证明 必要性 若矩阵A存在n个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵 A为对角化的矩阵.设 T =PAP , 其中T二diag(,匕，,J,贝U 1444二_4 T(P BP)二 P APP BP=P ABP 二 P BPP AP=(P BP)T , 即T与P 4BP是可以进行交换的，因此得知P BP是对角矩阵，且矩阵B也是

11、为对角 化的矩阵. 充分性 如果矩阵代B可以同时进行对角化，那么一定存在一个可逆阵P,使得 A=PD P, B=PD2 P（其中为 Di, D2对阵）, AB rPDiPP，D2P =PD 1D2P =PD2D iP - POPPD iP = BA, 因此我们可以通过上述的一系列条件，来求出A的特征值，且这是两个相互不同的 数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件：如果 厶2这个条件成立，那么就认 为矩阵A可对角化，否则就认为矩阵A不能可对角化，其中八=(A-E) / (，1 . 1.2对角化矩阵的性质 定理4 设A为数域P上的一个n阶的矩阵,且它为可对角化的， 2,，t是 A的相互不同的特征

12、根,则一定会有n阶的Ai，A2， ，A满足 (1) A = iAi - .，2代亠 亠 tA ； A A2At =e,e是单位矩阵； A =A ； AAj =0, i 幻，其中 A =TBiT. 证明(1)如果A可对角化，那么在数域P上一定会存在一个可逆矩阵T,并且 它的阶数为n阶，满足 01 T JAT 二 其中i的重数为 s，由于矩阵 1 0 将它记为B 2B tBt,因此， TBTx-T(-1 2B -tBt) 丁4=需 WBjT) t (TQT J, 将其记为人 2宀 -A,其中A=TBjT，所以 A = A +九2A2 + + 九tA . 如果每个Bi为对角形的幕矩阵，那么B1 B2

13、 - 耳二E , A, +A2 十+A =TBJ J+TB2T 二 + +TBtT 二=TET-1 = E , 故 A A2 A = E. (3)如果A =TBiT4,那么 A2 =(TBT 斗)(TBT 斗)=TBT 亠 TBT一 =TBBT二=TB? T斗二丁耳丁1 = A, 故 A2 二 A . 当i r时， AAj =(TBiT4)(TBjTTBiT4TBjTTBiBjT0, 0为零矩阵，故AAj =0,i = j. 15115 例1在数域P上，若已知A= 20 -15 8的三个特征根分别是1, 2, 3,则一定 -8-76一 231100-65-2 会有一个T=342,满足TAT =

14、020=B,其中T1 =41,将矩阵 1120031/1 1 1 0 1 ._0 1 B = 0 + 2 1 + 3 0 0_ 1 1 0- 1 1 1一 记 B 2B 3B3,则 A =TBT 詔二T(B2B2 3B3)T=A, 2A2 g 其中A =TBiL于是 -1210-412-931-11 A =1815-6A2=16-124,A3=2-22 -65_2_.4-31_g-22一 并且满足: (1) A 二 A 2A2 3A3 ； A A2 A = E ； (3) A2 =A(i 二1,2,3)； (4) RAj =0,i = j . 可以通过一个比较具体的可对角化矩阵，很直观地反映上

15、述所说的性质是成立的 1.3矩阵对角化的方法 1.3.1运用矩阵初等变换的方法 在数域P上,一个n维空间V ,研究和探讨它能否可以找到一组基，并且在此基的 作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时 ，如何去探索它是一个 线性代数学上相当重要的问题，可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题. 当发现矩阵A不能够实现对角化的时候，同样可以经过相近的一系列变换后，化 简出矩阵A,并且能够判定它是否可以对角化.类似地，可有矩阵T 二QsQslr QE , 做如下的初等变换，则可以将矩阵A化简为对角形矩阵B,并且可以求得T或由B求 A的一系列特征值. 1.3.2求解齐次方程组的方法 设矩阵A

16、是实对称矩阵,则求证交矩阵T使得TAT =diag（m ，5）的问题, 一般的解法为： （1）求其特征值； （2）求其对应的特征向量； 写出矩阵T及T JAT二diag（j匕，） 从而可以求出正交矩阵T,可以避免了商的繁琐运算. 定理5设A是实对称矩阵,则有!，2（ n-1重）,-!， 2，3,，对应于 1，2 ,记L（ !）由X生成的一个空间，且L（ ：2，: 3，n）由2，3,，n生成的 空间 2对角化矩阵的应用 2.1求方阵的高次幕 例2设在数域P上，有一个二维的线性空间V,；是这个线性空间V的一组 _2 们 ,试通过上述给出的 基,那么线性变换“这组基的作用下的矩阵I,。 条件计算出矩

17、阵Ak. 解 通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换二在线性空间V的另一组 基1，2作用下的矩阵，令 ；1, 2】=1, J 1 L1 , -1 2 则 1-1 21 1-1 _2 1 21 1-1 _1 1 12 一-10-12 一 1丄10丄12 一 1 一 易知 1k, _0 1_0 1 再运用上面得出的几个关系 1 -12 1打 _1=；1 1 H1 k2 1=十+1 k 1 0 11_-k _k+1_ -1 2 一 1 0丄1 2 _一 o 1一 即 I2J 1 0 |-1 -需们：1 -1_1 -1 2。1_ 1 2 _ _ 1 2 2.2反求矩阵 例3设有一个实对称矩阵A，且

18、它的阶数为3阶，已知r - -1, 2 =，3=1,，1对 应于 R=(0, 1, 1)T,求解 A . 解根据矩阵A是3阶实对称矩阵的条件，我们可以推出矩阵A可以对角化的结 论，即得出矩阵A是由三个线性无关的特征向量组成的结论 ,并且七3 对应于 P=(X1,X2,X3)T,因为它和R正交,即 P P =0X1 X2 X3 =0, 所以可以求出P2 =(1,0, 0)T, B =(0, 1, -1)T,它们分别对应= 3=1.取 0 p=(R,F2,P3)= 1 1 0 -1 01 B= 0 0 -1一 .0 0 -1 0 则PAP=B,于是 - 01 0 01 0 1 0 1 0 1 -1

19、 Io 0 1 0 - 0 1 A = PBP=1 0 1 0 1 1 1 0 =00 0-1 2 2 0 0 2 2 2.3判断矩阵是否相似 例4请判断下述三个矩阵是否会相似 01 2 0 02 1 A=0 2 0,A2=0 2 0 0 3一0 0 解 我们可以很容易的得出三个矩阵A, A2, A3的特征值分别都是 1=2(二 重)，人2 =3,其中矩阵A已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵 A2,A3 是否都可以对角化.通过 =2, (2E-A2)X = 0,可以推出-： =(1,0,0)T,因为=2, 是一个二重的特征值，但是却只有一个特征向量与之所对应，那么我们可以推出矩阵

20、A与矩阵A不相似的结论通过=2, (2EA)X=O,得出(1,O,O)T, 2=(O,1,O)T , 通过，2 =3 , (3E )X = O,得出3 =(UT,通过上述所推出的结论，我们可知矩 阵A有三个线性无关的特征向量，即矩阵A与矩阵A这两个矩阵相似 2.4求特殊矩阵的特征值 例58设有一个实对称矩阵A，并且它的阶数为n阶，满足A2 =2A, r(A) = r :： n, 求出A的全部特征值. 解假设为矩阵A的一个特征值，而我们令 为矩阵A的特征向量，它对应于特 征值，因为A = 1 ,所以A=,又因为A = 2 A,所以A - 2A = 2工一， 即2=2，由此我们可以推出=2或O,根

21、据矩阵A是实对称矩阵的这个条件，我们 可以断定矩阵A一定能够进行对角化，即 21 2 A B =, O *1 IO 与r( A)二r,所以A的秩数就是2的个数，以及A有r个2和(n 一 r)个O的特征值. 2.5在向量空间中应用 例69在n维的V空间中，有一个复矩阵，并且它的阶数为n阶，还有一个复数， 令 W =*吒 _A)門 舱 V 血=(gE_A)= 0, 则矩阵A相似于对角阵，并且W厂W2 = 证明 因为对于任意一个XoWW2,则有Xo=(E-A厂和(E-A)Xo=O,所 以C*-A)2O.又因为发现矩阵A相似于对角阵，所以我们可以推出CE-A)X=O 与(e-a)2i =0两个的解空间

22、是完全相同的，即. 2.6在线性变换中应用 例71O设PXn n 1是数域P上的一个全体，且它是一个次数小于n的多项式 与零多项式，则请通过所学的进一步判断在PXn的任一组基下，矩阵通过微分变 换能否变为对角形矩阵. 证明如果取 1, X亠，丄, 2!(n_1)! 那么矩阵可以表示为0剧 ,所以有，E-A =n. 如果在某一组基的作用下，微分变换.的矩阵B为对角矩阵，由已知的矩阵 A B可推出矩阵A可对角化，那么就会存在一个可逆矩阵T能够使得T JA B,所 以A二TBT 通过已知的微分变换.的全为零，可以推出B =0 , A =0这是不可能的，所以在 PXh的任何一组基的作用下，微分变换的矩

23、阵都不可能成为对角阵. 2.7求数列通项公式与极限 例 811设两个数列、PnZn都满足条件PnPn2q n , q. 1= Pn，, Pi=qi = 1 , 则请求解lim P . yqn 解 把已知条件中的几个递推关系组 Pn Pn 2qn,qn 1 = Pn qn ,通过化简改 写成下面的列矩阵的形式： 門-1 2心1 2TPi UhqUl J (qj， 12- 由A和| “E - A = 0,可以求出A的r =1 . 2, = V . 2,并且1， 2分别对应 Xi =(、21)T,X2 =(-、.2,1)t.取 X=(X1,X2),则 X 411 X ,21 ,A = X2 -0 1

24、一 2 X-1 从而 =X 12 IL 01 0、2 X： (1 + J2)n41 + (1 J2)n41 2 (1+丿2) _(1 一 J2)卄 1 因此 (1 . 、2)n (1 2)n 2 并且 an 丄 0, a* 1 = ，bn 1 然后再改写为另一种矩阵的形式： L 2 2 2 2 _aj 1 1 3 1 3 .44 一 .44 一 1 an 1 1 _n 1 1 4 和-A =0,可以求出A的i 2=1,并且1, 2分别对应 X1 （-2,订卞汀仇忻取xdXjX2）2 因为 1 3 - 113 ol X ol X aj .11 n 3 丄+1 IL 3 4n 3 122 3 43

25、 ia 1 1丄异 3 4n3 一 limZ2（1 Vi z n =qnn（1,2）n 一（1 一、.2）n 例9已知a “ 山二Jam =,亦=笃 bn （n=1,2，）这四个条 件，请证明lim a.及lim bn存在并且相等，给出证明过程，同时请求出这两个的极限值. 证明把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出 an3bn , 4 ，z12丄1 （12丄2、r（ an + _ T + 一 | + 3 4n 3丿 + I Pb 比= 1 3 4n 3丿，时 所以 1 2 1 1 2 2. 3 4n3一3 4n 3 Pm：bn. 1 2 lim an : nr：33 例10设有冷=1,为=e

26、, xn 丁 hxn Xnj （n 一 1）这三个条件,请求出lim _xn. 4 解 从已知的三个条件可以推出Xn 0（n =1, 2,），以及InXn -（lnxn Inxn 1）, 2 - 令 an =ln Xn,则 ao 二 0, a1, an 1 1 -(an and) (n _1),所以 2 an + J 工n 一 2 2 0 2 0 1、 由A = 22和| XE -円=0 ,求得A的扎=1,）吃=_ _ ,并且人，九2分别对应 J02 1 X1 =（1,1）t,X2 =（2，）t .取x =（ X1, X2）,令 1 11 10 I 2 ,A = X 0 - 厂1 1 - 2

27、一 X X 3 01 2 1 -（冷）苗 1七）“ 一 从而推出：an = 2(1 -( -1),即 Xn 32 e”( 2) ) ,lim xn n_. 1 例 11 设 X1 = 1 , Xn 4 = 1 Xn ,求 lim : n_C Xn. 1 11 11 0 的是 X( : ,1)T,X2 =( - ,1)T ,取 X =(X1,X2)= 11 ,则 A=X ： I。 X-1 0ln P X4 n 2 n1 解令a21 an 一 1 0a 0aj -2分别对应 和一 A = 0 ,求出A的人=_=，打=一 =0 ,且打, 2 2 lim xn = lim n-n “a 1 屮_0宀1

28、 二 lim fr2_二 lim一 n H n 2 一 ： n 2 nn .1 一 P() a 5-1 2 Dn =2C0SDn-Dn?可以写成矩阵的另外一种形式 2.8求行列式的值 2 cosot 1 0 0 0 0 0 1 2cosa 1 0 0 0 0 0 1 2 cosot 1！ 0 0 0 Dn = I- s (sin a 式 0), 0 0 0 0 1 2 cos 口 1 0 0 0 0 0 1 2cosa 例1212设有一个n阶的行列式，化简并求出它的值 解 按照第一列展开的 Dn _ 2cos：-1 Dn Dnj 1。血乙 记矩阵A二 2 cos： _ 1 -1 0 :Dn J

29、 Dn/ D: (n - 2), 通过XE-A =0,我们可以计算出矩阵A的人=eia， 2= e-13,且打，入2分别对应 X1 =(eia ,1)T,X2=(e,1)T, 怖eiaeia0 I 丄 取 X=(X1,X=,则 A = X上 X 4, 1 一.0 e 一 推出 Dn IeiaD0 I 4 4cos-11 ,ID =X | 0 列X| 2 Dn- 0 e q _ 2coS 即 sin(n +1)a / . 一、 Dn(sin = -0). si n。 例13设有一个实对称矩阵A,并且它的阶数是n阶，满足条件A =A,且r为矩 阵A的秩,通过上述条件求出行列式 2EA的值. 解 因

30、为 A2 二 A,=AX 二 A2X = 2X ,所以有(，2- )X =0.因为 X =0,所以 ( -1) = 0, =0或1 .因为矩阵A是一个n阶的实对称矩阵，所以它相似于对角矩阵， 又因为矩阵A的秩为r,所以一定会存在一个可逆矩阵p,可以使得*石0LB, 其中矩阵Er表示的是r阶单位矩阵，所以可以推出 2E -A =2PP-PBP =2E B = Er 0 2En. = 2(n-r) 2.9对角化矩阵在其他方面的应用 例14在某个城市的就业数据中显示，一共有 30万人从事着不同的三种行业， 分别是农业、工业、经商，假设在几年之间这个从业总人数都会保持不变，而且经过 整个社会的普查显示

31、： (1) 在这个城市的30万人中,投身于农业的有15万人，工业的有9万人,经商的有 6万人； (2) 在投身于农业的人中，每年大概有10%的人转行去经商，20%的人转行去做 工业； (3) 在投身于工业的人中，每年大概有20%的人转行去干农业，10%的人转行去 经商； (4) 在投身于经商的人中，每年大概有10%的人转行去做工业，10%的人转行去 干农业. 现在请大概预测一下，在未来的一、二年以后，从事这三个行业的人数，以及经历多 年以后,从事这三个行业的人员总数会有什么样的一个发展趋势. 解 第i年后还从事这三种行业的人员总数，我们会用一个3维的向量X 去表示 它，则X0 =(15, 9,

32、 6)丁 .如果想要求X1，X2,并且能够很精确地考察在n；心时，Xn 的一个发展趋势，那么我们必须要引用一个3阶矩阵A =(aj),它的作用是用来体现 0.7 0.2 0.1 从事这三种职业人员之间的转移情况.那我们就能够得出矩阵A= 0.2 0.7 0.1 , 0.1 0.1 0.8 一 通过矩阵的乘法法则，我们可以得出 1T 00 X 二 A X 二 AX 12.9 2 1 9.9 , X =AX 11.73 2 0 =A X = 10.23 34 一 所以Xn =AXn=AnX,如果要继续进一步精确地分析 Xn,那么必须要事先计算矩 阵A的n次幕An,所以我们先可以将矩阵A进行对角化, 0.7-&0.20.1 A丸E|=0.20.7-丸 0.1=（1丸）（0.7丸）（0.5丸）, 0.10.10.8九 所以能够得出特征值 1, 0.7,匕=0.5,三个特征值分别代表其求出的所对应的 三个特征向量q,q2,q3,于是令Q=(q1, q2, qa),则就会有矩阵AnQBQ1,从而推出 An =QBnQ，Xn =AnX, B = 0.7 ,Bn = 0.7n 0.5 0.5： _11_11 1 当n:时,矩阵Bn将趋向于 1 0,从而推出矩阵An将趋向于Q 0 Q, 0 因为矩阵Xn跟我们已经确定下来的常量 X*非常接近,所以可以得出XnJ亦必趋于 X *,再通过X n