第二十章曲线积分

1、第二十章 曲线积分 1 第一型曲线积分 1.计算下列第一型曲线积分： （1） （x+ y）ds ，其中 L 是以 O（0，0），A（1，0），B（0，1）为顶点的三 角形 1 （2）（x2 + y2）2ds，其中 L 是以原点为中心， R为半径的右半圆周； 22 3）L xyds，其中L为椭圆 ax2+ by2=1在第一象限中的部分 4) | y |ds，其中 L为单位圆周 x2+ y2= 1； 5 ) (x2+ y2 + z2)ds ， 其 中 L 为 螺 旋 线 x= acost ， y= asint ， z= bt(0 t 2p )的一段； 6)xyzds,其中 L 是曲线 x= t,y

2、= 2 2t3,z= 1t2(0t 1)的一段 ; 2y2 + z2 ds ,其中 L 是 x2 + 解：(1) (x+ y)ds = 蝌(x+ y)ds 7） y2 + z2 = a2与x = y 相交的圆周 + (x+ y)ds+ ? (x+ y)ds AB BO 1 1 1 = 蝌x dx+2 +? yd=y1 + 2 . (2)右半圆参数方程为 ?x= R cosq (- p q p) ?y= Rsinq 2 2 pp 2pR (- R sin q)2 + (Rcosq)2dq= ?2pR2 = pR2 2 - 2 1 则 蝌(x2 + y2)2 ds= 22 3)椭圆 x2 + y2

3、 = 1在第一象限中的部分的参数方程为： a2 b2 ?x= acosqp x=- asi nq L:?0 q且 ?y= bsinq 2y= bcosq 则 蝌xyds = 2 sin q cosq (- asinq)2 + (bcosq)2dq p 2 0 a2- b2) si n2q+b2 d sqi2n = 1a b 2 = 2a b02 a2 - b 2)sin 2 2q+ 2 b 2 ab 22 3(a2 - b2) = ab(a2 + ab+ b2) = 3(a+ b) 4)单位圆的参数方程为 L : ?x = cosq0q 2p, ?y= sinq 且 x= - sinq y=

4、cosq 则有： 蝌| y |ds=siqn - ( qs i2 n+ ) 2qcqod-s? 2p p q -si nq si nq2 q)d cos s i qndq - 2p sqidnq = p 4. 5）由于 L 的参数方程为 yz acost x= - asint asint 且 y= acost btz= b 蝌(x2 + y2 + z2) ds=( a2 + b2 )2ta2+ 0 轾犏 2 b2 犏a t2+ t 犏臌3 2b d t 2犏 2p 23p( 3a + b4 p 2 )a2 + b2 . 2 6) 蝌xyzds= 7)x2 + y2+ z 鬃2 2t3 1t2

5、1+ 2t+ t2dt 0 3 2 2 1 q21 6 2 =t 2 (1+ t )d t=. 3 014 3 2= a2与x= y 相交的圆周方程为 2y2+ z2 a2 其参数方程为 = = = x y z ? a sint x= cost 2 aa sint则 y= a cost acostz= - asint 2. 求曲线 x= 解：曲线质量 2y2 + z2ds= 2p 2p 2 2 2 2 2p 2 2 a a2 sin2 t + a2 cos2 tdt = ? a2dt= 2a2p. 00 a, y= at,z= 1at 2(0 t 1,a 0)的质量，设其线密度为 r = 2z

6、 2a M= a 2 ds= t a2 + a2t2dt 1 2 2 a 0 1+ t2d(1+ t2) = 3(2 2- 1). 3. 求摆线?x = a(t- sint) (0t p)的重心，设其质量分布是均匀的 ?y= a(1- cost) 解：ds= a2(1- cost )2 + a2 sin2 tdt = a2(1- 2cos t + cos2 t) + a2sin2tdt = 2 a 2 - 2 c o2st a2 t 2a s i nd t 2 pt 质量 M = 2 ar sin dt = 4ar 02 设重心坐标为 (x, y), 则： 其中 r 为线密度 . 1 pt x

7、=r a(t - sin t )2 a sin dt M 02 p = a 蝌 t sin t dt - a 2 0 2 2 1p y= M 0 ra(t- = a 蝌 sin t dt - a 2 0 2 4 t4 sin t ?sin dt a 0 2 3 cos t), 2sin t dt 2 p 3 t 4 (sin t - sin )dt = a 223 所以重心坐标为 0 44 ( a, a ). 33 2 第二型曲线积分 1. 计算第二型曲线积分： () xdy- ydx ，其中 L 为本节例中的三种情况 L 解：1沿抛物线 y= 2x2，从 O到 B的一段，则 蝌xdy- yd

8、x = 1 2 2 2 (4x2 - 2x2)dx= ； 03 2沿直线 OB：y = 2x ，则蝌xdy ydx- 3沿封闭曲线 OABO：则 蝌xdy- ydx = 1 ;A B=: x 1 , 0 y 1 = x (2xd-x 2) = 0 ； 0 + OA + BO ； O A: y= 0 , 0 x O B: y= 2 x, 的一段。 (2a- y)dx+ dy 从 x = 1到 x = 0 1 0dx + 蝌dy 故 蝌xdy- ydx = （）- xd2x+ y2dy ，其中L为圆周x = （6+14t）dt= 13 0 2. 设质点受力作用， 力的反方向指向原点， 大小与质点离

9、原点的距离成正比 若 质点由 （a,0）沿椭圆移动到 （0,b） ，求力所作的功。 解：椭圆的参数方程 xy= abscionsqq, （0 q q） ， + y2 ，依逆时针方向； 解：由圆的参数方程 xy=aacsoinstt,（0t 2p） 则 - xdx + ydy L22 L x +y 2p sin 2tdt = 0 ) 2p a2 sint cost + a2sin tcost 2 dt 02 ydx+ sin xdy ，其中 L 为 时针方向； ydx+ sin xdy p (sin x+ sin xcosx)dx+ y= sin x（0 x p）与 x轴所围的闭曲线，依顺 解：

10、 0 (0+ sin x ?0)dx p -y x2 + y2 x F= k x2+y2 x2 + p sin xdx+sin xd(sin x) = 2 0 （） xdx + ydy + zdz, 其中 L ：从（，）到（，）的直线段 解：直线L的参数方程：x=1+t,y=1+t,z=1+ 3t,（0 t 1）， 则： xdx+ ydy + zdz 1 = (1+ t)+ 2(1+ 2t) + 3(1+ 3t)dt W= = (- kx,- ky)(k 0) 蝌Pdx+ Qdy = - k(xdx+ ydy) p 则= - k 2 a2 cost ?（ asint）+ b2 sint ?co

11、stdt k 2 2 = （b2 - a2 ） 2 （ K 为比例系数）。 3设一质点受力作用， 力的方向指向原点， 大小与质点到 xy 平面的距离成反比。 若质点沿直线 x= at, y= bt, z= ct（ c? 0）从 M（a,b,c）到 N（2a,2b,2c） ，求力作的 功。 k 解： F = k ，因为力的方向指向原点，估其方向余弦为 z cosa = - x ,cos b = - y ,cos g = xr - z,其中r= x2+ y2+ z2 ， r 力的三个分力为 P= - k?y,Q k?y,R - k?z z r z r z r kxkyk w = - dx+dy + dz L rzrzr k 2 k(a2+b2+ c2) = - dt 1 a2 + b2+ c2 ? t = - k a2 + b2 + c2 ?1dt c 1t = - k a2 + b2 + c2 ln 2 c 20 + (2x- 2x)dx= 2 。 () (2 a - y)dx+ dy，其中L